Appunti di Probabilità applicata

E E E(Y

= ϕ(X) − E(Y X) + X) − Y +

| |

E ϕ(X) − E(Y X) E(Y X) − Y =

− 2 h i h i

2 2

| |

E E E(Y

= ϕ(X) − E(Y X) + X) − Y

in quanto | | | | |X

E E(Y E(Y E E(Y E(Y

ϕ(X) − X) X) − Y = ϕ(X) − X) X) − Y =

| | |

E(Y E [E(Y

= ϕ(X) − X) X) − Y X] =

| | |

E(Y E E

[E(Y [Y

= ϕ(X) − X) X)|X] − X] =

| | |

E(Y E E

[Y [Y

= ϕ(X) − X) X] − X] = 0.

Siccome

h i

2

| |

(i) è minimo se

E E(Y E(Y

ϕ(X) − X) ϕ(X) = X),

h i

2

|

(ii) non dipende da ed è maggiore o uguale a

E E(Y X) − Y ϕ 0,

|

la miglior approssimazione di attraverso è E(Y

Y X ϕ(X) = X). 3.

CAPITOLO VALORI ATTESI

34 4

Capitolo

Cenni di teoria della misura

A)

L’insieme è detto spazio misurabile se

(Ω,

è un insieme non vuoto,

Ω

1. A è una su

σ-algebra Ω,

2. A)

Una misura su è un’applicazione

P (Ω, A →

P : [0, +∞)

7→

A P(A)

con le seguenti proprietà:

P(∅) = 0,

1. A

∈ ∩ ∅ ̸

se tali che per ogni allora

A , A , . . . A A = i = j,

2. 1 2 i j

  X

[

P A = P(A ).

n n

 

n⩾1 n⩾1

In particolare, se è detta misura di probabilità. Si dice, inoltre, che

P(Ω) = 1, P

A,

la terna è uno spazio di misura.

(Ω, P)

4.1 Le variabili aleatorie nella teoria della misura

A) R, B(R)

→

Si dice che è una variabile aleatoria

4.1.

Definizione X : (Ω,

reale se A

−1 ∈

X (B)

35

4.

CAPITOLO CENNI DI TEORIA DELLA MISURA

36 B(R).

∈

per ogni Nel contesto della teoria della misura, è chiamata funzione

B X

A B(R).

misurabile rispetto a e

A) R, B(R)

→

Se è una variabile aleatoria reale, allora la sua

X : (Ω,

funzione di ripartizione può essere riscritta come combinazione covessa di tre

particolari funzioni di ripartizione, ovvero:

F = aF + bF + cF

X X,c X,d X,s

dove tali che è una funzione di ripartizione

⩾

a, b, c 0 a + b + c = 1, F

X,ac

assolutamente continua, è una funzione di ripartizione puramente discreta

F

X,d ′ e continua. Tale

e è una funzione di ripartizione singolare, ovvero = 0,

F F

X,sc X,sc

decomposizione è unica.

4.2 L’integrale di Lebesgue-Stiltijes

A, A) R, B(R)

→

Siano uno spazio di misura e una funzione

(Ω, P) X : (Ω,

misurabile. Si considera il seguente integrale, detto di Lebesgue-Stiltijes:

Z X dP(ω)

Ω

A).

dove è una misura su Tale integrale è definito in tre modi:

P (Ω,

Considerando come una funzione misurabile semplice, ovvero con un

X

1. numero finito di valori: X

n 1 .

X = x

i (X=x )

i

i=1

Allora si definisce Z X

n

:=

X dP(ω) x P(X = x ).

i i

Ω i=1

Considerando come una funzione misurabile positiva, si definisce

⩾

X X 0,

2. Z Z

sup

:=

X dP(ω) Y dP.

Ω Ω

Y

dove appartiene all’insieme delle funzioni misurabili semplici tale che

Y funzione viene approssimata dal basso.

⩽ ⩽

0 Y X.La X

4.3. IL VALORE ATTESO 37

Considerando come una funzione misurabile scomponibile nel seguente

X

3. modo + −

X = X − X

+ −

dove e indicano rispettivamente la parte positiva e la parte negativa

X X

di Allora si definisce

X. Z Z Z

+ −

:=

X dP(ω) X dP − X dP

Ω Ω Ω

a patto che almeno un integrale esista finito, altrimenti l’integrale di

Lebesgue-Stiltijes non esiste.

4.3 Il valore atteso

A) R, B(R)

→

Se è una variabile aleatoria reale, allora

4.2.

Definizione X : (Ω,

si chiama valore atteso di X: Z

E(X) := X dP

Ω R,

∈

Se E(X) esiste ma può divergere. Se E(X) esiste se esiste l’integrale

⩾

X 0, X

di Lebesgue-Stiltijes. si dice integrabile se E(X) esiste finito.

X

Esiste un teorema di cambio di variabile tale per cui

Z Z −1

◦

E(X) x P X (dx).

= X dP = R

Ω

−1

◦

Se è discreta, allora

P X X

n

E(X) = x P(X = x ).

i i

i=1 −1

◦ ∈

Se è assolutamente continua con densità ,

X f P X (dx) = P(X dx) =

X

Quindi Z

f (x)dx.

X E(X) = xf (x)dx.

X

R

A,

∈ Z Z

Se allora

A :=

X dP X1 (X) dP.

A

A Ω

4.

CAPITOLO CENNI DI TEORIA DELLA MISURA

38 A 1

∈

Nota Sia e una variabile aleatoria tale che

A (X)

4.1. A 

 su

1 A,

1 (4.1)

(X) =

A  su

0 A,

si ha che E(1 (X)) = P(A).

