La quarta dimensione

Percorso d’esame

L Q D

A UARTA IMENSIONE

D F ’

A LATLANDIA ALL IPERCUBO

Michele Nicolussi A.S. 2007/2008

Classe VG Liceo Classico “G. Carducci”, Bolzano

La Quarta Dimensione

I NDICE

PREMESSA pag.2

FILOSOFIA pag.3

Positivismo pag.3

Crisi del Positivismo pag.4

INGLESE pag.5

The Victorian age and its compromises pag.5

Edwin Abbott Abbott pag.6

Flatland – The Plot pag.7

Flatland – History and Features pag.7

Social Satire in Flatland pag.8

MATEMATICA pag.10

La quarta dimensione e Flatlandia pag.10

Poligoni e poliedri pag.11

Costruire un ipercubo pag.12

Ipercubo – Caratteristiche pag.13

Ipercubo – Visualizzazione pag.14

Politopi regolari pag.16

BIBLIOGRAFIA pag.18

1 La Quarta Dimensione

P REMESSA

La mia scelta è ricaduta su tale argomento in seguito all’esperienza vissuta grazie al progetto “La

tenutosi a Salorno tra il 3 ed il 6 marzo 2008. Ho preso parte ad un

Bottega del Matematico”,

corso di approfondimento intitolato ideato e coordinato dalla docente

“Cubi e Ipercubi”,

dell’Università degli Studi di Milano, prof.ssa Maria Dedò.

La tematica ha da subito attratto il mio interesse, che peraltro era già sorto da letture personali

precedenti. Ulteriori contatti tramite e-mail con la prof.ssa Dedò mi hanno convinto a tentare

questa incursione nell’universo quadridimensionale, mantenendo ben saldo e presente uno dei

concetti più spesso citati nel corso della Bottega del Matematico: l’analogia, attraverso cui diviene

quasi immediata la comprensione del mondo a quattro dimensioni.

2 La Quarta Dimensione

FILOSOFIA

Il Positivismo

“Le caractère fondamental de la philosophie positive est de

regarder tous les phénomènes comme assujettis à des lois

naturelles invariables, dont la découverte précise et la réduction

au moindre nombre possible sont le but de tous nos efforts, en

considérant comme absolument inaccessible et vide de sens la

recherche de ce qu'on appelle les causes soit premières, soit

finales. ”

Auguste Comte, Cours de philosophie positive

Il Positivismo si configura come un movimento filosofico e

culturale estesosi a livello europeo nella seconda metà del

XIX secolo, che affonda le proprie radici nella Francia del

primo Ottocento. Il termine viene coniato da Henry Saint-

Simon, filosofo parigino, per indicare un pensiero “positivo”

nel senso di reale, concreto, sperimentale ed anche pratico Figura 1: Auguste Comte, principale

e valido, in opposizione a ciò che è metafisico, astratto ed esponente del Positivismo

inutile. Il Positivismo comprende una vasta gamma di pensatori molto diversificati per formazione

intellettuale e temi trattati, ma nella corrente, caratterizzata da un’esaltazione della scienza e una

fiducia incondizionata nel progresso tecnologico, possiamo ritrovare alcune convinzioni di fondo:

la scienza è l’unica conoscenza possibile, rendendo dunque inutile la metafisica. Più che la

• causa scatenante dei fenomeni, il “perché”, si tenta di scoprire “come” essi sono e da quali leggi

siano regolati i loro comportamenti;

il metodo scientifico è l’unico valido nella realtà e perciò deve essere esteso a tutti i campi del

• sapere;

il progresso della scienza rappresenta la base del progresso dell’intero genere umano, ormai

• liberato dalle superstizioni e dalle credenze irrazionali, capace ora di risolvere i problemi

logicamente;

l’uomo, grazie alla ragione e alla logica, ha la capacità di prevedere gli avvenimenti e può perciò

• intervenire e incidere sulla natura.

