Tesina sulla Matematica

Giada Bizzarro G. Fracastoro Classe 5D A.S.2012/2013

INDICE

GLI ANTICHI

Latino

> L’opera “Astronomica” di Marco Manilio ispirata al “De Rerum Natura” di Lucrezio

(Credenze riguardo gli influssi degli astri sul corpo umano)

Scienze della terra

> Il piano dell’eclittica e lo zodiaco.

GLI SVILUPPI

Successi della matematica nei secoli

e applicazioni nelle scienze della vita

MODELLI MODERNI

Matematica/Fisica

> Modello matematico del battito cardiaco

> Circuito RC nel pacemaker cardiaco

MATHEMATICS IN THE FUTURE

FONTI

Bibliografia/Sitografia

Giada Bizzarro G. Fracastoro Classe 5D A.S. 2012/2013

“L'universo è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure

geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola..” Galileo

Galilei, IL SAGGIATORE, 1623

Già a quei tempi la realtà si prestava ad essere descritta in termini matematici. Negli ultimi anni

in particolare nelle scienze della vita come la medicina la matematica si è resa utile non solo a

giustificare o definire ipotesi formulate sulla base di osservazioni sperimentali ma anche per

comprendere e talvolta per prevenire attraverso la costruzione di modelli matematici come

nello studio del sistema cardiocircolatorio.

GLI ANTICHI

Già presso gli antichi la Matematica e la Medicina sono fortemente legate. La cura le proprio

paziente era legata allo studio dei moti degli astri.

Nel primo secolo d.C., attraverso l'analisi degli influssi degli astri sul corpo umano, Marco

Manilio, poeta romano vissuto tra il I secolo a.C. ed il I secolo d.C., che è stato autore di

un'importante opera, gli Astronomica riprese l'astrologia degli antichi egizi e degli antichi

babilonesi, ponendo le basi della cosiddetta astrologia "medica".

Quest’opera appartiene al genere didascalico che aveva come principale modello il "De Rerum

Natura", un'opera di Lucrezio sulla natura delle cose. Tuttavia, se per Lucrezio, le stelle ed i

pianeti hanno un moto casuale, gli atomi (particelle minime di

materia, indistruttibili, immutabili e infinite), muovendosi nel vuoto, si aggregano e si

disgregano in modi diversi dando origine alla realtà per Manilio non solo ci sarebbe un ordine

nel moto degli astri, ma essi influenzerebbero il comportamento ed il destino degli uomini.

Ogni parte del corpo umano sarebbe ricollegabile ad un segno zodiacale secondo uno schema:

dal primo segno, l'Ariete, che simboleggia la testa, all'ultimo segno, i Pesci, che simboleggiano

i piedi. che si propone di individuare le forze e le debolezze di un individuo e il modo più

consono per intervenire il segno zodiacale dell'Ariete ha come sfera d'influenza il cranio, ed i

nati sotto questo segno saranno soggetti a ferite alla testa e ad attacchi depressivi.

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Identifichiamo ogni segno zodiacale con il periodo dell'anno durante il quale il segno sembra

essere attraversato dal moto apparente del Sole. Una delle conseguenze del moto di rivoluzione

della Terra è il moto apparente del sole attraverso lo zodiaco. Se fissiamo per un anno la

posizione del sole a mezzogiorno notiamo che esso descrive sulla sfera celeste una

circonferenza che prende il nome di eclittica inclinata di 23°27’ rispetto all’equatore celeste.

L’eclittica ci permette di individuare lo zodiaco, una fascia di costellazioni che il sole attraversa

durante l’anno. È larga 15° sopra e sotto l’eclittica e comprende 12 costellazioni ognuna delle

quali occupa un settore di 30° (360° : 12). Quando il sole attraversa una costellazione dello

zodiaco noi non possiamo vedere direttamente lo sfondo stellare a causa dell’intensa luce ma di

notte possiamo osservare la costellazione che si trova nella parte opposta.