A

4.4 Il valore atteso condizionato

Sia una variabile aleatoria integrabile. Si chiama valore atteso

4.3.

Definizione Y |

condizionato di dato e si scrive E(Y la variabile aleatoria che soddisfa

Y X, X),

le seguenti condizioni:

|

• E(Y è variabile aleatoria che dipende da solo attraverso

X) ω X;

|

• E(Y soddisfa l’equazione integrale:

X) Z

Z |

E(Y Y dP

X) dP = B

B

{X B(R)}

−1

∈ ∈ ⊆

per ogni B σ(X) = (A) : A Ω.

L’insieme è la retroimmagine di una per cui è esso stesso una

σ(X) σ-algebra,

che viene detta essere generata da in quanto è la più piccola

σ-algebra, X

che rende una variabile aleatoria.

σ-algebra X

5

Capitolo

Convergenza di variabili aleatorie

In questo capitolo, considerando successioni di variabili aleatorie reali

{X } X

= (X , X , . . . , X ) =

n n

n⩾1 1 2

con A) R B(R

k k

→

X : (Ω, , ) ,

vengono trattati quattro tipi di convergenza:

• convergenza in distribuzione;

• convergenza in probabilità;

• convergenza in media r-esima;

• convergenza quasi certa.

5.1 La convergenza delle variabili aleatorie

5.1.1 Convergenza in distribuzione

{X }

Sia una successione di variabili aleatorie e una varia-

5.1.

Definizione X

n n⩾1 {X }

bile aleatoria reale. Si dice che converge ad in distribuzione e si scrive

X

n n⩾1

d

−

→ se

X X

n lim F (x) = F (x)

X X

n

n→∞

R

∈

per ogni punto di continuità per .

x F

X

39

5.

CAPITOLO CONVERGENZA DI VARIABILI ALEATORIE

40 {X }

Siano e

(condizioni sufficienti non necessarie).

5.1

Proposizione X

n n⩾1

variabili aleatorie reali. Allora: −−−→

nel caso assolutamente continuo, se in quasi tutti i punti,

• f (x) f (x)

X X

n n→∞

d

−

→

X X;

n d

−−−→ −

→

nel caso discreto, se per ogni

• P(X = x ) P(X = x ) i = 1, 2, . . ., X X.

n n

i i

n→∞

(1) (2) (k)

Siano con e

5.2.

Proposizione X X

⩾

= X , X , . . . , X n 1 =

n n n n d d

(j)

R

(1) (2) (k) k (j)

−

→ −

→

un vettore aleatorio in . Se allora per

X X,

X , X , . . . , X X X

n n

ogni j = 1, 2, . . . , k. {X }

Siano e variabili aleatorie reali. Le seguenti affermazioni sono

5.1.

Teorema X

n n⩾1

equivalenti:

d

−

→

(1) X X;

n R R

→

− →

(2) per ogni funzione (detta f. test) continua e

E E

g(X ) g(X) g :

n

limitata.

Si sfrutterà questa caratterizzazione per dimostrare il teorema della mappa

continua. d R R

−

→ →

Se e è una mappa

(della mappa continua).

5.2

Teorema X X h :

n

continua, allora d

−

→

h(X ) h(X).

n R R

→

Si vuole dimostrare che, per ogni funzione test

5.2.1.

Dimostrazione g :

continua e limitata, valga che →

−

E E

[g (h(X [g (h(X))]

))]

n

∞.

→ ◦

con Siccome è continua e limitata, vale che

n g h(t) = g h(t)

◦ →

− ◦

E E

[(g [(g

h)(X )] h)(X)]

n

∞

→

con e quindi

n d

−

→

h(X ) h(X).

n

d d

−

→ −

→

Nota Se non è vero che

X X X − X 0.

5.1. n n

5.1. LA CONVERGENZA DELLE VARIABILI ALEATORIE 41

5.1.2 Convergenza in probabilità

{X }

Sia una successione di variabili aleatorie. Si dice che

5.2.

Definizione n n⩾1 p

{X } −

→

converge in probabilità alla variabile aleatoria e si scrive se

X X X

n n

n⩾1 lim (|X ⩽

P − X| ϵ) = 1

n

n→∞

per ogni ϵ > 0.

Nota Più è grande, meno la condizione è restrittiva.

ϵ

5.2.

Nota Nel caso di vettori aleatori, la definizione si estende nel seguente modo:

5.3. (1) (2) (k) (1) (k) (k)

siano e due vettori aleatori,

X X

= (X , X , . . . , X ) = (X , X , . . . , X )

n n n n

p

−

→

allora se e solo se

X X

n

(j)

|X |

(j)

lim ⩽

P − X ϵ, j = 1, 2, . . . , k = 1.

n

n→∞ | {z }

(1) (k)

|X |⩽ϵ,...,|X |⩽ϵ

(1) (k)

=P −X −X

n n

p p

−

→ −

→

Nota Se allora

X X, X − X 0.

5.4. n n p

d R

−

→ ∈ −

→

Nota Se con allora

X X = c P(X = c) = 1, X X = c.

5.5. n n

(1) (2) (k)

Siano con e

5.3.

Proposizione X X

⩾

= (X , X , . . . , X ) n 1 =

n n n n p

R

(1) (2) (k) k −

→

due vettori aleatori in . Allora se e solo se

X X

(X , X , . . . , X ) n

p

(j) (j)

−

→

X X

n

con j = 1, 2, . . . , k. p

(j) (j)

∈ −

→

Si fissano ed e si suppone che

5.2.2.

Dimostrazione j 1, 2, . . . , k ϵ > 0 X X

n

per ogni Allora

j = 1, 2, . . . , k. k !