In viaggio verso l'infinito, tra senso e non senso

III secolo a.C.: Euclide riesce a dimostrare che non può esistere il più grande “numero primo” in

maniera molto semplice. Supponiamo che esista un numero P che sia il più grande di tutti; ora

costruiamo un numero N, ottenuto moltiplicando tutti i numeri primi ad esso inferiori e

aggiungendo, alla fine, il numero “uno”:

N = (2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·……·P) + 1

Provando a dividere N per qualsiasi dei numeri primi sopra elencati, esso darà sempre come resto

+1. Ma anche se fosse divisibile per qualche altro numero, questo dovrebbe essere più grande di P,

altrimenti non riusciremmo mai a liberarci del resto +1. Pertanto, questo numero, per il quale

potremo dividere N, senza averlo come resto +1, sarebbe comunque superiore a P. Quindi non può

esistere un numero primo più grande di tutti gli altri numeri primi.

Esistono cinque numeri primi (1,2,3,5,7) tra uno e dieci, invece sono nove tra i cento numeri che

stanno prima di dieci milioni, poi ancora solo tre quelli dopo i dieci milioni. La frequenza dei primi

diminuisce al crescere del numero stesso.

Questa è la legge di rarefazione dei numeri primi: essi diventano, infatti, sempre più rari man mano

che ci si sposta verso l’Infinito. Grazie a Euclide, però, sappiamo che la lista dei numeri primi non

si ferma mai.

2. L’infinito nel meccanicismo di Galilei

Nel 1638 d.C. Galileo Galilei fu posto da un suo allievo, Bonaventura Cavalieri, di fronte ad un

terribile problema, apparentemente impossibile. Nonostante Euclide avesse affermato una cosa

piuttosto ovvia (per le cose finite), vale a dire che una parte è sempre inferiore al tutto, lo scienziato

fiorentino, lavorando con i numeri interi, scoprì la proprietà fondamentale di tutti gli insiemi

infiniti.

2.1 Il Paradosso dei quadrati:

i quadrati sono solo una parte dei numeri naturali. E’ però possibile stabilire una corrispondenza

biunivoca tra N e l’insieme dei quadrati, vale a dire una corrispondenza nella quale ad ogni numero

naturale corrisponda uno ed un solo quadrato.

1 2 3 4 5 6 7 8 ...

| | | | | | | |

1 4 9 16 25 36 49 64 ...

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I quadrati sono perciò tanti quanti i numeri naturali e ciò significa che una parte può essere “uguale”

al tutto.

2.2 Il Paradosso della Ruota:

due ruote concentriche, tali che la più grande rotoli sopra una retta, toccano con i loro punti due

segmenti di uguale lunghezza.

A B

C D

Facendo fare un giro completo alla circonferenza più grande fino a D, la più piccola arriverà al

punto B. Ma CD = AB.

“Or come dunque può senza salti scorrere il cerchio minore una linea tanto maggiore della sua

circonferenza...”.

Anche in questo caso ciò è dovuto alla possibilità di costruire una corrispondenza biunivoca tra la

circonferenza più grande e quella più piccola (e quindi tra un segmento ed una sua parte propria):

basterà, infatti, proiettare dal comune centro i punti della circonferenza più piccola su quelli della

più grande. Il paradosso sta dunque nella possibilità di stabilire una corrispondenza biunivoca tra un

segmento continuo e una sua parte propria.

“Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo intorno a gl’infiniti,

dandogli quegli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate, il che penso che sia

inconveniente…”

L’impossibilità di spiegarlo su basi sperimentali, tuttavia, non impedì allo scienziato di intuire e

accettare l’Infinito Attuale. 7

“Concedo dunque a’ signori filosofi che il continuo contiene quante parti [cioè parti dotate di

misura] piace a loro, e gli ammetto che le contenga in atto o in potenza, a loro gusto e beneplacito;

ma gli soggiungo poi, che nel modo in cui in una linea di dieci canne si contengono dieci linee

d’una canna l'una, e quaranta d'un braccio l'una, e ottanta di mezzo braccio, ecc., così contiene

ella punti infiniti: chiamateli poi in atto o in potenza, come più vi piace, ché io, Sig. Simplicio, in

questo particolare mi rimetto al vostro arbitrio e giudizio[…]”

3. Il criticismo kantiano

Immanuel Kant rappresenta ancora oggi una rampa di lancio verso il concetto di infinito: con il suo

e del razionalismo, oltre al pensiero scientifico

pensiero, che sintetizza le filosofie dell’empirismo

che va a Galilei e Newton, viene raggiunta una visione critica e oggettiva, sia della realtà che

dell’intelletto umano.

