Ricerca massimi e minimi

DOMINIO DI UNA FUNZIONE

Il dominio di una funzione è l'insieme su cui la funzione è definita, mentre il

codominio è l'insieme dei valori che la funzione può assumere.

Se la funzione è:

•RAZIONALE INTERA il dominio risulta: Per ogni valore di x

•RAZIONALE FRATTA il dominio risulta: Per ogni valore di x ad esclusione dei

valori che annullano il denominatore

•IRRAZIONALE INTERA(FRATTA) con indice del radicale dispari allora il dominio

è come quello delle RAZIONALI INTERE(FRATTE)

•IRRAZIONALE INTERA con indice del radicale pari allora si impone al radicando

d'essere positivo o nullo

•IRRAZIONALE FRATTA con indice del radicale pari, si impone al radicando

d'essere positivo

•ESPONENZIALE allora il dominio è come quello delle funzioni RAZIONALI

INTERE O FRATTE

•LOGARITMICA allora si impone all'argomento d'essere positivo

SEGNO DELLA FUNZIONE

• Tale passaggio precisa all’interno del dominio le

parti in cui:

E le parti in cui:

COMPORTAMENTO AGLI

ESTREMI DEL DOMINIO

È necessario determinare il comportamento

della funzione in prossimità degli estremi.

• si cercano i limiti della funzione al tendere

di x ai valori estremanti del dominio.

(a questo punto se si trova una forma



0

indeterminata del tipo oppure 

0

oppure riconducibili ad esse allora si può

ricorrere alla Regola di De L'Hopital).

REGOLA DI DE L’HOPITAL

Nell'analisi matematica la regola di de

l'Hopital è un procedimento che permette

di calcolare vari limiti di quozienti di

funzioni reali di variabile reale che

convergono a forme indeterminate



0 

0

con l'aiuto della derivata del numeratore e

della derivata del denominatore.

CONCETTO DI LIMITE DI

FUNZIONE

Il concetto di limite di una funzione :

definita su un sottoinsieme X della retta reale è:

• l è limite se per ogni numero reale ε > 0 esiste

un altro numero reale positivo δ tale che

| f(x) − l | < ε per ogni x in X con 0 < | x − x0 | < δ.

• In questo caso si scrive

INTERSEZIONE CON GLI ASSI

Per trovare i punti d'incontro con i due assi

cartesiani basta fare due sistemi tra la

funzione e l’equazioni degli assi. L'asse X

ha equazione Y=0, mentre l'asse Y ha

equazione X=0.

ASINTOTI DELLA FUNZIONE



Si definisce ASINTOTO di una retta

y f (x )

alla quale la funzione si avvicina senza mai

toccarla ad eccezione degli asintoti

orizzontali o obliqui che possono anche

intersecare la curva.

Esistono asintoti:

• Verticali

• Orizzontali

• Obliqui

ASINTOTI VERTICALI

Per cercare gli ASINTOTI VERTICALI

si trovano prima le radici del denominatore e

quindi si fa il limite per X tendente ai valori

che si sono trovati.

Se il risultato è infinito c’è l’asintoto di

equazione x= x1, nel caso contrario non

c’è l’asintoto

ASINTOTI ORIZZONTALI

Per cercare gli ASINTOTI ORIZZONTALI

si calcolano:

Se il risultato è un numero finito k allora

ed è l'asintoto orizzontale

N.B le f(x) con dominio

limitato

non hanno sicuramente

ne asintoti orizzontali ne quelli obliqui

ASINTOTI OBLIQUI

Per cercare gli ASINTOTI OBLIQUI

* Una retta obliqua ha equazione esplicita del tipo

y=mx+n.

Il valore di m sarà dato da:

Il valore di n sarà dato da:

RICERCA DEI PUNTI DI MINIMO E

MASSIMO

Si procede in questo modo:

• Si calcola la derivata prima della funzione e si

impone y’ maggiore uguale a 0

• La funzione sarà crescente dove la derivata

prima è positiva, decrescente negli altri

intervalli

• i punti di minimo e di massimo sono le

soluzioni di y'=0

RICERCA INTERVALLI DI

CONCAVITA‘ CONVESSITA'

PUNTI DI FLESSO

Si procede in questo modo:

• Si calcola la derivata seconda della funzione data

cioè dalla y“;

• Si impone ad essa d'essere positiva ovvero si

risolve la disequazione y">0 per trovare gli intervalli

di concavità e gli altri di convessità;

I punti di flesso sono punti appartenenti al dominio

dove cambia la concavità

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

DELLA FUNZIONE

Questa parte è la più importante ma nello stesso tempo la

più semplice se si procede in questo modo:

• Si rappresentano gli asintoti della funzione e i punti

derivanti dai risultati delle intersezioni con gli assi e dalle

intersezioni con gli asintoti orizzontali o obliqui;

• Si tirano delle verticali non continue in corrispondenza

delle intersezioni con l'asse delle ascisse;

• Si cancellano le parti di piano in cui la funzione o non è

positiva o non è negativa (facendo riferimento allo studio

del segno della funzione);

• Si rappresenta infine la funzione spostandosi da -∞ a

+ ∞ rispettando asintoti e punti per i quali passa la

funzione.

RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI IN:

• MATEMATICA ATTRAVERSO UNA

FUNZIONE DI DUE VARIABILI

RICERCA DEI MASSIMI E DEI MINIMI

IN UNA FUNZIONE DI DUE VARIABILI

In una funzione di due variabili per ricercare i massimi e i minimi è

necessario individuare nella funzione: 10

0

-10

• Il dominio -20

-30

-40

• Le linee di livello e metodo di ricerca -4

-4 -2

-2 0 0

x

y 2

2 4 4

• La continuità

• Le derivate parziali e metodi di ricerca

• Ricerca dei punti di massimo e di minimo 60

50

e metodi di ricerca 40

30

20

10 4

4 2

2 0

0 x

y -2

-2 -4

-4

FUNZIONI A DUE VARIABILI

DEFINIZIONE

Una funzione reale di due variabili reali è una legge , f , che

permette di associare, ad ogni coppia di numeri reali

(x;y), appartenente ad un dominio D, un numero reale z.

Essa si potrà scrivere come: 

z f ( x ; y )

le funzioni a due variabili sono simili alle normali funzioni

ad una variabile con la differenza che:

• non lavoriamo più con il piano cartesiano ma con un

sistema di assi tridimensionali nello spazio;

• la variabile indipendente non è più

una (x) ma sono due (x,y);

il dominio di una funzione a due

variabili non è da ricercare sull’asse

delle ascisse ma sul piano R .

2

DOMINIO DI UNA FUNZIONE A

DUE VARIABILI

Come per le funzioni ad una variabile si definisce dominio di una funzione a

due variabili l'insieme dei punti del piano che soddisfano le condizioni

poste che può essere limitato o coincidere con l’intero piano.

Si definisce invece codominio di una funzione a due variabili l'insieme dei

valori che corrispondono alla variabile dipendente Z.

si può allora dire che:

• Il dominio di una funzione a due variabili

razionale non fratta risulta il piano R ;

2

• Il dominio due una funzione a due variabili

razionale fratta risulta il piano R ;

2

privato dei punti della curva presente nel suo

denominatore;

• se la funzione a due variabili è irrazionale o

trascendente si riprende la

teoria delle funzioni ad una variabile irrazionali o trascendenti in relazione

al dominio. Torna alla P.L

DIFFERENZE TRA DOMINI

Le differenze del campo di esistenza tra le

funzioni ad una variabile e quelle a due

variabili sono:

• Il dominio di una funzione ad una variabile

risulta l'asse reale o parte di esso

• Il dominio di una funzione a due variabili

risulta il piano R o parte di esso.

2

LINEE DI LIVELLO DI UNA

FUNZIONE A DUE VARIABILI

Per poter rappresentare una funzione a due variabili con una certa

approssimazione reale è necessario cercare le linee di livello della suddetta

funzione.

Le LINEE DI LIVELLO di una funzione a due variabili risultano l'insieme delle

intersezioni tra la stessa funzione e l'insieme dei piani paralleli Z=K al variare di K

nell'insieme dei numeri reali.

• Le LINEE DI LIVELLO sono rette se la funzione data è di secondo grado solo

nei termini dove esiste Z;

• Le LINEE DI LIVELLO sono coniche(parabole,ellissi,cerchi,iperboli) se la

funzione data è di terzo grado solo nei termini dove esiste Z oppure di secondo

grado in almeno un termine non contenente Z.

• Le LINEE DI LIVELLO sono curve di grado

• superiore al secondo se la funzione

data ha grado superiore al terzo nei termini

contenenti Z o almeno di terzo grado nei termini

non contenenti Z.

Torna alla P.L

METODI DI RICERCA CURVE DI

LIVELLO

In pratica per trovare una linea di livello si fa

il sistema tra la funzione data ed un piano

definito con Z uguale ad un particolare

numero K.

In questo modo viene a

determinarsi o una retta

o una curva che risulta

l'immagine della data

funzione con quota K.

CONTINUITA' DI UNA FUNZIONE

A DUE VARIABILI

Come per le funzioni ad una variabile si potrà dire

che una funzione a due variabili risulta continua

in un punto P appartenente al suo dominio se

0

risulta:

Si può dire allora che una funzione a due variabili

è continua in tutto il suo dominio se risulta

continua in ogni punto del suo dominio.

