Appunti completi della prima parte del corso di Laboratorio di programmazione e calcolo

APPUNTI

LABORATORIO

DI PROGRAMMAZIONE

E CALCOLO

Giacobelli

Ginevra 19103

POINT

FLOATING

ARIMETICA

ERRORI IN del ad

significative zeale

di di

di

limitatezza

da conduzze eccoci

afee numero

numero un può

accotondamento, incolommamento cancellazione.

M

e

ARROTONDAMENTO:

ERRORE

DI

10+

0,6342* no

*

0,4964 nell'azitmetica

ro esall

asultato gloating deve mozmalizzare

cambia point

* perché

si si

1,1306 D - point

floating

10

0,131* mettere

zisuetab quindi deve

si 0,......

INCOLONNAMENTO:

ERRORE DI

S G

= 10

- /

0,1234* A 0,1234000 -

10

D

* 10 *

0,0007231

0,7231 0,12267694103

10

0,1227*

- -

-isvetal esatto

asvetato

-

gloating-point di potezli sottazze

diversi

ordini

In grandezza

due

questo mumezi

i e per

avevamo sommaze eza

caso o

all'ordine del

grandezza

piccolo

postare grande.

di

il

mecessazio più più no

effettuata

L'operazione 10", 18-0,007

0,123440-0,72314 *

zealmente stata

è 0,1234

non ma

andato

In parte del contributo del secondo

modo

questo è

numero

geam perso.

·S c

= 10t

*

10t D

* 0Gz10000

0,4721 /

103

* D no

0,00002107*

0,2107 no 18

-07*

*

0,472

- esatto

asultato

ziscetato

geoating-point lepsilon macchimal

ottenuto

cisultato addendo

al

uguale

je

↳ primo

è approssimata dei

da

L'ezcoze zappresentazione

zisultato stato

mel causato

è

N.B. non una all'operazione.

due necessità

di

dalla procedere

addemdi, incolommazei potez

pez

ma

CANCELLAZIONE:

DI

ERRORE

·S

G

= 10

*

0,1234 -

8

0,1233* esatto zisvetato

diverso

cisvetato dovuto

mozmalizzaze

perché ho

ie

è pez

10

0,0001 point

gloating

no Azisultato

* dell'n.

dopo

eliminaze gli zezi viegola

la prima

1000

0 e

/ e significativi

zezi non point

goating

La sottrazione ottemuto

zisuetato cozzetto

il è

speciale

imduzze gemomemo:

uno

può

sigmigical Nella alcune

zimozmalizzazione

normalizzato. della

ive, posizioni

cifre - è

a ma non

su significato.

mantissa ziempite di

paivi

zezi

sono con

·y=

G

185 -

4 =

ge(5) 102

=

0,4955

ge(a) 2

=

0,1954 no

4* 10

0,4454.no

10 0,01

0,4455 0,1 =

=

= -

risultato

il esatto

Ma 0,011274...

è troppo

se dal

mato due

problema sottazze vicimi.

mumezi

è

Pez evitaze questo contracio:

al

zazionalizzazione

cancellazione, possibile

di la

faze

è

ezzoce

-B =

+

X

A stima

punto,

vesto la sazá:

pez

nuova y

9

- 0,1122.n8

4** l R

=

0,4455.102 +0,4454:102=

0,0909.12

L'eccoze di deve

due

cancellazione sottzazze uguali

manifeste e

met numeri

si

numerica

N.B. quasi

evitato opportume strategie di calcolo.

esseze com

Eo *

x

·ex = K all

X opportunamente

troncazea

considezaze formula

questa che

base

S

evogen

o ezzoce

posso e in

e,

voglio. bene;

dicituza funzione

questa

Sexso,

· elevato positivo

presenta negativo

la quindi iltermine

Sexto,

· paci

numeco

sezie e

un , pez

a e

negativo ha alterni

dispaci quindi sezie segni

si

peak è una a I

E 1

utilizzaze

Ivo

quando megativo

gozmula che

Quindi, e=

ea

conviene x

-

mega

x è com

I

x

-

e

positivo,

diventa altezmi.

della

quindi il segni

problema

è sezie

più

non

e a

DEGLI

CONSEGUENZE ERRORI

azitmetica finita, associative.

operazioni

le

Neeè precisione non sono

a

PROPAGAZIONE

DEGLI ERRORI degli

matematico ziguarda

quanto

Dato distingueze, la il

problema propagazione ezzozi,

si per

un può utilizzato

di

il algozitimo

comportamento particolaze

comportamento zisolvezeo.

del problema pez

un

e

(I zettel

tersezione di due

Es. M

A COMPORTAMENTO PROBLEMA:

DEL coefficienti

(cambiando punto!

di

delle quanto

· cette sposta il

pendenza

cambio

Se la si

i meno.