Il criticismo kantiano si basa sulla consapevolezza dei limiti conoscitivi dell’uomo, ma anche delle

grandi possibilità della nostra mente: la ragione viene posta nel tribunale della ragione stessa,

laddove questa risulta essere giudice e imputato allo stesso tempo.

3.1 L’infinito sul piano teoretico: la ricerca del vero

Nella “Critica alla ragion pura”, Kant analizza e struttura il pensiero umano, evidenziandone le

facoltà: sensibilità, intelletto e ragione.

Essendo finalizzata la “ragion pura” alla conoscenza delle leggi naturali, Kant analizza il mondo

meccanicistico e deterministico di Galilei, in cui ogni fenomeno si basa su rapporti di causa ed

effetto. Pertanto la scienza è strettamente legata all’esperienza e ciò di cui non si può avere

esperienza è privo di contenuto scientifico: la metafisica non viene, infatti, considerata una scienza.

Nonostante sia Galilei che Kant facciano ricorso a giudizi sintetici a priori, ottenendo entrambi

conoscenze di carattere universale, certo e necessario, i metodi conoscitivi risultano differenti.

- Galilei, fondatore del metodo sperimentale, afferma la necessità delle sensate esperienze e

delle necessarie dimostrazioni. Tuttavia l’esperienza non potrà mai falsificare l’ipotesi,

poiché lo scienziato si affida al Dio-Fede, creatore del mondo tramite un linguaggio

matematico e geometrico, pertanto garante della corrispondenza fra pensiero e realtà.

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- Kant, invece, affermerebbe che non è scientifico affidarsi a Dio nella formulazione di

leggi, poichè non si può neppure dimostrare su basi sperimentali la sua esistenza. Infatti

l’apriori è, per Kant, radicato nell’uomo e coincide con schemi trascendentali di carattere

universale: le categorie. Attraverso queste ultime l’uomo è capace di universalizzare i

concetti empirici ricevuti dal mondo esterno, ottenendo conoscenze certe.

Tuttavia la stessa ragione umana, secondo Kant, contiene idee di cui non è possibile avere

esperienza: le idee trascendentali. Esse appartengono non più ad un mondo fisico, ma ad un mondo

metafisico, detto no-umeno. Se il senso della ricerca delle cause dei fenomeni è dato dalle categorie,

il nonsenso è così rappresentato dalle idee di anima, mondo e Dio.

Le possibilità della scienza, dunque, sono finite e terminano con l’intelletto umano: oltre questo vi è

l’analisi di ciò che è infinito e in conoscibile, generato da una ragione speculativa e appartenente ad

un mondo logico di cui la scienza non può spiegar nulla.

4. Kant e Galilei

Principale differenza tra Galilei e Kant di fronte al problema dell’infinito (nel campo scientifico) è

l’esistenza di Dio. Se Galilei ne dimostra l’esistenza identificando in esso l’apriori e la validità delle

conoscenze, Kant si definisce agnostico. Non si può, infatti, dimostrare né l’esistenza, né la non-

esistenza di Dio, poiché il suo grado di perfezione supera il nostro e quello dell’intero mondo

naturale, impedendoci di averNE esperienza.

4.1 L’infinito sul piano etico: la ricerca del Sommo Bene

Nella “Critica alla ragione pratica” Kant si cimenta nel problema del Bene, che si ricerca tramite

l’attuazione di una ben precisa morale, basata sulla legge del dovere. Essa definisce un comando

oggettivo, detto del “tu devi”, finalizzato alla realizzazione del bene individuale e del bene comune.

La legge del dovere è un comando proveniente dalla ragione: legata all’apice, essa consente

all’uomo di realizzare la propria libertà e la propria umanità.

