Appunti corso Reti di telecomunicazioni

C

rappresenta il numero di valori di s(t) che si valutano nell’unità di tempo. Quanto più piccolo è T,

tanto maggiore è f e quindi tanti più campioni raccogliamo nell’unità di tempo.

C

R ICOSTRUZIONE DEL SEGNALE A PARTIRE DAI SUOI CAMPIONI

Ci proponiamo di verificare la possibilità di ottenere l’andamento esatto, cioè l’andamento

continuo nel tempo, del segnale s(t) a partire solo dalla conoscenza dei suoi campioni. Vedremo

perciò come è possibile fare questo e sotto quali ipotesi il risultato finale risulta valido.

Intanto, è ovvio che l’insieme dei valori di s(nT) che otteniamo negli istanti t=nT, cioè i nostri

campioni, costituiscono ciò che noi abbiamo definito “segnale discreto”: lo possiamo dunque

segnale campionato

indicare con la notazione s(nT). Prende invece il nome di di s(t) il segnale

che si ottiene mediante la formula +∞

∑

= δ −

s t s nT t nT

( ) ( ) ( )

C =−∞

n

Si tratta evidentemente di un segnale CONTINUO costituito da una successione di

impulsi, ciascuno traslato di una quantità nT rispetto all’origine e di area pari al valore del

corrispondente campione s(nT). Questo segnale campionato ha la particolarità di assumere, in

ogni istante, il valore che ivi assume s(t): per esempio, possiamo verificare come il valore assunto

=

dal segnale campionato in t=0 sia lo stesso che ivi assume s(t), ossia s ( t ) s

( 0 ) .

=

C t 0

Per la verifica, cominciamo a sviluppare parzialmente quella sommatoria: si ha che

= + − δ + + − δ + + δ + δ − + δ − +

s ( t ) .... s

( 2 T

) ( t 2 T

) s

( T

) ( t T

) s

( 0

) ( 0

) s

( T

) ( t T

) s

( 2 T

) ( t 2 T

) ...

C

Quando t=0, questa scrittura diventa

= = + − δ + + − δ + + δ + δ − + δ − +

s ( t 0

) .... s

( 2 T

) ( 2 T

) s

( T

) ( T

) s

( 0

) ( 0

) s

( T

) ( T

) s

( 2 T

) ( 2 T

) ...

C δ

Ma gli impulsi assumono valore nullo negli istanti diversi da 0, per cui rimane

= = δ

s ( t 0

) s

( 0

) ( 0

)

C 2

Autore: Sandro Petrizzelli Campionamento ideale

δ(0)=1,

Inoltre, per cui concludiamo che = =

s ( t 0

) s

( 0

)

C

che era ciò che volevamo verificare.

Fatta questa verifica, vogliamo calcolare quanto vale la trasformata di Fourier del segnale

campionato s (t). Intanto, possiamo manipolare ulteriormente l’espressione di questo segnale: infatti,

C

considerando che il prodotto s(nT)δ(t-nT) ha senso solo per t=nT, mentre vale 0 altrove, noi

possiamo porre proprio t=nT, in modo da ottenere

+∞ +∞ +∞

∑ ∑ ∑

= δ − = δ − = δ −

s ( t ) s

( nT

) ( t nT

) s

( t ) ( t nT

) s

( t ) ( t nT )

C =−∞ =−∞ =−∞

n n n

A partire da questa espressione, calcoliamo S (f), la quale sarà evidentemente pari alla

C

trasformata del secondo membro; questo secondo membro è costituito da un prodotto: ricordando

allora che un prodotto nel dominio del tempo equivale ad una convoluzione nel dominio della

frequenza (proprietà di convoluzione in frequenza), possiamo scrivere che

 

+∞

∑

= δ −

 

S ( f ) S

( f ) * Fourier ( t nT

)

C  

=−∞

n

In precedenza abbiamo trovato che la trasformata di Fourier del segnale

+∞

∑

= δ −

g ( t ) ( t nT

)

= −∞

n pettine di impulsi pettine di

che rappresenta una successione di impulsi (ed è infatti chiamato o

campionamento), è il segnale +∞  

1 n

∑

= δ −

 

G ( f ) f

 

T T

=−∞

n

che rappresenta a sua volta una successione di impulsi:

g(t) T 2T 3T t

G(f)

-2f -f f 2f f

C C C C

3 Autore: Sandro Petrizzelli

Appunti di “Teoria dei Segnali” - Capitolo 4

Andando a sostituire nella espressione di S (f) otteniamo

C

+∞ +∞  

 

1 1

n n

∑ ∑

δ δ

= −

= −  

 

S ( f ) S

( f ) * f S

( f ) * f

 

 

C T T T T

= −∞ = −∞

n n

A questo punto, ci ricordiamo che la convoluzione tra un qualsiasi segnale e l’impulso traslato è

pari al segnale stesso calcolato nello stesso punto in cui è applicato l’impulso, per cui concludiamo

che lo spettro (cioè la trasformata di Fourier) del segnale campionato è

+∞  

1 n

∑

= −

 

( )

S f S f

 

C T

T = −∞

n

Come è fatto questo spettro? Dato che la funzione S(f) non è altro che lo spettro del nostro

segnale s(t), deduciamo che S (f) consiste in una successione di repliche, a

C

meno del fattore costante 1/T, dello spettro di s(t), ciascuna

traslata rispetto all’origine di una quantità pari ad un multiplo

infatti, andando a sviluppare parzialmente

della frequenza di campionamento f =1/T:

C

quella sommatoria, troviamo evidentemente che

       

1 2 1 1 1 1 1 1 2

( )

= + + + + + + − + − + −

       

S ( f ) .. S f S f S f S f S f ...

