Le deformazioni nelle travi rettilinee inflesse

La linea elastica

• Il valore delle tensioni

a. In base alla legge dell’elasticità lineare (legge di Hooke) la tensione

σ E ∙ ε, quindi sostituendo ad ε il valore determinato in precedenza

=

si ha: σ dove E è il modulo di elasticità

=

b. Calcolando il momento M delle tensioni rispetto l’asse baricentrico, di

una sezione B x H, per ciascuna fibra si ha:

M σ ∙ B ∙ Δy ∙ y

=

i

perciò il momento totale è:

M ∑ M ∑ (σ ∙ B ∙ Δy ∙ y) ∑ ( ∙ B ∙ Δy ∙ y) ∑ (B ∙ Δy ∙ y )

2

= = = =

i

dove ∑ (B ∙ Δy ∙ y ) è il momento d’inerzia baricentrico J della sezione

2

della trave, quindi: M da cui R

= =

La linea elastica

• Ripartendo dalla relazione Δl si ricava dφ

= =

ydφ

sostituendo:

y ε ∙ R

= =

Δl dz ∙ ε

=

dφ ottenendo la formula (2)

= La linea elastica

Le formule (1) e (2) consentono di scrivere:

(3) La (3) prende il nome di equazione differenziale della linea elastica.

L’equazione differenziale della linea elastica tiene conto del solo contributo

flettente, mentre le travi, nella maggior parte dei casi, sono soggette a

flessione e taglio. Tuttavia, nell’ambito delle travi snelle, la deformazione

tagliante è trascurabile rispetto alla deformazione flessionale e l’equazione

continua a valere. La linea elastica

L’equazione differenziale si può anche scrivere nelle forme seguenti in base:

• al taglio “T”

(3.1) essendo T

• al carico “q”

(3.2) essendo -q

Quindi l’equazione della linea elastica può essere determinata integrando sia

l’equazione (3) che le equazioni (3.1) e (3.2).

L’integrazione di queste ultime comportano tre e quattro costanti arbitrarie,

mentre la prima ne comporta solo due.

La linea elastica

• Relazione Taglio-Momento

equilibrio a momento rispetto un punto A

• Relazione Carico-Taglio

equilibrio a taglio rispetto un punto A (fig.4)

Integrazione dell’equazione

differenziale della linea elastica

L’integrazione dell’equazione (3) è possibile quando è nota l’espressione del

secondo membro, M/EJ, cioè le espressioni, alla generica ascissa z, del

momento flettente, del momento d’inerzia J e del modulo di elasticità E.

Nell’integrazione compaiono due costanti C e C che si eliminano tenendo

1 2

conto delle condizioni di vincolo della trave. Una prima integrazione consente

di determinare l’inclinazione della tangente alla linea elastica (cioè la rotazione

di ogni sezione); la seconda integrazione, poi, fornisce l’espressione della linea

elastica.

• Se in un punto intermedio della trave il momento risulta uguale a zero,

2 2

essendo d v/dz = 0 la linea elastica in quel punto presenta un flesso.

• Si osserva che la funzione v(z) e la sua derivata non possono essere

discontinue, poiché nel primo caso l’asse della trave risulterebbe interrotto e

nel secondo caso presenterebbe una cuspide.

Integrazione dell’equazione

differenziale della linea elastica

• Se in un punto della trave è applicata una coppia esterna, il momento è

discontinuo e dall’equazione (3) risulta discontinua la derivata seconda. Tale

discontinuità si ha anche in conseguenza di una brusca variazione di

sezione (J discontinuo) o di materiale (E).

• Dall’equazione (3.1), invece risulta discontinua la derivata terza nei punti in

cui T è discontinuo, cioè nei punti di applicazione dei carichi concentrati.

• Nei punti in cui q è discontinuo, per l’equazione (3.2) risulta discontinua la

derivata quarta.

• In definitiva, si può dire che per ogni tratto compreso tra due delle suddette

discontinuità bisogna scrivere e integrare l’equazione differenziale della

linea elastica.

