Appunti completi della prima parte del corso di Laboratorio di programmazione e calcolo

Dimostrazione Fattorizzazione di A

Pez cambiatoscambiatequesto loproblema dueovviare vienezighe,possiamo così umo comaalteo mumeco, poetaze fattocizzazionela idi cheterminevedete recificatequellomodo possiamo Lu,un èper asedellarmatzica tutti diversi daminozi siamo zezo.

DIMOSTRAZIONEFATTORIZZAZIONEduA als anaanzan= aze 023 azcaia3 032 &34033 aakac açz a (i)3 laammultanoR2 *Re-manALGORIMODI AI ePASSO as arcGAUSS: QRzan=I se sa(1)colommaR3 *R3-mare 0 a23 azaazzpenna (1) (1)(e)Ra Re* Ra-man &32 &340330 (seise acce0 acz auAl?matzice tale moltiplicata da Si:Esiste A miche ezuna PAMe= a13 arce1000 anzare=1 00 X az d2s azcaemar- O a3 032-me0 &34033l00 aakac açz a-ma Adell'algoritmo diQuesta matzice il MexAGauss:fa panno passo =(2)3 secondaR3 *R3-m3zRzALCORIMO AlaPASSO GAUSS: ammuttaDI as arcearareA =I (1) (e)e)CRa* colommaRa-mace 0 &23 aza&22 (2](270 &34a330 (2)(2)⑧ acce0 QuM2 0 00= Al>= MexMexA=1 00 00-13210-mazO0 l Sammullalatezza =Ra*Ra-mas =colonnaALGORIMO

A#PASSO GAUSS:DI aus arceanzam (1) (1)(e)0 &23 aza&22 (27(270 &340330 (3)0 acce00 DM3 1000= A U>M3 AM2 Mexx =xr0 00 = =00100 10-masGENERALECASO Alm =Mm-ex... MexAMan x x =MmXMmDIINVERSA Me-nX...Poiché =Mex AMinex...xMax MixMax...l'inversatale MixAesiste cheMichiedo xse = detto.ta tutti diagonale, hammoLe tutteinverticematzic quindisullaangolazi infezioni hammoperchéMm eesi possono sono triangolaziImoltze, matzici tuttiprodottodimostraze diagonalepossibile il infezionidiche sullaanche e èè commatzice invertibile.quinditipo,stessodelloancora una èMixMx...xQuindi d'inversa nell'ordineMxU delleA= alprodotto prodottodel uguale opposto.inverse-D è messesen↓ tuttin postoèdimostrace giusto.devoOra triangolace tutti moltiplicatoriche diagonale alsuela iinfezione,una con conePez definiamomatzici vettoregemezale, ausiliazi,cemdece il alle ancheoltre ausiliace:caso umCRY0Vi= -0I0&(1ste,k)IM(n,k)Imoltze

voltamatzicedella faogni* lEm n - 2 diventa:

La complessitàn-k) calcoli,

COMPLESSIA: ppeasemplificaze; anche imfatti:(k=n-b5=m-nm-1,2k pozzej >- posso = =- + 1 21 bjmk r== n --- 2-6 + je5: =

COMPLESSITADELLACALCOLO2rn - senteaiEi=mantel;5 + 6j: e- e -marzo3 COMPLESSITAASINTOTICA:n)(n)/2m-1)(n) (mCOMPLESSITA' -+ -ERRORI calcolomatite prodotto zealtà considezazenella matzicdaQuando affettadevo soprattuttocheil laquandoim èama, ezzoze,trasformata zealtà ma.volte, quindi calcolo Incerapiù geiimdicitvieme im "mâ"hotzascuratoscrittura"ma" eda)m(ama damatm== + dim.-mal=/matma-mal=ImIda alamplificato base moduloquestoImâ ERRORE ezzozeproDOTO, in S uL menooèPIVOTINGALGORIMO 20103GAUSS CONDI 1)(k (k1)( 1) --- ai5-MikAkaij mwa) questodaaffetta quindi mpescheNonma ha haad perezzoze,si simada)m(ama ma=+= + tra quantità,duecappotto die:Siccome faze modo cheè mimocein siapossoim un i1)(k mumezatoze,del-