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GLI SVILUPPI

L'intero sviluppo della cultura occidentale ha proceduto ad intermittenza per poi riprendere il

suo sviluppo in modo continuo con la fine del Medioevo. L’idea di ricorrere alla matematica

per rendere più “scientifiche” le ricerche in settori diversi dalla fisica si fece strada sempre di

più anche nel campo della medicina e dello studio dei fenomeni della vita.

Per esempio il sistema muscolare e il moto del corpo potevano essere considerati come oggetti

di studio della meccanica, l’andamento demografico delle popolazioni o il problema della

diffusione del vaiolo potevano essere descritti attraverso equazioni differenziali.

Si ebbe nel Seicento la compilazione delle tavole di mortalità, che riportavano il numero degli

individui deceduti in un dato paese, regione o città, a intervalli di tempo prefissati e secondo le

fasce d'età. Nacque in questo contesto il primo sviluppo di quel che oggi chiamiamo la

'dinamica di una popolazione', cioè lo studio delle variazioni quantitative di una popolazione

nel tempo.

Nel corso del Settecento con la diffusione del vaiolo Si era constatato che l'inoculazione di

siero vaccino infetto in individui sani produceva una forma attenuata della malattia che,

apparentemente, comportava una diminuzione della mortalità e il vantaggio dell'immunità per i

soggetti sopravvissuti. Si trattava dunque di dimostrare in modo chiaro la convenienza

dell'inoculazione.

Nella prima metà dell’8oo in Francia si sviluppa il Positivismo, un movimento filosofico e

culturale ispirato all'esaltazione del progresso e del metodo scientifico che si diffonde nella

seconda metà del secolo a livello europeo e mondiale per certi aspetti simile all'Illuminismo, di

cui condivide la fiducia nella scienza e nel progresso e per altri affine alla concezione

romantica della storia. Positivo vorrà dire allora ciò che è reale, concreto, sperimentale,

contrapponendosi a ciò che è astratto. Ciò che è utile, efficace, produttivo in opposizione a ciò

che è inutile.

Come affermerà più tardi John von Neumann (1903-1957), la scienza non soltanto non

pretende più di spiegare, ma neppure di interpretare; essa costruisce dei modelli, che vengono

valutati sulla base di criteri di efficacia e non di verità. Pertanto la diffusione di una concezione

modellistica è la chiave decisiva per lo sviluppo della matematica applicata in ogni settore.

Un fenomeno reale, oggetto di indagine, viene rappresentato da quantità tipiche della

matematica: variabili equazioni, funzioni che vengono messe in relazione tra loro sulla base di

ipotesi e nozioni note per tale fenomeno. In questo modo la realtà diventa un modello

matematico.

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MODELLI MODERNI

ESEMPIO DI INTERAZIONE TRA MATEMATICA E UN SISTEMA BIOLOGICO

modello matematico del battito cardiaco

Il tracciato dell' elettrocardiogramma non è altro che il grafico di una funzione che dipende

dalla variabile "tempo" e già da una prima analisi qualitativa i medici specialisti sono in grado

di individuare eventuali anomalie o patologie del soggetto interessato. Da qualche tempo

diversi settori di ricerca hanno approfondito tecniche per studiare il tracciato

dell'elettrocardiogramma.

L'elettrocardiogramma (ECG) è la registrazione e la riproduzione grafica dell’andamento del

potenziale cardiaco (in ordinata) nel tempo (in ascissa).

Il funzionamento del cuore genera delle piccole differenze di potenziale tra diversi punti del

corpo. La differenza di potenziale tra due punti corrisponde al lavoro necessario per spostare

una carica di prova q da un punto di potenziale più basso al punto con maggior potenziale.

(Volt=J/C)

Utilizzando degli elettrodi su

punti prefissati del corpo è

possibile misurare queste

differenze di potenziale e la

loro variazione nel tempo.

Il tracciato che ne risulta nell’

elettrocardiogramma fornisce

informazioni sullo stato di

salute del cuore. Il normale

tracciato presenta un aspetto

caratteristico che varia soltanto

in presenza di problemi. Il

tracciato è caratterizzato da

diversi tratti denominati onde,

positive e negative, che si

ripetono ad ogni ciclo cardiaco.

