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08/04/22
A1, A2, ..., An
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik) = P(Ai1) ... P(Aik) con i1 ≠ i2 ≠ ... ≠ ik
[An, n ≥ 2] eventi sono indipendenti se ogni sottogruppo finito è formato da eventi indipendenti.
TEOREMA:
n0 A1, ... indipendenti ⇒ le loro negazioni sono onorati indipendenti.
A1, A2, ..., An
A1c, A2c, Anc
OSS.:
A1, A2, ..., An sono indipendenti
P(Ai, Ai+2, ..., Ar ∩ ... ∩ An) = P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ar) P(Ak+r ∩ ... ∩ An)
per esempio P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) P(A2) P(A3) = P(A1 ∩ A2) P(A3)
ex:
Lancio n volte una moneta
Tk = \#'T' al k-esimo lancio', k = 1, ... n indipendenti |Ω| = 2n
P(T1 ∩ T2 ∩ ... ∩ Tn) = P(T1) ... P(Tn)
P(T1 ∩ ... ∩ Tn) = P(T ... T) = (1/2)n
P(Tk) = 2n-1 / 2n = 1/2
P(T1 ∩ T2) = 2n-2 / 2n = 1/4 = P(T1) · P(T2)
ex2:
Lancio 2 volte un dado
Ω = (x, y) : x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ ho 2 sottoprove indipendenti
P(A1 ∩ A2) = P((6, 6)) perché Ai = esce 6 = P(6) · P(6) = 1/6 · 1/6 = 1/36
DEFINIZIONE:
I sottosperimenti sono indipendenti se dati gli n eventi A1, A2, ..., An, dove Ai dipende dall'esito dell'i-esimo sottosperimentistici, essi sono un insieme di eventi indipendenti.
ex 3:
P(π) = P(T)pP(C)p = p2
ex 4:
"domino n volti una moneta."
P(T) = pn
P(T=_al ultimo lancio) = P(CCCC...T) = P(C)...P(C)P(T) = (1-p)n-1p = (1 - p)n
P(Tk) = P(CCCCC...CT) = (1/2)n
DEFINIZIONE:
ho A1, A2, B P(B) > 0
A1 e A2 sono condizionatamente indipendenti se P(A1 ∩ A2 |B) =
= P(A1|B)P(A2|B)
ex 5:
circuito parallelo
il circuito funziona se almeno 1 tra A e B funzionano
P(funziona) = P(A ∪ B) = 1 - P(A∩B) = 1 - (1-p)2
e quindi P(Ac) = P(Bc) = 1 - p
se invece ho il circuito
P(funziona) = P(A ∩ B) ∪ C ∩ (D ∪ E))
ma P(A ∩ B) = P(F) = P(A)P(B) = (0,92)2 = 0,8464
P(D ∪ E) = P(G) = 1 - P(D ∩ E) = 1 - (1-0,92)2 = 0,9936
e P(C ∩ (D ∪ E)) = P(C ∩ G) = P(C) ¢er; P(G) = 0,92 · 0,9936 = 0,9147
P(F ∩ H) = 1 - P(F)P(Hc) = (1 - (1-P(F))(1-P(H)))
P(F ∩ H) = 0,9868
X : Ω → ℝ
si scrive che
P(X ∈ Bx) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ Bx})
Bx ⊂ ℝ (σx)
per esempio
P(X = 1), P(X = 2), ... oppure P(X ∈ [1, 2]) = P({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ [1, 2]}) ⇒ P(1 ≤ X ≤ 2)
ex 15: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} σx = Ω X(ω) = ω
P(X = i) = P(1) = 1/6 e P(X = i) = i/6 ∀ i ∈ σx
P(0 ≤ X ≤ 2) = P({ω ∈ Ω : 0 ≤ X(ω) ≤ 2}) = P({ω ∈ Ω : X(ω) = 1}) ∪
P({ω ∈ Ω : X(ω) = 2}) =
= P(1) + P(2) = 1/6 + 2/6 = 1/3
DEFINIZIONE:
X : Ω → ℝ, P
si definisce Funzione di Ripartizione di X come Fx : ℝ → [0, 1]
Fx(x) = P(X ≤ x) ∀ x ∈ ℝ
Teorema:
Fx e funzione di ripartizione di X e soddisfa le seguenti proprietà
- ∀ x1 ≤ x2, Fx(x) ≤ Fx(x1) ~> la fz di ripartizione è Non-decrescente
- Fx(x) = limn→∞ Fx(x + 1/n) = Fx(x) ~> è continua a destra
- limx→+∞ F(x) = 1 e limx→−∞ F(x) = 0
si vede che ∑i=0n p(ℒ) = 1
poi P(0
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