Il clima generale dell’epoca facilitò la diffusione dell’ottimismo entusiastico che permeava il

pensiero positivista. Lo sviluppo dell’industria portò ad un periodo di fioritura economica in tutta

Europa, particolarmente in Inghilterra; l’agricoltura venne investita da un processo intensivo di

meccanizzazione che moltiplicò le capacità produttive e favorì l’esodo dalle campagne alle città, in

cui si delinearono nuovi modelli urbani. Ciò condusse anche alla nascita delle idee socialiste ed

all’organizzazione delle prime associazioni operaie.

La borghesia divenne il fulcro dell’intero movimento positivista, sebbene anche le classi sociali

popolari si dimostrassero entusiaste dei progressi della scienza e della tecnica, promesse di

migliori condizioni di vita. 3 La Quarta Dimensione

Molti cercarono di applicare il metodo scientifico agli ambiti più disparati, compresi quelli che

riguardavano l’uomo e la società: nacque dunque per opera di Comte la sociologia. Oltre alla

psicologia umana, venne riveduta in ottica rigorosamente scientifica anche l’origine biologica

dell’uomo: nel 1857 Darwin pubblicò “Sull’origine della specie”, il celebre trattato in cui vennero

teorizzati la selezione naturale e l’evoluzionismo.

La crisi del Positivismo

“As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain;

and as far as they are certain, they do not refer to reality.”

Albert Einstein, Sidelights on Relativity

Nel periodo compreso tra la fine dell’Ottocento e la prima guerra mondiale il clima culturale

caratterizzato dal Positivismo mutò progressivamente: è un periodo di cambiamenti radicali nella

società. L’economia rallentò, tanto da forzare gli Stati verso una politica protezionista e addirittura

imperialistica. Il sistema di valori e di certezze che la borghesia aveva avanzato e sostenuto negli

anni precedenti andò incontro ad una profonda crisi.

Sul piano strettamente filosofico, si assistette alla nascita di nuove correnti, irrazionalistiche e

vitalistiche, diversissime tra loro ma accomunate dalla rottura con la costruzione logica razionale

del Positivismo: vennero esaltati fattori quali l’istinto, lo slancio vitale e la volontà soggettiva.

Schopenhauer suppose l’esistenza del “velo di Maya”, sotto il quale è celata la verità; all’uomo è

dunque conoscibile solo un’apparenza, poiché il dato sensibile è falsificato.

La crisi del Positivismo nelle scienze è molto più evidente se si prende in considerazione

l’importante innovazione teoretica della fisica che minò i fondamenti stessi della meccanica

classica: Albert Einstein rese nota nel 1905 la sua teoria della relatività, sradicando le più basilari

nozioni di concetti come tempo e spazio, su cui Kant aveva fatto particolare affidamento. Molte

altre scoperte distrussero i pilastri teorici delle scienze: la dimostrazione del secondo principio

della termodinamica distrusse la certezza nella reversibilità che aveva per lungo tempo rafforzato

le teorie fisiche di Newton. L’idea che si potessero prevedere determinati fenomeni fisici

conoscendo le condizioni iniziali venne sradicata dal principio di indeterminazione di Heisenberg,

secondo cui anche la semplice osservazione interferisce con il fenomeno considerato. Di lì a poco,

nel 1932, Gödel avrebbe definitivamente decretato la fine della logistica, ponendo forti limiti alle

possibilità di applicare il rigore matematico ad altri campi.

