Appunti di Elettrotecnica

C C

0 0

Il condensatore imagazzina energia senza dissiparla.

Questa proprietà può essere dedotta analizzando il comportamento energe-

tico del condensatore. Iniziamo ricavando l’espressione della potenza istantanea

dv(t)

p(t) = v(t)i(t) = v(i)C dt

L’energia assorbita dal condensatore, in un intervallo di tempo generico (t , t ),

0 1

vale v(t )

t t Z

Z Z dv 1

1 1

w(t , t ) = p(t)dt = C v dt = vdv

0 1 dt

t t v(t )

0 0 0

50 CAPITOLO 6. CONDENSATORE E INDUTTORE

cioè 1 2 2

−

w(t , t ) = C[v (t ) v (t )]

0 1 1 2

2

L’energia assorbita non dipende dal valore iniziale e dal valore finale della ten-

sione. Essa è nulla tutte le volte che la tensione assume lo stesso valore all’inizio

e al termine dell’intervallo. Qundi, nel caso di tensione periodica, l’energia as-

Figura 6.2: Simbolo dell’indut- sorbita in un periodo è sempre zero. Se questo è vero, allora l’energia assurbita

tore. durante un semi periodo è uguale all’energia dissipata durante il semi periodo

successivo. Allora, il condensatore non dissipa l’energia, ma la immagazzina. Il

condensatore è un elemento passivo, in quanto, in regime periodico, l’energia as-

sorbita su un periodo è sempre non negativa. Questa un’estensione del concetto

di elemento passivo visto nei capitolo precedenti.

La potenza media assorbita dal condensatore in un periodo è nulla

Figura 6.3: Induttore toroidale. La potenza media assorbita in un periodo è definita come

t +T

Z

1 0 p(t)dt

P = T t 0

Nel caso del condensatore C 2 2

−

[v (t + T ) v (t )] = 0

P = 0 0

2T

2 2

perchè v (t + T ) = v (t ).

0 0

6.3 Induttore

L’induttore(fig. 6.2) è un bipolo caratterizzato dalla seguente relazione differen-

ziale tra la tensione e la corrente di(t)

v(t) = L dt

dove v e i hanno versi di riferimento coordinati. La costante L è detta induttan-

za e si misura in Henry [H]. Poichè il legame tra la corrente e la derivata della

tensione è di tipo lineare, l’induttore è un elemento dinamico lineare. L’indut-

tore è anche un elemento bilaterale.

Gli induttori sono realizzati avvolgendo un filo di materiale conduttore attorno

ad un nucleo, fino a formare numerose spire. Sappiamo dalla fisica che la corren-

te che scorre nel filo crea nel nucleo un campo di induzione magnetica. Il flusso

di induzione magnetica concatenato con l’avvolgimento, φ(t), è proporzionale

alla corrente: φ(t) = Li(t)

La variazione temporale del flusso provoca una tensione tra i morsetti, espressa

dalla legge di Faraday: dφ(t)

v(t) = dt

6.4. PROPRIETÀ DELL’INDUTTORE 51

Combinando le due equazioni precedenti, si ottiene

di(t)

v(t) = L dt

La costante L dipende dalle caratteristiche fisiche dell’induttore e dal materiale

del nucleo. Per l’induttore toroidale(fig. 6.3) L ha la seguente espressione

A

2

L = µ µ N

0 r l

essendo µ = µ µ la permeabilità magnetica del nucleo, N il numero di spire, A

0 r

l’area della sezione trasversale del nucleo e l la lunghezza della tratta tratteggiata

in fig. 6.3.

La relazione caratteristica v(t) = L(di(t)/dt) può essere invertita per ottenere

la corrente in funzione della tensione 1 vdt

di = L

quindi, integrando t

Z

1 v(t)dt

i(t) = i(t ) +

0 L t 0

Osserviamo che la corrente all’istante t dipende dal valore assunto all’istante

iniziale t e dalla sua evoluzione tra t e t. Per questo motivo, si dice che

0 0

l’induttore è un elemento con memoria.

