De Limite

Premessa

Ad offrirmi lo spunto per il tema di questa tesina è stata l’ultima scena del film 2001: Odissea nello spazio di Stanley Kubrick insieme al film Frontiera di Tony Richardson mi hanno dato lo spunto di partenza per la tesina. Già da tempo avevo pensato di proporre il limite, ma decisiva è stata l’immagine del feto che guarda il mondo dall’universo.

In occidente siamo sempre a contatto con gente straniera, ma più ne siamo vicini e più sembra che ci dimentichiamo che in fondo la condizione di estraneità è solo un evento possibile. Io posso nascere in Nigeria così come in Francia, Bulgaria, Ecuador o nelle steppe della Mongolia eppure la mia vita non ha valore maggiore o minore rispetto a quella di un altro nato magari in USA o in Inghilterra. Il luogo di nascita non è affatto una discriminante così come non lo sono gli usi e i costumi del mio popolo. Essi derivano da determinate condizioni socio-economiche o semplicemente dal clima diverso. Eppure, nonostante la consapevolezza della sostanziale uguaglianza della “razza umana”, c’è ancora chi si ostina a propugnare idee razziste, si giunge a odiare il proprio vicino solo perché lui è al di là del confine della mia abitazione.

Il luogo del confine assume, allora, sempre più valore tanto da decidere della vita di un individuo come nel caso dei clandestini messicani di Frontiera; eppure, il poliziotto Nicholson intuisce il carattere umano di questi sventurati al punto da esserne attratto, in questo senso il semplice gesto di chiudere un occhio per far passare Maria oltre il confine di stato si carica di un profondo significato esistenziale, più profondo del misero passaggio su di una linea. Il concetto è lo stesso del confine proposto da Giorgio Caproni nella sua poesia Falsa indicazione. L’amara ricerca di quel confine che divide è solo la scoperta dell’intima sensazione che un uomo spesso tende a dimenticare: confine è una pura astrazione, la terra non può essere straniera, tutto al più siamo noi a sentirci estranei in questo mondo. L’unico mezzo a cui un uomo può fare affidamento per individuare i suoi limiti è la ragione. Attraverso di essa possiamo dire ciò che non siamo, ciò che non vogliamo, ma, ironia della sorte, mentre possiamo definire ciò che ci è lontano, non siamo altrettanto bravi a dire cosa siamo. Questa è la più importante funzione di un limite, determinare.

Questo è il motivo principale per cui ho scelto il tema del limite. Ho voluto analizzare dal di dentro, se dentro si può dire, il concetto stesso di limite per realizzare un percorso non solo storico e interdisciplinare, ma per offrire spunti di riflessione. Il significato del lavoro è di capire come un limite, un’astrazione mentale umana, possa, nel tempo, aver procurato così tanti danni sia all’uomo che a tutti gli esseri viventi con cui è stato in contatto.

Una canzone della prima guerra mondiale, Gorizia tu sia maledetta, ad un certo punto dice: “voi chiamate il campo d’onore questa terra al di là dei confini, qui si muore gridando assassini, maledetti sarete un dì” a dimostrare come questa linea tracciata per terra possa essere sinonimo di morte.

Per concludere, questo lavoro non è stato solamente una ricerca su dei libri o su internet per scopiazzare non so quali testi, esso è stato un viaggio interiore che è partito da spunti extrascolastici e si è arricchito del pensiero di grandi intellettuali. Come ho sempre fatto in questi cinque anni per l’ennesima volta ho voluto non restituire solo quello che si trova scritto sui libri, ma ho cercato di renderlo mio e di utilizzare al meglio ciò che altri sono riusciti a esprimere meglio di me. 1

Per svolgere il percorso di analisi del limite non si può fare a meno di iniziare attraverso la matematica, più precisamente, si deve osservare come i primi approcci sul concetto di limite si ebbero intorno al VI secolo a.C., nella Magna Grecia.

Nella matematica greca non si parla mai esplicitamente di limite, ma alcuni problemi connessi alla determinazione di aree e volumi venivano risolti con un metodo detto di esaustione (*) il cui scopo era anche di calcolare il περας (limite) in cui si riteneva risiedesse la perfezione.

Il metodo di esaustione oggi è attribuito ad Eudosso di Cnido, matematico vissuto nel periodo compreso tra la morte di Socrate (399 a.C.) e quella di Aristotele (322 a.C.), anche se è giunto a noi grazie all’applicazione che ne fa Euclide nel libro XII degli Elementi, ove se ne serve per dimostrare che l’area del cerchio può essere “esaurita” da quella dei poligoni inscritti.

L’opera di Eudosso fu talmente significativa da essere definita una vera e propria riforma della matematica, in quanto affrontava con successo il problema aperto dalla scoperta di grandezze incommensurabili, di serie indeterminate (si veda il caso del paradosso di Achille e la Tartaruga), che si collegava con il dilemma del confronto fra configurazioni curvilinee e rettilinee. Lo stesso Archimede, altra autorevole fonte, sottolinea la novità apportata da Eudosso al concetto cardine di calcolo di superfici curve, ossia quello di “inscrivere e circoscrivere figure rettilinee attorno ad una figura curva e di continuare a moltiplicare indefinitamente il numero dei lati del poligono fino ad approssimare il più possibile la linea curva”.

