Moto rettilineo uniformemente accelerato: definizione e formule

Nel seguente appunto vedremo che cos'è il moto rettilineo uniformemente accelerato. Il nome è essenzialmente composto da tre parole chiave: rettilineo, uniformemente, accelerato.
Stiamo infatti parlando di un moto che avviene in linea retta (e quindi è, appunto, rettilineo), ed è uniformemente accelerato (l'accelerazione, nonché la variazione di velocità, resta costante con lo scorrere del tempo).

Accelerazione: definizione

L'accelerazione è determinata dalla formula ed è quindi misurata in , ossia in metri per secondo quadrato. Rappresenta quindi la variazione della velocità per unità di tempo. Se si parte ad esempio da fermi e si ha un'accelerazione di , dopo un secondo si viaggerà a , dopo due secondi si viaggerà a ... e così via.

Che cos'è il moto rettilineo uniformemente accelerato?

In un moto rettilineo uniformemente accelerato vale la legge oraria:
dove sono rispettivamente spazio percorso, accelerazione, velocità iniziale e tempo trascorso. Nel caso particolare in cui si parte da fermi, si avrà

[math]v_0 = 0[/math]

da cui si ricava la formula (più semplice):
Facciamo un esempio pratico: supponendo di trovarsi con la bicicletta in cima a una strada perfettamente liscia e in forte pendenza, e di partire da fermo, lasciando che la bicicletta acquisti velocità solamente a causa della pendenza della strada e controllando i tempi con il cronometro, facendo riferimento al passaggio dei paracarri situati, per esempio, a 20 metri l’uno dall’altro, si possono raccogliere dei valori analoghi a quelli riportati nella seguente tabella, supponendo l'accelerazione :
Se volessimo rappresentare la tabella analoga ma riportando invece la velocità istantanea della bicicletta piuttosto che il tempo e lo spazio percorso, otterremmo una proporzionalità diretta. La proporzionalità diretta viene ottenuta perché e quindi all'aumentare di

[math] v [/math]

aumenta allo stesso modo anche

[math] t [/math]

, dato che

[math] a [/math]

è costante. Vediamo un esempio:
Possiamo in definitiva concludere che gli unici rapporti a rimanere costanti sono

[math]\frac{s}{t^2}[/math]

e

[math]\frac{v}{t}[/math]

.

Per ulteriori approfondimenti sulla proporzionalità vedi anche qua

Formule inverse utili

Nell'ipotesi in cui , come abbiamo detto in precedenza si avrà che . Da questa formula possiamo ricavare la formula inversa per il calcolo dell'accelerazione:
Analogamente si può ricavare la formula inversa per il calcolo del tempo impiegato:
Nei paragrafi successivi vedremo degli esempi.

Esempio 1

• Un aereo parte da fermo ed accelera lungo una pista lunga
  [math]500 \text{m}[/math]
  (per poi decollare subito dopo) con un'accelerazione pari a
  [math] 5 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} [/math]
  . Quanto tempo impiega per raggiungere la velocità idonea al decollo?
• Soluzione: È abbastanza chiaro che in questo esempio bisogna trovare il tempo
  [math]t[/math]
  . Il problema ci fornisce come dati l'accelerazione
  [math] a [/math]
  e lo spazio da percorrere
  [math] s [/math]
  . Possiamo utilizzare la formula per il calcolo del tempo dati spazio e accelerazione:
  [math] t = \sqrt{\frac{2s}{a}} = \sqrt{200 s^2} [/math]
  (il 200 viene fuori dal rapporto tra lo spazio moltiplicato per 2 e l'accelerazione dell'aereo).
  In definitiva
  [math] t = 14,142 \text{s} [/math]
  .

Esempio 2

• Una macchina da corsa percorre uno spazio di 180 metri in un intervallo di tempo di 10 secondi. Sapendo che l'accelerazione della macchina da corsa è da un certo punto in poi costante e pari a
  [math] 3 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} [/math]
  , la macchina da corsa è partita da ferma o era già in movimento?
• Soluzione: Questo problema è leggermente più articolato, cerchiamo di tradurlo in formule. Prendiamo la formula generale del moto rettilineo uniformemente accelerato. Avendo
  [math] s = \frac{1}{2} at^2 + v_0t [/math]
  si tratta di determinare se
  [math] v_0 > 0 [/math]
  . Sostituiamo i dati a noi noti, conosciamo
  [math]s, a, t[/math]
  . Avremo quindi che
  [math] 180 \text{m} = \frac{1}{2} \cdot 3 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 100 s^2 + x \cdot 10 s [/math]
  . Abbiamo posto
  [math] v_0 = x[/math]
  , ora è sufficiente risolvere l'equazione di primo grado. Si ottiene quindi che
  [math] 180 \text{m} = 150 \text{m} + x \cdot 10 \text{s} [/math]
  . Da qui ricaviamo che
  [math] x \cdot 10 \text{s} = 30 \text{m} [/math]
  e in definitiva ricaviamo che
  [math] x = 3 \frac{\text{m}}{\text{s}} [/math]
  . L'automobile da corsa non aveva quindi velocità iniziale nulla, in quanto chiaramente si ha che
  [math] 3 > 0 [/math]
  .

Grafici relativi al moto rettilineo uniformemente accelerato

Se rappresentiamo lo spazio percorso in funzione del tempo in un moto rettilineo uniformemente accelerato, si otterrà un ramo di parabola. Altrimenti, se si rappresenta la velocità del moto in funzione del tempo trascorso, quello che si ottiene sarà una retta (poiché si ha una proporzionalità diretta).

Per ulteriori approfondimenti sulla parabola, vedi anche qua