Calcolo della linea elastica

Esempio 1:

• Determinare l’equazione differenziale della linea elastica di una trave a

mensola di sezione costante, soggetta ad una forza F concentrata

nell’estremo libero.

(fig.5)

Essendo il momento flettente nella generica sezione di ascissa z

M(z) = -Fz,

l’equazione differenziale della linea elastica si scrive:

Calcolo della linea elastica

Integrandola due volte si ottiene rispettivamente:

la seconda rappresenta l’equazione della linea elastica a meno di due

costanti C e C .

1 2

Queste ultime si determinano tenendo presente che l’incastro impedisce

rotazioni e spostamenti.

Imponendo quindi le condizioni

φ(z = l) = 0 v(z = l) = 0

si ricavano i valori delle costanti:

Calcolo della linea elastica

Sostituendo nell’equazione della linea elastica i valori di C e C , risulta

1 2

Le due uguaglianze consentono di determinare la rotazione e lo

spostamento di qualsiasi sezione della trave.

Ad esempio, volendo determinare la rotazione e lo spostamento

nell’estremo libero A (fig.4) si ottiene

Calcolo della linea elastica

Esempio 2:

• Determinare l’abbassamento in mezzeria e la rotazione sugli appoggi per la

trave appoggiata agli estremi e caricata uniformemente.

(fig.6)

L’espressione del momento flettente nella generica sezione di ascissa z

risulta essere

per cui l’equazione differenziale della linea elastica si scrive:

Calcolo della linea elastica

Integrandola due volte si ottiene rispettivamente:

la seconda rappresenta l’equazione della linea elastica a meno di due

costanti C e C .

1 2

Queste ultime si determinano tenendo presente che l’incastro impedisce

rotazioni e spostamenti.

Imponendo quindi le condizioni

v(z = 0) = 0 v(z = l) = 0

si ricavano i valori delle costanti:

Calcolo della linea elastica

Sostituendo nell’equazione della linea elastica i valori di C e C , risulta

1 2

Le due uguaglianze consentono di determinare la rotazione e lo

spostamento di qualsiasi sezione della trave.

Quindi le rotazioni ai due estremi e l’abbassamento massimo sono pari a

(fig.5) Applicazione pratica

Per poter effettuare una prova concreta del calcolo della linea elastica, è

stato preso in esame l’edificio EX-GIL di Macerata, ubicato in Viale San Giovanni

Bosco.

La costruzione si sviluppa su tre piani ed è suddivisa in due corpi

strutturalmente diversi: una parte in muratura e l’altra a telaio.

È stata rilevata la parte di fabbricato con struttura intelaiata in calcestruzzo

armato, avente pilastri di sezione 35 x 35 cm, solaio dello spessore di 25 cm e

travi di sezione trasversale 35 x 50 cm.

Di seguito sono riportate la planimetria del primo piano e una sua sezione

con evidenziata la trave di cui viene calcolata la deformazione.

Sono anche riportate le caratteristiche della trave e la sua schematizzazione.

Applicazione pratica

Foto EX-GIL Applicazione pratica

Planimetria Applicazione pratica

Sezione A-A’ Applicazione pratica

Caratteristiche

Trave 35 x 50 cm 2

Cls classe 30 N/mm

2Φ12

Ferri 4Φ14

Luce (l) = 4,15 m 2

E = 31220 N/mm 4

J = 4257125333 mm

Interasse travi (i ) = 3,80 m

t

q = 30 KN/m Applicazione pratica

Trave su tre appoggi schema statico

diagramma del Taglio

T(z) = 0,375 ql - qz

diagramma del Momento

M(z)

Applicazione pratica

Equazione differenziale della linea elastica

Integrando

In base alle condizioni di vincolo v(z = 0) = 0 v(z = l) = 0

da cui Applicazione pratica

Diagramma in scala deformata della linea elastica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 z [m]

0.05

0.1 linea elastica

0.15 asse trave

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

v [mm]