ENUNCIATO DEL TEOREMA DI

WEIERSTRASS

Afferma che:

Una funzione continua

in un insieme chiuso e

limitato S (sottoinsieme

del suo dominio), ha

certamente un minimo

assoluto ed un massimo

assoluto nell’insieme S.

DERIVATE PARZIALI

La derivazione di una funzione a due variabili ha la stessa importanza

della derivata di una funzione ad una variabile.

Così per trovare la crescenza e la decrescenza e i punti di minimo e

massimo di una funzione a due variabili si utilizzano anche le derivate

di tale funzione.

Ovviamente esiste una definizione generale per una qualsiasi derivata

parziale ed è:

SI DEFINISCE DERIVATA PARZIALE RISPETTO AD UNA DELLE

DUE VARIABILI DI UNA FUNZIONE REALE A DUE VARIABILI

Z=f(X,Y),LA DERIVATA DELLA FUNZIONE QUANDO L'ALTRA

VARIABILE SI CONSIDERA COSTANTE.

• La derivata prima rispetto la X si indica f'x

• La derivata prima rispetto la Y si indica f'y

• La derivata seconda rispetto la X si indica f''xx

• La derivata seconda rispetto la Y si indica f''yy

(Vedi anche teorema di Schwarz)

MODI DI DERIVAZIONE

La derivazione di una funzione a due variabili,però può essere eseguita in due

modi.

Infatti essa può essere fatta o in funzione della variabile X oppure in funzione

della variabile Y.

L'introduzione ad essa avviene come per le funzioni ad una variabile, cioè

come limite di un rapporto incrementale.

Si definisce infatti DERIVATA PARZIALE in un punto P(X0,Y0) di una

funzione a due variabili rispetto la variabile X il :

Si definisce derivata parziale in un punto P(X0,Y0) di una funzione a due

variabili rispetto la variabile Y il:

TEOREMA DI SCHWARZ

Esiste anche una derivata

seconda mista f''xy per la

quale vale un teorema detto

dell'inversione dell'ordine di

derivazione che afferma: Se in

un intorno di P(X0,Y0) esistono

le derivate parziali prime e

seconde e se la f''yx risulta

continua in P allora esiste in P

anche la f''xy e risulterà:

MASSIMI E MINIMI DI UNA

FUNZIONE A DUE VARIABILI

Si eseguono attentamente i seguenti passaggi:

Si risolve il sistema :

f'x(X,Y)=0

f'y(X,Y)=0

e si trovano le coordinate degli eventuali punti di MINIMO e MASSIMO

Si calcola l'HESSIANO f" f"

xx xy

H(X,Y)= = f" * f" – (f" )

2

xx yy xy

f" f"

yx yy

Si sostituiscono le coordinate dei punti trovati dal sistema e nel risultato

trovato dall’hessiano.Si trovano gli H(Xi,Yi).

RISULTATI DELL’HESSIANO

Se:

• H(Xi,Yi) >0 e f"xx>0 allora il

punto risulta un MINIMO

RELATIVO

• H(Xi,Yi) >0 e f"xx<0 allora il

punto risulta un MASSIMO

RELATIVO

• H(Xi,Yi) =0 nulla si può dire

• H(Xi,Yi) <0 Xi è un punto di sella

MASSIMI E MINIMI DI UNA

FUNZIONE CON VINCOLI DATI

DA DISEQUAZIONI LINEARI

Si procede anche in questo caso eseguendo i seguenti passaggi:

• Si determina,attraverso il metodo grafico, la figura piana soluzione

del sistema dei vincoli (programmazione lineare)

• Si calcolano i massimi e minimi liberi della funzione Z=f(X,Y) che

stanno dentro la figura, con il metodo grafico

• Si cercano i punti di MINIMO e MASSIMO nella frontiera sostituendo

le equazioni di essa nella funzione data che diventa, così, ad una

variabile

• Si cerca la quota dei vertici della figura del e si confronta con quella

dei punti trovati prima.

• Si definisce il minimo e massimo assoluto con i risultati ottenuti.

RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI IN:

CALCOLO ATTRAVERSO LA

PROGRAMMAZIONE LINEARE

CONCETTO DI

PROGRAMMAZIONE LINEARE

Si parla di programmazione lineare quando si è in presenza di:

• una funzione lineare a due o più variabili indipendenti che si deve

massimizzare se si tratta di funzione RICAVO o PROFITTO oppure

minimizzare se si tratta di funzione COSTO;

• un insieme di vincoli nelle suddette variabili indipendenti date da

equazioni o disequazioni lineari a due o più variabili;

• un insieme di vincoli di segno, di norma positivo, che esprimono la

non-negatività delle variabili presenti essendo esse grandezze

economiche 