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Polarizzazione – Il maggior gradiente di concentrazione spinge il potassio a passare dall’interno

all’esterno della membrana, creando una differente distribuzione di cariche: all’esterno si

avranno più cariche positive, mentre all’interno più cariche negative. Si viene a creare una

differenza di potenziale con valori compreso tra -90mV< Pr < -50mV.

Depolarizzazione – Un impulso elettrico inviato alla cellula fa aumentare il potenziale di

membrana a V= +30mV facendo entrare ioni sodio al suo interno e fa uscire ioni potassio. Al

suo interno vi sarà maggiore concentrazione di cariche positive rispetto l’esterno.

Plateau – La depolarizzazione viene protratta dall’afflusso di ioni calcio e l’azione nella curva

del potenziale appare un plateau. In questo momento la cellula non può essere stimolata. È

necessario un potenziale minimo di -30mV.

Ripolarizzazione – Si ripristina lo stato originario attraverso la disattivazione e riattivazione

della permeabilità agli ioni potassio.

Il tracciato elettrocardiografico inizia con un'onda positiva P, che corrisponde all'attivazione

degli atri; segue una breve linea che può inflettersi nell'onda negativa Q; a questa segue un'altra

onda R, poi l'onda negativa S: l'insieme delle onde Q, R, S costituisce il complesso

ventricolare, che esprime lo stato di eccitamento del miocardio ventricolare; l'onda T e il tratto

S-T corrispondono alla fase di ripolarizzazione delle cellule miocardiche, dopo l'avvenuta

contrazione.

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Circuito RC nel pacemaker cardiaco

Il pacemaker è uno strumento capace di inviare impulsi elettrici ad intervalli regolari. In

condizioni normali il tessuto dal quale l’impulso viene inviato si chiama nodo seno atriale.

Se il cuore batte a una frequenza inferiore a 40 battiti per minuto la contrazione cardiaca non

sarà emodinamicamente stabile, e si renderà necessario l'utilizzo di uno stimolatore cardiaco

esterno, impiantabile o meno.

Questo non è vero per gli atleti o comunque le persone allenate, che possono avere questo ritmo

senza alcun problema emodinamico.

Gli stimoli elettrici prodotti dal pacemaker arrivano al muscolo cardiaco attraverso due fili

ricoperti di plastica flessibile ed elettricamente isolati, gli elettrodi. Il pacemaker contiene una

batteria una resistenza R e un condensatore C collegati in serie. La velocità dipende dai valori

della resistenza e della capacità. Una costante di tempo RC = 0,8 s permette di raggiungere una

data tensione di stimolazione alla frequenza di 1/0,8s= 1,25 Hertz inviando così al cuore un

segnale di frequenza pari 75 impulsi al minuto. (1,25 * 60 s).

Condensatore: dispositivo formato da due armature fatte in modo che, quando una acquista una

carica Q, l’altra per induzione acquista una carica –Q.

Resistenza: costante di proporzionalità che si misura in Volt/Ampere (Ohm). Un conduttore ha

la resistenza di 1Ω(ohm) se sottoposto a una differenza di potenziale di 1 V è attraversato dalla

corrente di 1 A.

Batteria: generatore di tensione in grado di compiere lavoro a spese dell’energia potenziale

chimica delle sostanze contenute al suo interno.

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Problema

Nella sua forma più essenziale il circuito di un pacemaker è costituito da una batteria, un

condensatore e una resistenza. A un paziente viene inserito un pacemaker che invia un impulso

al cuore a intervalli di tempo di 0,85 sec ogni volta che il condensatore all'interno del

pacemaker si carica finché ai suoi capi si è stabilita una differenza di potenziale di 0,25 V. La

capacità del condensatore è di 1*10^-4 F e la batteria ha una forza elettromotrice di 9 V.

Calcola il valore della resistenza del pacemaker

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