(se

cette

delle

Dipende dalla parallele

posizione quasi

sono o

1

A DELLALGORTMO:

COMPORTAMENTO I

petrabato, l'algoritmo sballa

Setzovo algoritmo ad

base problema -

anche

in è

un un I

zette perturbato

delle zette

il zisueta

nel le quasi

problema

caso sono

se

- cambiando di coefficienti, il

pazallele, tanto cisvetato.

di

cambia

i

perché poco

A il

studiaze,

Bisogna problema.

quindi, condizionamento del

PROBLEMA

COMPORTAMENTO DEL

PROBLEMA POSTO

BEN (secondo Hadamazd)

bemposto

problema

Un è se:

·ammette soluzione;

·la soluzione unicar;

è dati.

continua dai

dipende

la soluzione manieza

. in dati

peatuabazioni

PROBLEMABENCONDIZIONATO: zisultati;

"piccole"

vaziazioni

"piccole" sui

cozzispondono

sui

a l'ordine dell'escoze zisultati

di deve uguale

grandezza

imoltze sui essere o

dell' dati, deve amplificate.

si

con

nei

mimoze eczoce commesso non vaziazioni zisultati.

"gzamdi"

dati

"piccol"

pectuzbazioni coozispondono

sui sui

MALCONDIZIONATO:

PROBLEMA a malcondizionato,

dell'intersezione quasi

Nel delle zette parallele

zette, le problema

il è se

caso sono

se

disegnate bemposto.

problema

metta figura, il

invece prima

sono è

come bencondizionato malcondizionato

stabilize

Pez calcoli

dei

bisogna effettuate

problema

N.B. se è o

un

MALCONDIZIONATO

PROBLEMA

ESEMPIO

z)

(x E

=

-

P(x,z): - G 0

ax E

x =

-

+

2

x2

DX

2 0 =

=

=

18 2 2-18

Dx x2

E =

= =

* -

Pectuzbazione Pectubazione sui

sui ↓ no

asvetati:

dati:

no

La no,

di

amplificata malposto.

peatuabazione fattoze il problema

quindi

si un

è è

z)

(x

·P(x) = - coincidenti

P(x) uguali

azadici zeali

ha az -18°

noi

Sepectubiamo R(x)=P(x)

moto

termine otteniamo

il di modificato

P(x) da il

petrabazione

zadici ha

zeali:

ha: 1,99 2,01

z e zadici!

zadici delle

complesser: di appartenenza

210,01:

z

. campo

·CASO DUERETTE PARALLE:

QUASI

DELLE

E 7,259 -3,44952372

6xr+61,5x2 = ESATA:

Xe

SOLUZIONE =

74,4843

630,55x2 0,45457142

51,5x = x2 =

+

E 7,259 -2,218222217

ESATA:

6x+61,5x2 SOLUZIONE X

= =

76,40

61,5x1+630,6X2 0,334açac

= x2 =

D18 malposto fattore di amplificazione

problema

ERRORE DATI

NEI

RELATIVO com

D10° dell'ezzoze=

104

· RISULTATI

ERRORE NEI

RELATIVO PROBLEMA

DI UN

CONDIZIONAMENTO

DI

INDICE

Detti:

8 l'ezzoze dati

mei I

coccispondente

l'ezzoze soluzione,

nella

&

posto: 5 M8

= del

detto condizionamento

di problema.

indice

è

M condizionato;

ben

problema

il

·Man è condizionato.

problema mal

il

·se è

Di M8.

del tipo:

solito zelazione

ad 5

pezviene

N.B. si =

una

ASSOLUTO

ERRORE

ESEMPIO punto

·Valutazione mel

di funzionef x.

una valutata

aggetto di zoumdoff,

da

Se f in x+DX.