6.4 Proprietà dell’induttore

L’induttore ha proprietà duali a quelle del condensatore.

Quando la corrente è costante l’induttore equivale a un corto circuito.

In effetti, ricordando che v(t) = L(di(t)/dt), se i è costante,

di(t)/dt = 0 =⇒ v = 0.

La corrente nell’induttore è una funzione continua.

Dunque, − +

i (t ) = i (t ) per ogni istante t

L L 0

0 0

52 CAPITOLO 6. CONDENSATORE E INDUTTORE

Esempio +

i t

ALL’ISTANTE

DETERMINARE 0 3Ω

t =0 i(t)

12 V L

−

Per t = 0 la corrente dell’induttore è diversa da zero poichè

l’interruttore è chiuso(cosiderando che dopo un lungo tempo la tensione

ai suoi capi è costante, e quindi l’induttore degenera in un corto

12 +

= 4 A). In t = 0 la corrente è nulla

circuito, possiamo dire che i = 3

poichè l’interruttore è aperto. La corrente i(t) sembra discontinua. In

realtà non è cosı̀ poichè per un breve intervallo di tempo dopo

l’apertura, tra i contatti dell’induttore, si verifica una scarica elettrica;

pertanto la corrente si annulla in un tempo molto breve, ma la sua

funzione rimane sempre continua. Ciò accade perchè a distanze molto

brevi, anche l’aria si comporta come un conduttore. Essendo che

l’interruttore si apre molto velocemente, la resistenza dell’aria aumenta

molto velocemente e la corrente passa da 4 A a 0 in pochi istanti.

Questa variazione quasi istantanea della corrente porta a generare

un’eleveta tensione ai capi dell’induttore.

L’induttore non dissipa energia, ma è in grado di immagazzinarla.

Ricaviamo l’espressione della potenza istantanea assorbita dall’induttore:

di i(t)

p(t)v(i)i(t) = L dt

L’energia assorbita in un intervallo di tempo generico (t , t ) vale

0 1

t t i(t )

Z Z Z

di

1 1 1

w(t , t ) = p(t)dt = L dt = L

i idi

0 1 dt

t t i(t )

0 0 0

cioè 1 2 2

−

L[i (t ) i (t )]

w(t , t ) = 1 0

0 1 2

Si può osservare che l’energia assorbita è nulla tutte le volte che la corrente

assume lo stesso valore all’inizio e al termine dell’intervallo. Nel caso di corrente

periodica, l’energia assorbita in un periodo è sempre nulla. Come il condensatore

e la resistenza, anche l’induttore è un elemento passivo.

6.5. COMBINAZIONI CIRCUITALI DI CONDENSATORI E INDUTTORI53

6.5 Combinazioni circuitali di condensatori e in-

duttori

Condensatori in serie

Figura 6.4: Tre condensatori in serie.

La fig. 6.4 mostra tre condensatori in serie. I tre condensatori sono percorsi dalla

stessa corrente i(t). Ricaviamo la relazione tra la corrente i(t) e la tensione v(t).

Applicando la LKT alla magila otteniamo

v(t) = v (t) + v (t) + v (t)

1 2 3

Utilizzando la relazione integrale del condensatore, otteniamo:

t t t

Z Z Z

1 1 1

v(t) = v (t ) + i(x)dx + v (t ) + i(x)dx + v (t ) + i(x)dx

1 0 2 0 3 0

C C C

1 2 3

t t t

0 0 0

ovvero t

Z

1

v(t) = v(t ) + i(x)dx

0 C s t 0

per cui 1 1 1 1

= + +

C C C C

s 1 2 3

Dunque i tre condensatori sono equivalenti a un singolo condensatore di capacità

C . La tensione iniziale v(t ) è la somma delle tre tensioni iniziali. In generale

s 0

N condensatori in serie sono equivalenti ad un solo condensatore di capacità C

s

tale che N

1 1

X

=

C C

s k

k=1

54 CAPITOLO 6. CONDENSATORE E INDUTTORE

Condensatori in parallelo

Figura 6.5: Tre condensatori in parallelo.

