Appunti di Econometria

RSS RSS

RSS R

U R

U e 2

2 −

− −

− R =1

=1 =1

R =1 TSS TSS TSS TSS

R

U U R

e quindi che RSS TSS e RSS TSS

2 2

− −

= 1 R = 1 R .

U R

U R

Di conseguenza, RSS

−

(RSS )/G

R U

F = =

RSS −

/(T k)

U

TSS(1 TSS(1

2 2

− − −

R ) R ) /G

R U

= =

TSS(1 2

− −

R )/(T k)

U

2 2

−

(R R )/G

U R ∼ F .

= −k

G,T

2

− −

(1 R )/(T k) H 0

U

Fissato il livello di significatività se

α,

p-value = P F > F < α,

H oss

0

allora si rifiuta .

H

0

4.2.1 Test F per “zero slopes”

Si considera il modello con

· · ·

M : y = β + β x + + β x + u t = 1, . . . , T.

U t 1 2 t2 k tk t

Il test F per “zero slopes” prevede il seguente sistema di ipotesi:

vs “almeno una delle slopes diversa da 0”.

· · ·

H : β = β = = β = 0 H :

0 2 3 k 1 17

Il numero di restrizioni è Assumendo vera, si definisce quindi il modello

−

G = k 1. H 0

ristretto con

M : y = β + u t = 1, . . . , T

R t 1 t

che è tale per cui 2

R = 0.

R

Siccome le variabili dipendenti sono uguali, le restrizioni sono omogenee e quindi

2 2

−

(R R )/G

U R

F = =

2

− −

(1 R )/(T k)

U

2 −

R /(k 1)

U ∼

= F .

−k

k−1,T

2

− −

(1 R )/(T k) H 0

U

4.3 Test F asintotico

Si considera il modello y = X β + X β + u .

1 1 2 2 ×1

T

×G

T

×1 ×(k−G)

T G×1

T (k−G)×1

Data l’ipotesi nulla H : β = 0 ,

0 2 G×1

G×1

si definiscono i seguenti modelli:

M : y = X β + X β + u

U 1 1 2 2

e M : y = X β + e.

R 1 1

Per determinare il test F asintotico, si considera la regressione ausiliaria

M : ê = X γ + X γ + η

A 1 1 2 2

.

il cui coefficiente di determinazione è RSS

2 −

R =1 A

A TSS A

Vale che TSS RSS , infatti

=

A R T T

2

X X

TSS RSS

2

−

= ê ê = ê = .

A t R

t

t=1 t=1

Nel modello non ristretto e nel modello ausiliario si ha che

M : y = ŷ + û = X β̂ + X β̂ + û M : y = ŷ + η̂ = X γ̂ + X γ̂ + η̂

U 1 1 2 2 A 1 1 2 2

M y = M X γ̂ + M X γ̂ + M η̂

= M X β̂ + M X β̂ + M û

M y 1 1 1 1 1 2 2 1

1 1 1 1 2 2 1

1 | {z }

|{z} |{z}

|{z}

| {z }

|{z} =0

=ê =η̂

=0 =û

=ê ê = M X γ̂ + η̂

ê = M X β̂ + û 1 2 2

1 2 2

Siccome 0 −1 0 0 −1 0

β̂ = (X M X ) X M y = (X M X ) X ê

2 1 2 1 1 2

2 2 2 2

|{z}

=ê

18

e 0 −1 0

γ̂ = (X M X ) X ê,

2 1 2

2 2

vale che , che e quindi che

β̂ = γ̂ û = η̂

2 2 RSS RSS

0 0

= û û = η̂ η̂ = .

U A

Segue che .

−RSS

RSS RSS RSS

2 − −

R =1 =1 =

A U R U

A TSS RSS RSS

A R R

Siccome si dimostra che è stimatore distorto ma consistente per , dalla (43)

RSS

2 2

σ̃ = σ

R

u u

T

segue che RSS RSS

− A

R U 2

∼ χ .

G

2

σ̃ H 0

u

Quindi RSS RSS

−

R U =

2

σ̃ u

RSS RSS

−

R U

= =

RSS

R

T

RSS RSS

−

R U

·

= T =

RSS R

A 2

2

·R ∼ χ .

= T G

A H 0

Fissato il livello di significatività se

α, 2 2

·R

T > χ ,

Aoss G,1−α

allora si rifiuta .

H

0 19

5 Stimatore RLS

Lo stimatore RLS (Restricted o ai minimi quadrati vincolati viene utilizzato

Least Squares)

quando si vuole stimare un modello considerando informazioni aggiuntive sui parametri.

Preso in considerazione il modello

M : y = X β + u ,

U ×1

×k T

T

×1

T k×1

si riscrivono le informazioni sui parametri in forma matriciale:

R β = r

×1

T

G×k k×1

dove e sono matrice e vettore di valori pari a 0 o a 1 in posizioni opportune per

R r

×1

T

G×k

scrivere le restrizioni cui è soggetto il modello.

Lo stimatore RLS è quindi il risultato del problema

soggetto a

0

arg min S(·) = u u

β

k×1 Rβ = r.

Per risolvere questo problema si utilizza il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Una volta

determinata la funzione di Lagrange, definita come

0 0

− −

L = û û λ ( R β r ),

×1

1×T T 1×G G×1

G×k k×1

la si minimizza risolvendo il seguente sistema di equazioni:

k + G

( ∂L(·) = 0

∂β

∂L(·) = 0

∂λ

La soluzione del sistema coincide con lo stimatore RLS ed è

0 −1 0 0 −1 0

− −

β̂ = (X X) X y A(R, r, X) R(X X) X y r =

RLS − −

= β̂ A(R, r, X)(Rβ̂ r)

dove è una matrice non stocastica che dipende da e

A(R, r, X) R, r X.