è saza

ezzoce

x f(x))

xx)

(f(x

f(x))

Quindi (f(xn)

Df

x* Dx

x = -

e =

= -

+ +

L'eccoze dati dato dalla pectrebazione

sui che in

è

è

N.B. x f(x))

↓'ezzoze f(x))

(f(x) Dx)

(f(x

alla

eisultati, diffezemzaDf

uguale

sui invece, e =

- -

= +

quantità

f(x+Dx)=

f(x):

dezivabile

Se fà sviluppare la

secie

in

posso

f(x)(x) R(X)

xx)

f(x f(x) R(Dx)

einn

= com

+ 0

+

+ =

Ax- DO DX

di presente

dell'eccoce assoluto

Quimdi(/~)(x) fattore

DIf(x)) amplificazione

il

è cappresenta di condizionamento assoluto.

l'indice

dati,

Ma mei quindi

-

ERRORE

RELATIVO)

ESEMPIO 2 punto

·Valutazione mel

di funzionef x.

una valutata

aggetto di zoumdoff,

da

Se f in x+DX.

è saza

ezzoce

x f(x))

xx)

(f(x

f(x))

Quindi (f(xn)

Df

x* Dx

x = -

e =

= -

+ + quantità

f(x+Dx)=

f(x):

dezivabile

Se fà sviluppare la

secie

in

posso come

R(Dx)

f(x)Dx

Af = + 1g(x) dell'

x)

g(x) (9,x) di

fattoze

=

quimdi amplificazione

A il

x eccoce

è

=

e ↓ 1f(x)|

f(x) e

ne

ne l'indice

dati, zappresenta

quimdi

celativo presente mei

I

- MR di condizionamento zelativo.

ESERCIZIO

Calcolace l'indice condizionamento X

di della e

funzione x e

Gpossiamo avvicimace a

destra.

solo da

2: 12x1

· x MA = 4

12x.x) 2 2

Mr x

= =

=

2

x

·r 1

MA

. = 25

X-l caso:

1teò", questo

Supponiamo

1 in

di aveze x=

X

MR = .

au

l

x - ho

x- - L'indice condizionamento

di che ci si

Cresce mano

man

avvicima 1.

a ha

condizionato di

analizzando

Se ben

troviamo

problema india

il che momè

N.B. un

7 /

o conto

mettere

dobbiamo

condizionamento atto

molto possiamo asolvezo, in

oppure

proprio

mon

di dall'ezzoce.

dipendono

alaume

pezdeze che

afee, 17103

CONDIZIONAMENTO

DI

INDICE (pd

Md

5 = condizionamento base

al del dell'

possibile studiate

oltre problema, la

anche

è ·ome ezzoze

propag in

al

dell'algor

all'algoritino questo stabilità

utilizzato, tro

parla di

in si

caso I

INSTABKE

STABKE

GORIMO

A E l'eccoze instabile.

limital

algocitino attimenti dice

mantiene si

parla di stabile

Si -

si

se S algoritmo

dizisolvere

il malcondizionato,

problema stabile,

problema

il

Se si pensanze com

è um

non può la

malcondizionato di

soluzi

o problema

problema pesche

zigoemulaz

·ome

si ne

im cerca

gemece um

pe un

una

bemcondizionato.

maecondizionato da

contana problema

quella del

è

RISOLUZIONE DI LINEARE

UN SISTEMA DIEQUAZIONI

3

be

aumx=

anxetQzxat +

.... Nx

(x)e,b

(aien,x (bi)

bcomA

Ax

b2

&zexetazzx2t.... +azmXn = =

=

= =

i

i i

i bm

ammx

amexetamzXzt.... = invertibile),

simgolace/ha

di

La detto ed

sistema A

esiste

soluzione questo ed solo

unica è è

se non

è

altamenti infinite soluzioni.

sono

ci quindi,

Supponiamo, A simgolace.

che è non

TRIANGOLARE

SISTEMA be

a

anxe anzxztan3x3t... Xn=

+ + bz

a23X3t... +azmXm

azzx2 =

+ b3

+a3mxm

a33x3t =

...

.

.......... i

br

ammXm = singolace,

matzice

Pezzisolvere deve tutti

la

questo sistema dellateiangolace,

quindi, nel

essere non caso

elementi diagonale devono

gli sulla essere to SUBSTUTION

/FORMULA

TRIANGOLARE

RISOLVERE

LA

PER

ALGORIMO MATRICE BACKWARD

DI

matrice

je della sceireze

diagonale,

sistema gemezale,

im si come:

può

bi

aiixitaiteXit+...famXn=

Goë: M bi

dijx5=

aixit -ax5

bi matematicamente pezie,

vale

xi i

= I

ith

I = algoritmicamente vale

ai i m-1,

=

pez tutti

mativa

dividere quindi

Si la simgolace, gli

ai

v

aii perché stato supposto

N.B. è

che

pee è

può non o

sono

ALGORIMO:

(i) b(m)(asm,m);