La figura fig. 6.5 rappresenta tre condensatori in parallelo. La tensione ai loro

capi è identica e vale v(t). Applicando la LKC si può scrivere

i(t) = i (t) + i (t) + i (t)

1 2 3

quindi dv(t) dv(t)

dv(t) + C C

i(t) = C 2 3

1 dt dt dt

per cui C = C + C + C

p 1 2 3

Quindi i tre condensatori in parallelo equivalgono ad un solo condensatore, di

capacità pari alla somma delle capacità. In generale N condensatori in parallelo

equivalgono a un condensatore di capacità

N

X C

C = k

p k=1

Precisiamo che per collegare N condensatori in parallelo è necessatio che tutti i

condensatori abbiano la stessa tensione iniziale, altrimenti risulterebbe violata

la LKT.

Induttori in serie

Figura 6.6: Tre induttori in serie.

6.5. COMBINAZIONI CIRCUITALI DI CONDENSATORI E INDUTTORI55

La figura fig. 6.4 rappresenta tre induttori in serie.I tre induttori sono percorsi

dalla stessa corrente i(t). Applicando la LKT si può scrivere

v(t) = v (t) + v (t) + v (t)

1 2 3

quindi di(t) di(t)

di(t) + L L

v(t) = L 2 3

1 dt dt dt

per cui L = L + L + L

p 1 2 3

Quindi i tre induttori in serie equivalgono ad un solo induttore, di induttanza

pari alla somma delle induttanze. In generale N induttori in serie equivalgono

a un induttore di induttanza N

X

L = L

p k

k=1

Induttori in parallelo

Figura 6.7: Tre induttori in parallelo

La fig. 6.7 mostra tre induttori in parallelo. La tensione ai loro capi è iden-

tica e vale v(t). Ricaviamo la relazione tra la corrente i(t) e la tensione v(t).

Applicando la LKC si ottiene

i(t) = i (t) + i (t) + i (t)

1 2 3

Utilizzando la relazione integrale del condensatore, otteniamo:

t t t

Z Z Z

1 1 1

i(t) = i (t ) + v(x)dx + i (t ) + v(x)dx + i (t ) + v(x)dx

1 0 2 0 3 0

L L L

1 2 3

t t t

0 0 0

ovvero t

Z

1

i(t) = i(t ) + v(x)dx

0 L

s t 0

per cui 1 1 1 1

= + +

L L L L

s 1 2 3

56 CAPITOLO 6. CONDENSATORE E INDUTTORE

Dunque i tre induttori sono equivalenti a un singolo induttore di induttanza L .

s

La corrente iniziale i(t ) è la somma delle tre correnti iniziali. In generale N

0

induttori in parallelo sono equivalenti ad un solo induttore di induttanza L tale

s

che N

1 1

X

=

L L

s k

k=1 7

Circuiti del primo e del secondo ordine

7.1 Circuiti RC ed RL in evoluzione libera . . . . . . . . . . . . . . 57

7.2 Circuit RC ed RL con un generatore costante . . . . . . . . . . 60

7.3 Circuiti del primo ordine: caso generale . . . . . . . . . . . . . . 62

7.4 Circuiti del primo ordine con interruttori . . . . . . . . . . . . . 63

7.5 Metodo sistematico I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.6 Metodo sistematico II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.7 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine . . . . . . . . . . . 67

7.8 Circuiti del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.1 Circuiti RC ed RL in evoluzione libera

Il comportamento di un circuito dinamico è descritto da un’equazione differen-

ziale. In questa sezione analiziamo il caso più semplice, quello in cui nel circuito

è presente un solo elemento dinamco. I circuiti di questo tipo vengono det-

ti circuiti del primo ordine perchè il loro comportamento è rappresentato da

un’equazione differenziale del primo ordine. Le proprietà dei due circuiti che

analizzeremo ora sono esattamente duali.

57

58 CAPITOLO 7. CIRCU