aldemonimatore uguale quindi,moduloface che ilmodoDevo passomaggioreaik in im osiamik= ↳1)(- dil'elementomatzice attiva, attiva,della matzicedellasulla sulla colommaresimacioèpara massimoakk ziga cezco/coe delquell'elemento cercositzovascambiomodulo lala colommacui svelazigakesimaziga pivotpoi ine com pivot).dell'elemento l'elementoqual grandescambio quettagrande lapoipiù ziga più comè e comdidell'algoritmoQuesto "maiva".stabile Gaussalgozitino è piùPIVOTINGDELLASTRATEGIA sound "maive"l'eliminazione di puòdidegli Gaussoff,della aisvetacedelleffettoA propagazione eccocic ausaimsufficiente.ESEMPIOPASSO 2K m= -In zounddi· di off:eccociassenza la soluzione 1é+xmexm-n Xm1 Xm =1D == -Xm 32xm +1 =- diconto coundoff:·Tenendo degli ezzozi grandellebéI moltiplicatore, checalcolo moltoil éEXm Xm 1 ummumezo1 = ↓+-(*) 2xm Xm 3=1 +-PASSO K 1m= -XmEXm-n 1+

=z)xm( 23= -- EEffettuo substitution:backla22Xn 3 -= 21 -1-xmXi-r = E E esattovalore28 il212 =2 3 ·xm n=0 = De> x-= -- = xm)/z affetto(1 cancellazioneimduzzàperchédasazà mumezica·2E ezzoce212z1 xm -n -= -- - mumecatocesuesubstitution,effettuandoQuindi, affettiback dadila valori Xm-3,...,i Xanche ezzoce.Xm-z, somomalcondizionato.l'accotondamento questoQuesto problemaperchè èeccoze permasceN.B. noneESEMPIO tingazitmeticaEliminazione Gaussdi cigee oin senzaa piea0,003000x 59,1759,14x2 =+5,291x1 46,786,130x2 =- 1,000X2SOLUZIONEESATA: 10,00X1 = e =accotondamento significativecigzeaa1763,6617645,291m = =0,003000Rece 1,001X259,1759,16x2 ==D0,003000x + => (1,001)(59,14)azzotondamenti =-10,0025a,17-x-109300x2=-109600 completamente della esattadiverso da sol-avindix è xe0,003000Ra-11863,56)di: 59,17Re 59,14x2invece 0,003000x =+A- -104309,375esattaazitmetica -1040309,375x2im =azitmetica pirotingEliminazione di Gauss cigeeim a a e

com0,003000x 59,1759,14x2 =+5,291x1 46,786,130x2 =- didel 5,291x1zighe: 46,78scambiomassimo 6,130x2zicezca =e -0,003000x 59,1759,14x2 =+0,00056700,003000m = =5,201(m)ReR2 D In45,785,291x 6,130x2 4x2 1,000= questa ottempo- uguali esatti.- retati quelli= eismanieza a= 6,130)(1,000)(-59,14 10,0046,7854,14x2 x -== =5,291(A)ladel dipivotingStrategia pazziale zisoluzioneper~EXm-n+Xn 1=32xm Xm =1 +-l elemento di scambiomodulo zigheee massimoaiceaco eXm2Xm 32 1 =+-EXm 1Xm1 =- + disposta accurataPezEpiccolo3 Xm2Xm 3 Xm~~+ =-z)Xm(1 Xm x3 ~31 1 = n- = - -- 2je fattoprecedente dovutoproblema semplicementenella piccolo,fatto chechecisoluzione al al èè èa manonrispetto coefficienti stessapiccolo colomma.altri nellaagliPASSOK 1)(k /K-17