= A

foti m-r:-1:1 ai,s) X(5)

= (i+

*

m) e:m)

a);

x(i) b(i); SUMATLABD it: x

= / -

-

fotj:

it:m

(i) a(i,5).x(5);

x(i) x

= -

end x(i)/a(i,i);

x(i) =

end NUMERO VOLTE

DI

o INCUIVIENE ESECUTO

:5 L'ALGORITMO

E

DELL'ALGORIMO: 2

min

1

COSTO n -

D 1:n

2

m m

- - er

3

n ne

&

TRIANGOLARE

SUPERIORE

MATRICE arm

913

anz

am ..... MATRICE SUPERIORE:

TRIANGOLARE il5

aij

azz 0

azm = per

a23.... D

13m

&33 . . . . :

.... am

· . tziamgolace

Stesso vale sistema

discorso infezione.

per un /FORMULA SUBSTITUTION

INFERIORE

TRIANGOLARE FORWARD

DI

SISTEMA br

anxe =

b2

azzX2

azexe + =

b3

033x3

832x2

&31x1 +

+ =

! i

bi

am3x3+...

amexetamz

x2 amm

+ =

+

L'algoritmo triangolaze cambiano

sistema

quello il indici

solo

uguale gli

che

superiore, i

è ej:

pez

a

1:i

i e

1imej

= = - E

La sommatoria diventa. bi

aiixi=

invece aijxjt aixs

L'inesimo elemento diventa, bi- i=,...m

invece:xi=

·

x, com

ai

INFERIORE

MATRICE

TRIANGOLARE

ar it]

INFERIORE:

&22 TRIANGOLARE

MATRICE

az ai5 pez

0

=

*

933.

ab

abe

: .

! ann

amz an3....--

amn PIENA

MATRICE be

arm

913

anz

am ..... be

azz azm

al

az . . . . b3

13m

a33

d3z

abe . . . .

als.... :

ânez i

br

an devo

Se di

matrice

sistera sobstitution

sfruttare sobstitution,

il fozwaed

gemule back

le ciduzze

ha piena, e

per

matrice l'eliminazione di

la Gauss.

con

Come sistema lineate

risolvere piemo

un

3x X2 G

Es. =

+ 1

x 2x2 =

-

-

Riduzione scala:

a be

arm

913

anz R

am ..... be

azz azm Rz

al

az . . . . b3

13m

a33 R

d3z

abe . . . .

i :

·nas.... i

br

am Rin

k n

=

PASSO K:

k l

lir -

= lin

i k

= + l'elemento

toze

3 da ammullaze

almumeza

mik c'è pirot

l'elemento

demominatore cozzispondenza sulla

al ziga

c'è in

ake

Rix-Ri-mikRK

In diventa:

la

seguito matrice A

alla scala,

ziduzione a

Al A

=

Al al al

PASSOK degli

posto

da

le

am

a13..... zighe che

modifico

= 1,

anz

am zam

primo a

vanno

passo alm,

e

= tutti

azz azm compaiono

aes

0 zezo.

. . . . ----

13m

a33....

0 d3z I

C

i :

i A

e

i colonna

sulla

K-esimo K-esima

opero

passo

- dall'elemento

partice

L l'elemento

sotto

sta

am che

anz....

anz

0 a K.

-

-

~ -

-

Alz arm

913..... al

K

PASSO che

la

secondo zighe

modifico da

anz

am 2,

=

- vanno

passo am.

3

azz azm

aes

0 . . . . 13m

0 a33

0 . . . .

i :

i an

anz....

② 0 ->MATRICE

ATTIVA (ALGORITMO GAuss):

ALGORIMO PER DION LINEARE PIENO

RIDUZIONE SISTEMA

LA DI

ge eim -r

=

fozi=

k+1:m

a(i,)(a(k,k);

m(,k) =

%Rix m(,k).R(x)

R(i)

- -

foj kim

= a(i,j) a(k,j);

m(i,)

a(i,j) -

=

end

b(i) b(k);

b(i) m(i,)*

= -

end

end

In algoritmo usando

questo stiamo contiene

bidimensionale coefficienti del

A, sistema

che la

i

azzay

um e

dell secondo

inoltre

algoritmo, utilizzando

alla stiamo

matrice fine

scalimi anche

cidotta azzan

e un

a costituito moltiplicatori

bidimensionale di ogni

che dai

è passo.

S tutto algozitimo,

zealtá, possibile ciducendo

Im il dele

costo solo che

in quindi

memorizzare unico azzay,

un

è leggibile.

l