5.1 Proprietà dello stimatore RLS

Lo stimatore RLS è non distorto per solo se le restrizioni sono vere, infatti

β lin.

− −

β̂ ) = β̂ A(R, r, X)(Rβ̂ r) =

E( E

RSL

− −

= β̂) A(R, r, X) RE(

β̂) r =

E(

− −

= β A(R, r, X) Rβ r = β.

| {z }

= 0 se le

restrizioni

sono vere

20

6 Modello di regressione lineare con variabile dummy

Si prende in considerazione il seguente modello di regressione:

con

y = β + β x + u t = 1, . . . , T.

t 1 2 t t

Si suppone di avere delle informazioni aggiuntive sui parametri del modello che sono codifi-

cabili tramite una variabile cioè

dummy,

( se si verifica un certo evento

1 con

d = t = 1, . . . , T.

t altrimenti

0

La variabile può essere utilizzata tramite tre approcci: il modello additivo, il modello

dummy

moltiplicativo e il modello misto.

6.1 Modello additivo

Il modello additivo è definito nel seguente modo: con

M : y = β + β x + β d + u t = 1, . . . , T

A t 1 2 t 3 t t

dove

• è la variazione di al variare di di un’unità

β y x

2

• è la variazione di al passaggio da un tempo in cui si verifica un certo evento ad

β y t

3

uno in cui questo non si verifica.

Il modello additivo dice che i valori della variabile sono sistematicamente più alti/bassi

y

t

in ogni tempo in cui si verifica un certo evento e tale differenza è pari a , costante

t β 3

indipendente da .

x t

Se si ha .

d = 0, y = β + β x + u

t t 1 2 t t

Se si ha .

d = 1, y = β + β + β x + u

t t 1 3 2 t t

Esempio: si ipotizza che , e siano maggiori di

β̂ β̂ β̂ 0.

1 2 3 ^ ^ ^

y = β + β + β

y x

t t

1 3 2

^ ^

= β + β

y x

t t

1 2

^ ^

β + β

1 3

^

β 1 x

Fig. 3: rette di regressione nel modello additivo

21

6.2 Modello moltiplicativo

Il modello moltiplicativo è definito nel seguente modo: con

M : y = β + β x + β d x + u t = 1, . . . , T.

M t 1 2 t 4 t t t

Ai tempi in cui si verifica un certo evento, i valori della variabile sono maggiori/minori

t y

t

(tranne per e la differenza aumenta/decresce all’aumentare di .

x = 0) x

t t

Se si ha .

d = 0, y = β + β x + u

t t 1 2 t t

Se si ha .

d = 1, y = β + (β + β )x + u

t t 1 2 4 t t

Esempio: si ipotizza che , e siano maggiori di

β̂ β̂ β̂ 0.

1 2 4 ^ ^ ^

( )

y = β + β + β

y x

t t

1 3 4

^ ^

= β + β

y x

t t

1 2

^

β 1 x

Fig. 4: rette di regressione nel modello moltiplicativo

6.3 Modello misto

Il modello misto è definito nel seguente modo: con

M : y = β + β x + β d + β d x + u t = 1, . . . , T.

X t 1 2 t 3 t 4 t t t

Il modello misto unisce gli effetti del modello additivo e del modello moltiplicativo e viene

utilizzato per testarli.

Se si ottiene il modello additivo.

β = 0,

4

Se si ottiene il modello moltiplicativo.

β = 0,

3

Si testano quindi i seguenti sistemi di ipotesi:

vs 6

H : β = 0 H : β = 0

0 4 1 4

e vs 6

H : β = 0 H : β = 0.

0 3 1 3

Se si rifiuta e non si rifiuta si accetta il modello additivo.

H : β = 0 H : β = 0,

0 3 0 4

Se si rifiuta e non si rifiuta si accetta il modello moltiplicativo.

H : β = 0 H : β = 0,

0 4 0 3

Nei restanti casi, si accetta il modello misto.

Se si ha .

d = 0, y = β + β x + u

t t 1 2 t t

Se si ha .

d = 1, y = β + β + (β + β )x + u

t t 1 3 2 4 t t

22

Esempio: si ipotizza che , , e siano maggiori di

β̂ β̂ β̂ β̂ 0.

1 2 3 4 ^ ^ ^ ^

( )

y = β + β + β + β

y x

t t

1 3 2 4

^ ^

= β + β

y x

t t

1 2

^ ^

β + β

1 3

^

β 1 x

Fig. 5: rette di regressione nel modello misto

Per stimare i parametri del modello misto, si può procedere in due modi:

• stima OLS sul modello misto

• stime OLS sui seguenti modelli ∀t

M : y = α + α x + u , : d = 0

0 t 1 2 t t t

e ∀t

M : y = γ + γ x + u , : d = 1.

1 t 1 2 t t t

Le stime di e sono rispettivamente e .

β β β = α β = α

1 2 1 1 2 2

Inoltre, siccome e , si ha che le stime di e sono

\ \

γ̂ = β + β γ̂ = β + β β β

1 1 3 2 2 4 3 4

rispettivamente e .

− −

β = γ α β = γ α

3 1 1 4 2 2

È i