Algebra e geometria - 2-6 Matrici

Matrici di funzioni

Matrice

Matrice _{m x n} (_m righe _n colonne)

Ad ogni funzione lineare si può associare una matrice A

Funzione rappresentata in modo unico.

F(u) = ∑ a_i v_i → w + ...

A = M(V, W)

Matrici rispetto alla base.

(u₁,...,u_m

→

A = M(V).

Matrice è funzione rispetto ... alla base v = ∑ ...

• ← A = (a_ij)
• ← B = (b_ij)

Somma delle corrisponde alla somma della matrice

A^-1 (b_ij) →

← (b_ij)

⇒

• ... e ogni elemento della matrice a + b

l'unione delle matrici m x n forma uno spazio vettoriale

Composizione di funzioni

g : u → v

f : v → w

• → ←

h=v

→ ∑

• ← A = (a_ij)
• ← B = (b_ij)

Base U : v = ∑ (v₁,v₂,...,v_m)

A = \sum

(fH(i, j))

le basi ei:

• ( e_i) ... A

← b_ik → (b_ik)

→

prodotto delle matrici

dim base di v

Matrici di funzioni

_{lunedì 20 marzo 2023}

• MATRICE
• A = (a_ij)

matrice m x n (m righe n colonne)

Matrice

Ad ogni funzione lineare si può associare una matrice A. A dipende dalle basi scelte (U e W)

A = M_U^W(f) Matrice t.q. f -> v rispetto alla base V = {v₁,...,v_n} ⊆ V

o alla base W = {w₁,...,w_m} ⊆ W

F(x) = a₁w₁ + ... + a_mw_m, A - lineare T caso

utilizzo matrici

A = ( ) B = ( ) f ⟶ A = (a_ij) Rn f(g) ⟶ g(v) = b_ij(y) v.

A._V = ()

somma

trasformiamo

come somma corrisponde alle basi V, e W

somma su due matrici

matrice n righe e m colonne

A + B = (a_ij + b_ij) => somma gli elementi che si trovano nella stessa posizione

H_U(f + g) = H_U(f) + H_U(g)

(λ ∈ K) (λ)

prodotto di una matrice per uno scalare

1. A = λ ()
2. A - λ() significa moltiplicare λ per ogni elemento della matrice
3. L'insieme delle matrici m x n forma uno spazio vettoriale

COMPOSIZIONE DI FUNZIONI

v w v w v g(w)

U W 0 0 0 g(f(w))

(f ∘ g)(v) = A C_P w

A C_Pρβ ρβ A

A(f) A = (a_ij) ( ) f(b_ij) ()f

1. g(f) _— ordine delle () φ() w , φ(b_ij) (A ∘ ())

C = ( ) non φ

dim base V

dim base w

Esempio: V =

U = {v₁, v₂, ..., v_n}

W = {w₁, w₂, ..., w_m}

A = M_U^V(f) A = (a_ij) Per — σ

C − β = ( )

prodotto delle matrici

f) ( ) ( ) ( )

C = ( ) B

matrice delle funzioni compostoni istr φθ

A = ( )

C = Matrice delle funzioni composta g∘f

A = (agr) ( )

dim un v = 2

(v₁, v₂)

(v, v₃)

coordinata della matrice

A secondo la base fissata

A =

esempio

• 1 ·
• 3 ·
• 5 ·
• 4 ·

sim. di matrici

A =

• (0 7)
• (1 2)

matrice nulla

matrice opposta

prodotti di matrici

A = (a_i,j)

B = (b_i,j)

C = B · A

(c_i,j) =

esempio

B · A =

• (1 2 0)
• (-3 5 4)
• (2 0 3)
• (5 3 3)
• (2 0 0)
• (-3 5 0)

righe matrice B e colonne matrice A

matrice x 1 (vettore)

c₁

v =

prodotto scalare

cos a =

proprietà prodotto tra matrici

svantaggiose

• A · B ≠ B · A non proprieta commutativa
• 2 matrici non nulle → prodotto matrice nulla
• es: A =
• A=

vantaggiose

if(A)=

VANTAGGIOSE

• (A-B)·C = A·C-B·C proprietà associativa
• (A+B)·C = A·B·C+B·C proprietà distributiva
• A·I = I·A = A elemento neutro prodotto

Matrice con 1 lungo la diagonale principale e in tutto il resto 0

Matrice identità (matrice unitaria)

• I = ^{1 0 0}
•     _{0 1 0}
•     _{0 0 1}

I prodotti notevoli non valgono per le matrici:

• (A+B)² = A² + 2AB + B²
• A² + AB + B²

perché AB ≠ BA

TRASPOSIZIONE

A = (a_ij) n righe m colonne

la TRASPOSTA si indica con A^T (A con l'indice con T)

della matrice A^T è m righe n colonne

esempio

• A = ^{2 3 4}
•     _{4 1 3}
• A^T = ^{2 4}
•          _{3 1}
•          _{4 3}

PROPRIETÀ TRASPOSIZIONE

• (A^T)^T = A
• (A+B)^T = A^T + B^T
• (A-B)^T = A^T - B^T

f: V → W lineare

{v_i, ..., v_n} base di V

{w_i, ..., w_m} base di W

Dim.:

w = f(u) = ∑(a_ijv_j)

po passare da ^(y₁)_(y2)

A f(v) = 0_n, v₁, v₂, w₁, a₂w₂

A =

[1 2 3][0 2 3][0 0 0]colonne di

Le colonne della matrice corrispondono alle immagini f(v₁),...,f(v_n) dei vettori della base di VLe colonne della matrice generano l'immagine di f→ lim (Im(f)) massimo numero di colonne l.i. indipendenti della matrice A

RANGO di AIl rango di colonne della matrice e uguale al rango di righe della matrice

molto utile nei calcoli

Esempio f: R³→R²f(lineare)W

f(v) = a₁v₁ + a₂v₂ + a₃w₃³...v₃³w₃ →(2v₁, 3v₃, 1+v₃)

con f

[f(v)] = g(2)

f(v₃) = a₁w₁ + a₂w₂ + a₃w₃→f(v₁) = a₁(2v₃ + w₃) + 3f(-v₃ + )x = 1 (3w₃)= (2, a₃) (w₃)

1 2A = (₁) = 2(2, 3)(-2,-1)

w₃ a₃

A' (4)

A(-2+)(1)(-3), 3cf(v

Una volta costruita la matrice, questa rimane costante — cambio V e psi con base e quello cambia W con le sue coordinate

Esempio COMPLETO

f: R³→R³ lineare(v) = wW

[D:base canonica di R²] 2 → (x - w) di R¹base di W = R³

-y[(-2,0)]

o {

verificare se v₁, v₂ [3w₃ e -4)(+1)]₃

con base di V

[det:A[4](x - a)= (12