Appunti di Teoria delle strutture - Parte 1 (Meccanica del continuo)

RICHIAMI DI MECCANICA DEL CONTINUO

ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

μ = y - x

(x, y, z) _t₀

x = ⎧ X ⎫ ⎨ Y ⎬ ⎩ Z ⎭

vettore posizione del punto P

y = ⎧ ξ + x¹ ⎫ ⎨ η + y¹ ⎬ ⎩ ζ + z¹ ⎭

μ - y - x = ⎧ u ⎫ ⎨ v ⎬ ⎩ w ⎭ = ⎧ u(x, y, z) ⎫ ⎨ v(x, y, z) ⎬ ⎩ w(x, y, z) ⎭

⎧ u(x, y, z) ⎫ = ⎧ ξ - X ⎫⎨ v(x, y, z) ⎬ ⎨ η - Y ⎬⎩ w(x, y, z) ⎭ ⎩ ζ - Z ⎭

Nell'ipotesi di piccoli gradienti di spostamento posso introdurre una matrice di deformazione data da:

ε = ⎛ ε_x 1/2(∂u/∂y + ∂v/∂x) 1/2(∂u/∂z + ∂w/∂x) ⎞ ⎜ 1/2(∂v/∂x + ∂u/∂y) ε_y 1/2(∂v/∂z + ∂w/∂y) ⎟ ⎝ 1/2(∂w/∂x + ∂u/∂z) 1/2(∂w/∂y + ∂v/∂z) ε_z ⎠

Matrice di deformazione (simmetrica)

Che dire che è contenuto da 6 variabili non funzioni

Per questo motivo si usa la notazione di Voigt che trasforma una matrice 3x3 simmetrica in un vettore di 6 componenti

EQUAZIONI DI CONGRUENZA│(Eguagliano le componenti di deformazione alle componenti di spostamento)

E_xE_yE_zDILATAZIONELINEARE

D_xyD_yzD_zxSCORRIMENTIANGOLARI

1) SIGNIFICATO DI E_x

Δx = ^{l - l_o}/_lo = .E_x = ^∂u/_∂x

2) SIGNIFICATO DI d_xy

d_xy = ^π/₂ - β = ^∂v/_∂x + ^∂u/_∂y

angolouscente

EQUAZIONI DI CONGRUENZA

ε = { E_x E_y E_z D_xy D_yz D_zx } ➔ M -> { μ υ ω }

avere: ε = ∫ M in Ω

[ε_x] [ε_σ][ε₃]

Le eq. di congruenza legano ε con μVedi come trovarela matrice S

ε = {E_xE_yE_zD_xyD_yzD_zx} =

{^∂μ/_∂x^∂υ/_∂y^∂ω/_∂z^∂υ/_∂x + ^∂μ/_∂y^∂ω/_∂y + ^∂υ/_∂z^∂μ/_∂z + ^∂ω/_∂x} ➔

{ μ συν υω}

-> MATRICE S

Teoria

{ S ⃗ + b = 0

{ t(x,m) = p

iu ∂

su ∂

Direzioni Principali di Tensione e Tensioni Principali

t(m) / m

t(m) / m => m e' direzione principale di tensione

Tensioni principali

G = { λ1 λ2 λ3 0 0 0 }

nel sistema di riferimento principale: nel tal secant tangenziale

• (σx - λ) mx + τxy my + τxz mz = 0
• τyx mx + (σy - λ) my + τyz mz = 0
• τzx mx + τzy my + (σz - λ) = 0

Scrivo det = 0 :

λ³ - I1 λ² + I2 λ - I3 = 0

Invariante di tensione

3 casi:

1. λ1 ≠ λ2 ≠ λ3, m1 ≠ m2 ≠ m3
2. λ1 = λ2 ≠ λ3, m1 = m2 ≠ m3
3. λ1 = λ2 = λ3, m1= 0

Casi particolari:

• λ1 ≠ 0, λ2 = λ3 = 0 stato tensionale e' m1 m2 m3 massimo
• λ1 = 0, λ2 ≠ 0, λ3 = 0
• m2 ≠ 0, m3 = 0
• m1 ≠ 0, m2 = 0, m3 = 0

Esiste una formulazione del problema dell'equilibrio elastico basata sull'energia.

ENERGIA POTENZIALE TOTALE DI SISTEMA

L'energia potenziale totale è funzione del campo degli spostamenti.

π(μ) = ϕ(μ) + Λ(μ)

• energia interna
• lavoro delle forze che agiscono al sistema dall'esterno

dove:

• ϕ(μ) = 1/2 ∫(ε)ᵀ C ε dv

• eq. di equilibrio
• [RIMUOVI MARCHIO DELL'IMMAGINE]
• 1/2 ∫ Csᵤ s:μ dv
• eq di equilibrio
• [RIMUOVI MARCHIO DELL'IMMAGINE]
• η¹/2 ∫(ε)ᵀ C s:μ dv

• Λ(μ) = - ∫Ωf (μ s} Ts:μ dv - ∫ρ:μ dA - ∫ρ:μ b dv - ∫ρ:μ p dΩ

Possiamo riformulare il problema elastico con l'energia.

TEOREMA DI STAZIONARIETÀ E DI MINIMO DELL'ENERGIA POTENZIALE TOTALE

• π(μ) = ϕ(λ) + Λ(μ)