       

C T T T T T T T T T

Per essere più chiari, supponiamo che lo spettro di s(t) sia del tipo seguente:

S(f)

-f -w +w f f

C C

Lo spettro del segnale campionato sarà allora del tipo seguente:

S (f)

C

-2f -f f 2f

-w +w f

C C C C

Spettro del segnale campionato per il segnale della figura precedente. Gli impulsi posizionati sulla frequenza f C

e sui suoi multipli rappresentano lo spettro del pettine di campionamento, indicato al fine di evidenziare l’effetto

della convoluzione: S(f) viene collocato a cavallo di ciascun impulso di campionamento (in frequenza). In figura

±f ±2f

sono indicate solo le repliche a cavallo della frequenza 0, di e di ,, ma sono da considerarsi anche le

C C

repliche a cavallo degli infiniti altri multipli della frequenza di campionamento

4

Autore: Sandro Petrizzelli Campionamento ideale

Quindi, fino ad ora, noi abbiamo fatto questo: una volta noti i campioni del nostro segnale,

abbiamo costruito in modo analitico il segnale campionato ed il suo spettro e abbiamo trovato che

tale spettro è costituito da una successione di infinite repliche (a meno del termine 1/T) dello spettro

di s(t). Allora, è evidente che, se riusciamo ad isolare, a partire da queste infinite repliche, una sola

di esse, per esempio quella centrata nell’origine, avremo ottenuto proprio lo spettro di s(t) dal quale

formula di antitrasformazione,

potremo risalire, mediante la all’espressione di s(t).

Si pongono allora due domande: come è possibile isolare lo spettro di s(t) a partire dallo spettro di

s (t) e, in secondo luogo, quando è possibile far questo?

C rettangolo

La risposta alla prima domanda è a noi nota: basta infatti moltiplicare S (f) per un

C

opportuno, tale cioè che azzeri tutte le altre repliche mentre lasci più o meno invariata quella

“centrale” (questo concetto sarà approfondito più avanti).

La risposta alla seconda domanda discende a sua volta da quanto appena detto: infatti, è ovvio che

possiamo isolare S(f), cioè la replica centrale, solo a condizione che essa non sia sovrapposta alle

altre repliche. Infatti, è chiaro che se S (f) è quello disegnato poco fa, siamo in grado di trovare 2

C

valori -w,+w tali che il rettangolo avente per estremi tali valori racchiuda solo la replica centrale

mentre non racchiuda le altre. Al contrario, se S (f) fosse del tipo

C

S (f)

C

-2f -f f 2f f

C C C C

è chiaro che noi non potremo mai trovare un intervallo [-w,+w] che racchiuda solo la replica

centrale. la condizione necessaria perché sia possibile

Questo ci consente dunque di dire che

ricostruire il segnale s(t) a partire dai suoi campioni è che le repliche di S(f) che

costituiscono S (f), cioè lo spettro del segnale campionato, non si sovrappongano

C

reciprocamente.

Vediamo allora cosa deve succedere affinché non ci sia la sovrapposizione delle repliche. E’

subito evidente che la posizione delle repliche dipende strettamente dal valore della frequenza di

campionamento f (cioè dal valore del periodo di campionamento T): allora, indicato con [-w,+w],

C banda

dove w è la cosiddetta di S (f), l’intervallo (simmetrico rispetto all’origine) che racchiude la

C

replica centrale, ossia S (f)

C

-2f -f -w +w f 2f f

C C C C

è evidente che, affinché non si abbia la sovrapposizione delle repliche, deve essere

≥

f 2 w

C 5 Autore: Sandro Petrizzelli

Appunti di “Teoria dei Segnali” - Capitolo 4

condizione di Nyquist,

Questa, che prende il nome di è la prima condizione necessaria per la

la frequenza di

ricostruzione del segnale s(t) a partire dal suo segnale campionato:

campionamento deve essere scelta maggiore o al più uguale al doppio di w.

Il valore limite è ovviamente f =2w, nel quale caso avremmo S (f) fatto nel modo seguente:

C C

S (f)

C

-2f -f -w +w f 2f f

C C C C

N.B. Ricordiamo che il fatto per cui gli estremi dell’intervallo in cui è definita ciascuna replica

siano simmetrici rispetto ad un valore centrale deriva da una proprietà fondamentale della

trasformata di Fourier: si tratta della proprietà secondo cui la parte reale della trasformata di

Fourier è una funzione pari in f (per maggiori dettagli vedere il paragrafo sulle proprietà

generali della trasformata di Fourier)

Non è ancora finita: è ovvio che la condizione di Nyquist non ha senso quando w=∞, ossia quando

∞

lo spettro di s(t) NON è a banda limitata: tra l’altro, in quel caso, tale spettro si estende da -∞ e +

ed è quindi inevitabile che le repliche, a prescindere dal valore della frequenza di campionamento, si

sovrappongano. Per esempio, non sarà mai possibile ricostruire un segnale s(t) il cui spettro sia una

funzione periodica. Come anche non sarà mai possibile ricostruire un segn