Ricerca massimi e minimi

Tesina anno scolastico 2008/2009

Ricerca dei massimi e minimi

Funzione di una variabile

Funzione di due variabili

Programmazione lineare

Istituto G. Vallauri

Di Mariotti Simone, sezione VBI

(Abacus)

Ricerca dei massimi e minimi in:

Matematica attraverso una

Funzione di una variabile

Ricerca dei massimi e dei minimi

In una funzione ad una variabile

In una funzione ad una variabile per ricercare i massimi e i minimi è necessario individuare nella funzione:

• Il tipo
• Il dominio
• Il segno

Intersezione degli assi e il

• Il comportamento agli estremi del dominio
• Ricerca degli asintoti
• Ricerca intervalli di crescenza decrescenza e dei punti di massimo e di minimo
• Ricerca intervalli di concavità, convessità e punti di flesso
• Rappresentazione grafica

Tipo di funzione

Una funzione si può classificare entro i seguenti tipi:

• Razionale
• Irrazionale
• Trascendente esponenziale
• Trascendente logaritmica
• Trascendente trigonometrica

Razionale

• Razionale intera: se è del tipo:

Dove P(x) è un polinomio nella variabile x.

• Razionale fratta: se è del tipo

P ( x )



y Q ( x )

Dove P(x) e Q(x) sono due polinomi nella variabile x.

Irrazionale

• Irrazionale intera: se è del tipo:

 n

y m

• Irrazionale fratta: se è del tipo:

Con:

Esponenziale

• Trascendente esponenziale intera: se è del tipo:

f ( x )

a



y

• Trascendente esponenziale fratta: se è del tipo:

P ( x )

a



y Q ( x )

Logaritmica

• Trascendente logaritmica intera: se è del tipo

con



y og P (x )



• Trascendente logaritmica fratta: se è del tipo

a



y con

og f (x )



Dominio di una funzione

Il dominio di una funzione è l'insieme su cui la funzione è definita, mentre il codominio è l'insieme dei valori che la funzione può assumere.

Se la funzione è:

• Razionale intera, il dominio risulta: per ogni valore di x.
• Razionale fratta, il dominio risulta: per ogni valore di x ad esclusione dei valori che annullano il denominatore.
• Irrazionale intera (fratta) con indice del radicale dispari, allora il dominio è come quello delle razionali intere (fratte).
• Irrazionale intera con indice del radicale pari, allora si impone al radicando d'essere positivo o nullo.
• Irrazionale fratta con indice del radicale pari, si impone al radicando d'essere positivo.
• Esponenziale, allora il dominio è come quello delle funzioni razionali.

Intere o fratte

• Logaritmica, allora si impone all'argomento d'essere positivo.

Segno della funzione

Tale passaggio precisa all’interno del dominio le parti in cui:

E le parti in cui:

Comportamento agli estremi del dominio

È necessario determinare il comportamento della funzione in prossimità degli estremi.

• Si cercano i limiti della funzione al tendere di x ai valori estremanti del dominio.

A questo punto, se si trova una forma indeterminata del tipo



0

oppure 

0

oppure riconducibili ad esse, allora si può ricorrere alla Regola di De L'Hopital.

Regola di de L'Hopital

Nell'analisi matematica la regola di de l'Hopital è un procedimento che permette di calcolare vari limiti di quozienti di funzioni reali di variabile reale che convergono a forme indeterminate



0 

0

con l'aiuto della derivata del numeratore e della derivata del denominatore.

Concetto di limite di funzione

Il concetto di limite di una funzione:

Definita su un sottoinsieme X della retta reale è:

• l è limite se per ogni numero reale ε > 0 esiste un altro numero reale positivo δ tale che | f(x) − l | < ε per ogni x in X con 0 < | x − x0 | < δ.
• In questo caso si scrive

Intersezione con gli assi

Per trovare i punti d'incontro con i due assi cartesiani basta fare due sistemi tra la funzione e l'equazioni degli assi. L'asse X ha equazione Y=0, mentre l'asse Y ha equazione X=0.

Asintoti della funzione



Si definisce asintoto di una retta

y f (x )

alla quale la funzione si avvicina senza mai toccarla, ad eccezione degli asintoti orizzontali o obliqui che possono anche intersecare la curva.

Esistono asintoti:

• Verticali
• Orizzontali
• Obliqui

Asintoti verticali

Per cercare gli asintoti verticali si trovano prima le radici del denominatore e quindi si fa il limite per X tendente ai valori che si sono trovati.

Se il risultato è infinito c’è l’asintoto di equazione x= x1, nel caso contrario non c’è l’asintoto.

Asintoti orizzontali

Per cercare gli asintoti orizzontali si calcolano:

Se il risultato è un numero finito k, allora

ed è l'asintoto orizzontale.

N.B. le f(x) con dominio limitato non hanno sicuramente né asintoti orizzontali né quelli obliqui.

Asintoti obliqui

Per cercare gli asintoti obliqui

Una retta obliqua ha equazione esplicita del tipo

y=mx+n.

Il valore di m sarà dato da:

Il valore di n sarà dato da:

Ricerca dei punti di minimo e massimo

Si procede in questo modo:

• Si calcola la derivata prima della funzione e si impone y’ maggiore uguale a 0.
• La funzione sarà crescente dove la derivata prima è positiva, decrescente negli altri intervalli.
• I punti di minimo e di massimo sono le soluzioni di y'=0.

Ricerca intervalli di concavità, convessità e punti di flesso