Appunti di Laboratorio di fisica - Statistica e teoria degli errori

N

E’ una stima della probabilità di ottenere un risultato compreso entro gli estremi del bin j-esimo

Proprietà dei bin

Molti bin:

osservo forma della distribuzione

⇒

∀

ma poche misure  bin perdo la forma della distribuzione

Pochi bin:

osservo forma distribuzione

ma perdo la vista di strutture fini della distr

Compromesso:  bin

N ​

Da essi dipendono i valori di media e dev standard, definiti come medie pesate con pesi il numero

di conteggi e posizioni il centro dei bin

Normalizzazione in area

Per istogrammi con bin di larghezza non uniforme, variabile

Per confronti fra istogramma e funzioni di densità di probabilità

Si divide il contenuto di ogni bin per N e per la sua larghezza

Funzione di densità di probabilità associata ad un bin

E’ proporzionale all’altezza del bin

Stimatore del valore medio della funzione

Formulario Lab 1 19

Per dimensione del campione tendente ad infinito, la stima tende alla funzione della

distribuzione continua nella coordinata del centro del bin j-esimo

f n

j j

= =

​ ​

h 

j Δx Δx

​ ​ ​

N

j j

​ ​

Forma dell’istogramma: approssimazione della distr

Densità di probabilità

: predizione del contenuto atteso nel bin j-esimo

μ

j ​

Probabilità poissoniana di ottenere  conteggi qunado ne sono attesi 

n μ

j j

​ ​

Funzione di verosimiglianza: probabilità di ottenere istogramma costruito a partire dalla distr

Dipende dalla scelta dei bin

Non si può sapere in assoluto se una verosimiglianza è un buon accordo fra dati e distr

Probabilità

Calcolo combinatorio N

= ∏

Numero totale di esiti: 

S S i

i=0 ​ ​

Permutazioni

Sono casi particolari delle disposizioni semplici ⇒

Permutazioni semplici: elementi contati una volta sola fattoriale, N!

Caso generale, valido anche con ripetizioni

Formulario Lab 1 20

Sequenza degli elementi

Disposizioni

Disposizioni semplici: non si hanno ripetizioni dello stesso oggetto

Caso generale, con ripetizioni:

Combinazioni

Non conta l’ordine

Combinazioni semplici: senza ripetizioni

Disposizioni semplici di lunghezza k ripartite in classi di sequenze con lo stesso sottinsieme di

S, scegliendo una sequenza da tali classi

Ogni classe contiene k! sequenze

Caso generale

Numero di possibili n-uple di addendi non negativi la cui somma sia k

Numero delle derivate parziali di ordine k che al più differiscono fra loro per una funzione a n

variabili con derivate continue fino all’ordine k

Interpretazione classica di probabilità di un evento aleatorio

Rapporto casi favorevoli/possibili, tutti equiprobabili

Tautologico, poiché come ipotesi si può già valutare tale equiprobabilità

Variabili topologicamente equivalenti: legate da trasformazioni continue

Tra di esse, non si può determinare quella equiprobabile

Valore compreso fra 0 (impossibile) e 1 (certo)

Formulario Lab 1 21

variabili casuali continue legate da trasformazioni continue

Probabilità condizionata

Prodotto delle relative probabilità P(B | A) = P(A) P(B)

Probabilità di evento esclusivo (A ∨ = (A) + (B)

Somma delle relative probabilità 

P B) P P

Interpretazione frequentista di probabilità di un evento aleatorio

Definizione empirica teorizzata da von Mises

Fornisce anche la probabilità di eventi di cui si ignora la completa popolazione dei risultati

Estensione della frequenza relativa ad un grande numero di prove

Dim thm di Bernoulli (legge dei grandi numeri)

“All’aumentare del numero di prove, la frequenza relativa di qualunque evento casuale converge

statisticamente alla sua probabilità” 2

Hp: variabile casuale x con distribuzione discreta, con media E(x) e varianza 

σ

Probabilità che i valori della distribuzione siano distanti dalla media più di un certo valore 

α

Poiché la varianza della popolazione è somma di termini positivi:

Una somma parziale di termini che soddisfano una data condizione dà una varianza minore o uguale

alla varianza della popolazione

Disuguaglianza di Bienayme-Chebyshev

Formulario Lab 1 22

Per qualunque distribuzione, la probabilità di avere valori della popolazione ad una distanza

2

1/k

media >  è < 

kσ

=

Se si pone :

α kσ

Speranza matematica delle medie = speranza matematica della popolazione

Varianza della media = varianza della popolazione / dimensione campione

⇒ Thm Chebyshev: all’aumentare della dimensione del campione, il valore medio di un campione

finito di valori di una variabile casuale converge statisticamente alla speranza matematica di tale

variabile

⇒ ∀  distribuzione, all’aumentare della dimensione del campione, la media campionaria converge

alla media della popolazione

Formulario Lab 1 23

Problemi dell’approccio frequentista ⇒

Hp: casi possibili tutti equiprobabili fra loro uso del concetto di probabilità per definire la

probabilità stessa

Hp: numero infinito di prove ⇒

Uso della frequenza relativa nella def si assume che il fenomeno sia avvenuto nel passato, e in