In effetti, già da molti anni era iniziato lo studio delle cosiddette geometrie non-euclidee, che

ignoravano il quinto postulato ma si rivelavano più appropriate per analizzare determinate

situazioni. Lobacevskij e Bolyai giunsero separatamente alla creazione di una geometria iperbolica,

mentre Riemann ne propose una ellittica. In tali geometrie, nozioni basilari come la somma degli

angoli interni di un triangolo non erano più valide. Ecco dunque farsi largo l’ipotesi che i postulati

non rappresentino verità evidenti e reali, ma semplicemente ipotesi di partenza condivise, da cui

far discendere un corpus coerente di leggi. Pertanto i precedenti modelli della fisica si rivelarono

insufficienti come schemi esplicativi. Le vecchie certezze furono sistematicamente smantellate,

mentre venivano elaborati e proposti nuovi modelli interpretativi del mondo e dell’universo

intero. 4 La Quarta Dimensione

ENGLISH

The Victorian age and its compromises

“It was the best of times, it was the worst of times,

it was the age of wisdom, it was the age of foolishness,

it was the epoch of belief, it was the epoch of incredulity,

it was the season of Light, it was the season of Darkness,

it was the spring of hope, it was the writer of despair”.

Charles Dickens, A Tale of Two Cities

This period takes its name from whose reign

Queen Victoria,

started in 1837 and concluded in 1901, becoming the longest in

English history. It was a period of rapid progress, imperial

expansion and social reforms. The rapid extension of

industrialization fostered a very strong trade with all colonies.

Britain had become the wealthiest and most powerful nation in

the world; one quarter of the lands above sea-level was part of its

Empire. The mid 19 century was also a time of great

th

technological innovations, such as the steam-powered machinery

and consequently the railway. In 1851 the took

Great Exhibition

place, a huge trade fair which wanted to show the British leading

position as an imperial power: around 200,000 objects from the

colonies were displayed and more than three million people Figure 2: Queen Victoria

visited the exposition.

The society went through many reforms, in a progressive policy supported by the Queen herself.

Throughout her reign, the right to vote was gradually extended to all men, in order to incorporate

the working classes in the society: this was the best way to avoid mass revolutionary insurrections

as happened in continental Europe.

Although Victorians may be considered progressive in theory, much of the fundamental economic

remained and grew up. Among poor classes, in fact, misery and distress were still

inequity

widespread. The new urban conditions, made worse by the growth of slums, had created a lot of

health problems. Whole families were often crowded in one single room, where lack of hygiene

seldom led to cholera. The New of 1834 had not been a solution for these problems, and

Poor Law

the creation of the much hated “workhouses” (so well described and denounced by Dickens) had

often made life a hell for poor people. Poverty, whether the result of bad luck or thoughtless

behavior, was regarded as a crime and penalized as such. Debtors, for example, were still

punished with jail, and life in prison was appalling. Education, too, had its problems. As a matter of

fact, teachers were often incompetent and corporal punishment was still regularly applied to

maintain discipline.

This particular situation, which saw prosperity and progress on one hand, and poverty and

injustice on the other, which opposed ethical conformism to corruption, and which separated

private life from public behavior, is usually referred to as the "Victorian Values such

Compromise".

as church, family, sanctity of childhood and home applied only to those who could afford them.

5 La Quarta Dimensione

The idea of respectability distinguished the middle class from the lower one. was a

Respectability

mixture of both morality and hypocrisy, severity and conformity to social standards. Manners

underwent a deep change in this period. Under the influence of Queen Victoria herself, the age

turned excessively puritanical. Middle-class women in general were to observe a strict code of

behavior, which expected them to be frail, submissive and pure, confined within the family walls.

Any misconduct could ruin the reputation of these so-called “angels Moreover,

in the home”.

was considered a golden age among the bourgeoisie, even though most children from

childhood

the lower classes had to work ten or twelve hours a day in factory in order to gain the money to

survive.

Edwin Abbott Abbott

Edwin Abbott Abbott was born on December 20 , 1838 in

th

Marylebone, being the eldest son of Edwin Abbott (1808–1882),

headmaster of the Philological School, and his wife, Jane Abbott

(1806–1882). His parents were first cousins, which explains how

could Edwin have “Abbott” as both a surname and a middle name.

He was educated at the City School of London and in 1857 Abbott

entered in Cambridge, always taking excellent

St. John’s College

notes in mathematics as well as in classics and theology. He