Le deformazioni nelle travi rettilinee inflesse

Istituto tecnico per geometri “A. D. Bramante”

Indirizzo Sperimentale (Progetto cinque)

Le deformazioni

nelle travi rettilinee inflesse

Andrea Distefani 5°Cs

a.s. 2007/2008

La linea elastica

Lo studio della linea elastica serve per poter determinare la deformazione di una trave, cioè conoscere il suo abbassamento punto per punto e individuarne il suo valore massimo.

È importante sapere di quanto si abbassa una trave perché, anche se è stata progettata in modo tale da resistere alle sollecitazioni a cui è sottoposta, potrebbe non sopportare la deformazione provocata e quindi giungere ugualmente a rottura.

Premessa

Sono state prese in considerazione travi piane ad asse rettilineo caricate da forze contenute nel piano di simmetria geometrica della trave e normali all’asse.

La linea elastica

Assunto come asse z l’asse della trave, disposto orizzontalmente ed orientato verso destra, e l’asse y, disposto verticalmente ed orientato verso il basso, si ha:

(fig.1)

dove v indica l’abbassamento relativo all’asse, che è lo stesso per tutti i punti di una medesima sezione.

Il diagramma delle v, a partire dall’asse z, si chiama linea elastica.

Quindi la linea elastica è la deformata dell’asse della trave.

La linea elastica

• Se si considerano le rotazioni antiorarie positive, nell’ipotesi dei piccoli spostamenti, si ha (fig.1):

(1) tg φ φ

≅ =

• Inoltre, le sezioni normali estreme di un concio elementare, di lunghezza dz, soggetto a due coppie equilibrate e positive, ruoteranno di un angolo dφ dato da:

(2) dφ (fig.2)

dove EJ sono costanti, E è il modulo di Young e J è il momento d’inerzia della sezione.

La linea elastica

La formula (1) deriva da una relazione geometrica, a differenza della formula (2), di cui di seguito è riportato come si è ricavata:

bisogna ricordare che dφ è anche l’angolo tra le tangenti all’asse della trave nei punti distanti dz fra loro, in cui è tagliato dalle due sezioni normali.

Il valore della deformazione della trave

si prende in esame il concio di lunghezza dz, indicando con CD la fibra neutra e con AB un’altra fibra distante di y da quella neutra; ipotizzando che le fibre abbiano uno spessore infinitesimo Δy.

(fig.3) La linea elastica

a. Determinare l’allungamento della fibra AB (fig.3)

Δl A’B’ – AB

=

Ponendo:

AB CD C’D’ Rdφ

= = =

dove R è il raggio di curvatura dell’asse geometrico deformato della trave e dφ è l’angolo in radianti di rotazione tra le due sezioni di estremità.