⇒

futuro avverrà con la stessa probabilità ciò non è assicurato, ed è di nuovo tautologico

Hp: esperimenti privi di errori sistematici

Considera il valore vero di una quantità fisica come una costante

Definizione assiomatica di probabilità

Kolmogorov

Assiomi:

( I ) Positività

( II ) Certezza: probabilità dell’evento certo è 1

( III ) Unione: Probabilità dell’unione di due eventi incompatibli è la somma delle loro probabilità

Corollari:

Prodotto di eventi: un esito realizza contemporaneamente eventi A e B

Formulario Lab 1 24

(C) = (AB) = (A ∩ 

P P P B)

Somma di eventi qualunque

Somma delle singole probabilità meno la probabilità delle loro intersezioni, due a due

Caso di due eventi

(C) = (A) + (B) − (AB)



P P P P

Esito: risultato di un fenomeno aleatorio

Spazio campionario: insieme di tutti gli esiti possibli per una variabile aleatoria

Finito

Infinito numerabile

Infinito non numerabile

Evento: sottoinsieme dello spazio campionario, insieme di esiti

Eventi incompatibili: intersezione è insieme vuoto

Probabilità condizionata

Per simmetria in A e B: ⇒

Se probabilità condizionata di A in B = probabilità di A nello spazio campionario A e B

statisticamente indipendenti

Paradosso di Bertrand ⇒ = 3

l R

Cerchio, triangolo equilatero inscritto lato del trinagolo: , distanza dal centro del cerchio:

​

h=R/2

Probabilità che una corda del cerchio tracciata a caso sia più lunga del lato del triangolo equilateo

inscritto?

Formulario Lab 1 25

⇒

Tutte e 3 le risposte sono giuste probabilità definita con una procedura secondo cui gli esiti si

⇒

realizzano, non secondo richieste astratte la probabilità di un evento dipende dalla procedura che

definisce tale evento

Distribuzioni di variabile aleatoria

Distribuzioni di variabile aleatoria discreta

NB: la forma di una distribuzione è invariante rispetto alle traslazioni

Elementi dello spazio campionario

Finiti: misure discrete limitate

Infiniti numerabili: misure discrete illimitati

Infiniti non numerabili: misure continue

Distribuzione di probabilità discreta N

(x ) (k), ∈

Funzione  o  con dominio lo spazio campionario, che associa ad ogni suo

P P k

k ​

elemento un valore di probabilità discreta

Proprietà:

Formulario Lab 1 26

(k) ≥ 0, ∀k ∈ Ω 

P (k) = 1

∑ 

P

k∈Ω ​

Media di una distribuzione discreta

Media pesata delle coordinate con peso le relative probabilità

Varianza e dev standard

Distribuzioni di variabile aleatoria continua

Distribuzione di probabilità continua

Spazio campionario è asse reale o suoi intervalli ⇒

Funzione di densità di probabilità continua f(x) che assume valori di densità di probabilità si

associa unicamente un valore di probabilità ad un intervallo

Proprietà ≥ 0∀x



f(x)

+∞ = 1

∫ 

f(x)dx

−∞ ​

Funzione densità di probabilità

Distribuzione di probabilità con la stessa cardinalità dello spazio campionario

Per spazio campionario con cardinalità infinita non numerabile associata ad una variabile

continua:

Media e varianza di una distribuzione continua

Formulario Lab 1 27

Distribuzione uniforme (x ,

Denistà di probabilità con  coppia di parametri

L)

o ​

Condizione di normalizzazione per k

Valore medio

Formulario Lab 1 28

Varianza e dev standard ⇒ ⇒

Misura la dispersione della distr dipende dalla forma della distr poiché distr uniforme è

= 0

invariante per traslazioni, si studia per 

x

0 ​

L

=

Dev standard: 

σ 12 ​

​ ΔX

=

Dev standard di risoluzione: 

σ

R 12

​ ​

​

Formulario Lab 1 29

distribuzione cumulativa

cfr quaderno

densità di probabilità

cfr quaderno

Funzione e stima di max verosimiglianza (o likelihood)

Dà la probabilità che i dati siano compatibili con una distr data e con alcuni suoi parametri

Permette di effetuare stime

Hp: N dati da una distribuzione sconosciuta

media e dev standard

⇒ distr gaussiana con più probabilità di essere la distr madre dei dati ha densità di probabilità:

Ottenuto dalla funzione di verosimiglianza gaussiana ⇒

Calcolo delle derivate della verosimiglianza rispetto alla media e alla dev standard derivate poste

⇒ = ˉ =

a zero max verosimiglianza per  e 

μ x σ s

Tuttavia, i dati potrebbero non seguire la distr gaussiana

Con istogrammi normalizzati in area

Hp: istogramma normalizzato in area

funzione densità di probabilità qualsiasi da un set di parametri

Probabilità di cadere nel j-esimo bin:

Formulario Lab 1 30

Operatore che dà risultato monotono

Risoluzione del sistema di K equazioni per trovare valori che massimizzano l’accordo fra la funzione e i

⇒

dati fit

Se il sistema ha più soluzioni, si sceglie il valore del max assoluto

Propriet