Tuttavia l’uomo non potrà mai pretendere di poter applicare questa legge in maniera perfetta,

poiché sarà sempre condizionato dal fenomeno: perseguire un dovere disinteressato, ovvero

finalizzato a se stesso, non è cosa da poco. Per realizzare una morale antiutilitaristica, ripudiando il

e il fariseismo, sono necessarie numerose rinunce e diversi sacrifici.

fanatismo

Il sentimento è uno di questi. Esso viene letteralmente scartato dal mondo etico: nel comando

universale della legge del dovere non c’è spazio per ciò che è volubile e soggettivo.

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In questo caso la domanda che l’uomo spontaneamente si pone è: “Qual è lo scopo della vita? Che

senso ha seguire la legge del dovere se non potrò mai decondizionarmi completamente dal peccato e

dall’istinto?”.

NONSENSO SENSO

ANTINOMIA

DOVERE FELICITA’

Ebbene Kant analizza profondamente l’antinomia tra la ricerca del Sommo Bene e la legge del

dovere: egli ritiene assurdo vivere un’esistenza per il nulla, per il nonsenso. Pertanto risulta

ragionevole postulare un mondo soprannaturale, di carattere metafisico, in cui l’uomo è capace di

giustificare i suoi sforzi terreni, ma soprattutto di soddisfare il suo irrinunciabile desiderio di

infinito e felicità.

Ed è così che la metafisica, “gettata dalla finestra” nella prima Critica, viene ora fatta “entrare dalla

porta”.

All’interno di questo mondo vi sono due postulati pratici di estrema importanza:

• l’immortalità dell’anima, che garantisce all’uomo di liberarsi totalmente dal peccato e

dall’istinto, realizzando il proprio dovere in maniera

perfetta.

• l’esistenza di Dio, poiché risulta necessario che esista un’entità che giudichi e che

ricompensi le azioni dell’uomo.

4.2 L’infinito sul piano del sentimento: il Sublime

A differenza delle due precedenti opere, la “Critica del Giudizio” non vede la trattazione di alcuna

legge: il comando della ragione lascia spazio al sentimento. In tal modo si rimargina la dicotomia

tra il mondo teoretico ed etico: se nel primo si è compiuta una ricerca nel mondo meccanicistico,

nell’altro questa termina con la creazione di un mondo metafisico della libertà e dello spirito.

Kant abbandona il problema delle cause che regolano i fenomeni e assieme anche il problema

morale: il filosofo tedesco comincia ad interrogarsi sul fine delle cose.

Nella contemplazione della natura, l’equilibrio e la bellezza di ogni cosa generano nell’animo

umano un profondo senso di armonia e di soddisfazione interiore. A livello psicologico si

manifesta, così, un libero gioco tra intelletto e fantasia, giostrato e favorito proprio dal sentimento.

I giudizi che l’essere umano riesce ad esprimere tramite il sentimento sono detti “riflettenti”: oltre

all’appagamento interiore, l’uomo contempla la “forma”, nonché la vera bellezza dell’oggetto.

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Pertanto anche nella “Critica del Giudizio” Kant mette in luce l’importanza del Soggettivismo: il

Bello è espresso solo ed esclusivamente in funzione del soggetto. Solo coloro che sono provvisti di

idee e che fanno ricorso ai giudizi determinanti (sintetici a priori) per interpretare e conoscere la

realtà, sono anche in grado di apprezzarne il fine. La realtà non è bella in sé e per sé, ma lo è

solamente se e quando l’uomo la contempla e riflette su di essa.

Tuttavia l’osservazione del mondo reale conduce inevitabilmente ad affrontare un’entità infinita e in

conoscibile: il Sublime.

L’atteggiamento critico con cui l’essere umano si pone di fronte ad esso, provoca a livello

psicologico un profondo conflitto interiore. Precisamente sono due i tipi di Sublime che comportano

la triste consapevolezza del limite e della piccolezza umana:

• Sublime matematico, che mette l’uomo innanzi al “dispiacere”, coincidente con l’atto

del pensare all’idea di infinito. Nella consapevolezza dei propri

limiti, tuttavia, l’uomo comprende anche la sua enorme

grandezza, poiché egli rappresenta il solo essere capace di pensare

all’infinito e questo procura il “piacere”.

• Sublime dinamico, che mostra all’uomo, nonostante le ricerche e il metodo conoscitivo