La dimostrazione col metodo di esaustione doveva essere preceduta da una ricerca euristica della tesi, condotta con diverse tecniche (ad esempio il metodo seicentesco degli indivisibili), ma tali tecniche erano intuitive e non considerate sufficienti per garantire la verità del risultato. Individuata la tesi, la dimostrazione rigorosa avveniva sempre per assurdo. Solidamente fondato sulla teoria eudossiana delle proporzioni, il metodo constava di un importante postulato, il cosiddetto assioma di continuità, una proposizione che si basava sul concetto stesso di limite (positivamente inteso in quanto non volto a determinare una discontinuità sulla linea dei numeri naturali) e che affermava:

(*) Il termine esaustione non era usato dai greci, ma venne introdotto nel XVII secolo.

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“Date due grandezze aventi un certo rapporto (cioè, nessuna delle quali sia zero) è sempre possibile trovare un multiplo dell’una che superi l’altra grandezza”.

A questo Euclide applica la proposizione 1 del libro X:

“Se da una qualsiasi grandezza si sottrae una parte non inferiore alla sua metà, e se dal resto si sottrae ancora non meno della sua metà, e se questo processo di sottrazione viene continuato, alla fine rimarrà una grandezza inferiore a qualsiasi grandezza dello stesso genere precedentemente assegnata”.

Da ciò deduce che la differenza tra l’area del cerchio e quella di un poligono regolare inscritto viene ridotta a ogni passo proprio di una parte non inferiore alla sua metà, può essere resa più piccola di qualunque area assegnata, ovvero si può affermare che i poligoni regolari inscritti “esauriscano” il cerchio.

Se rileggiamo la dimostrazione di Euclide alla luce della moderna definizione di limite, vediamo già che egli costruisce una successione, quella delle aree dei poligoni inscritti che si ottengono a partire dal quadrato e dimostra che la differenza tra l’area del cerchio e quella di uno dei poligoni può essere resa minore di una qualunque area ε prefissata (noi diremmo ‘piccola a piacere’): ciò significa che il limite di tale successione di aree è l’area del cerchio.

Archimede e la quadratura della parabola

Notevole importanza nell’ambito degli studi sul limite matematico effettuati nell’antica Grecia riveste Archimede; questi, intorno al 225 a.C., vi fornì un importante contributo attraverso lo studio delle successioni aritmetiche continue. Dimostrò infatti che l’area delimitata da un segmento di parabola corrisponde ai 4/3 dell’area di un triangolo costruito sullo stesso segmento e sul vertice della parabola, e ai 2/3 dell’area del parallelogramma ad esso circoscritto. Il problema si trovava nell’opera La quadratura della parabola quando il matematico siracusano fa riferimento alla serie geometrica di ragione 1/4 nella seguente proposizione:

■ Proposizione 23. Se alcune grandezze si pongono ordinatamente nel rapporto quadruplo [se ciascuna è quadrupla della seguente], tutte le grandezze [sommate insieme] più ancora la terza parte della più piccola saranno i quattro terzi della maggiore.

1 4

1 3 3

1 1 1 4

1 4 3 4 3

1 1 1 1 4

1 4 16 3 16 3

1 1 1 1 1 4

1 4 16 64 3 64 3

1 1 1 4 1 1

1 ... n n

4 16 4 3 3 4

Si tratta, dunque, di una serie convergente che dimostra come una successione apparentemente infinita possa essere matematicamente calcolata, o meglio, attraverso il procedimento di esaustione i triangoli costruiti, sempre più piccoli, arrivano ad approssimare in maniera sempre più precisa la superficie stessa della parabola, tanto da ottenere come risultato che: 3

A partire da questa considerazione Andrea Tacquet notò che:

“Con facilità si passa da una progressione finita alla progressione infinita. E c’è da stupirsi che gli Aritmetici che conoscevano il teorema sulle progressioni finite abbiano ignorato quello sulle progressioni infinite, che si deduce immediatamente”.

Eppure questa considerazione risulterà errata poiché, sebbene da un punto di vista cognitivo risulta dotata di senso, sotto il profilo epistemologico avviene una delicata rottura: addizionare infiniti addendi non equivale a realizzare un’addizione vera e propria perché un’addizione ha sempre un risultato, mentre una serie infinita di addendi può essere convergente, divergente o indeterminata.

La svolta che pone le basi perché lo studio differenziale diventasse una nuova e fondamentale sezione della matematica (quella dell’Analisi) si collocò intorno alla prima metà del Seicento; ma, come osserva Paul Tannery,

“L’invenzione del calcolo differenziale e integrale non si presenta dapprima che come una scoperta atta a semplificare la soluzione di certi problemi di tangenti e di quadrature, già trattati in precedenza con altri metodi”;

Cavalieri e De Fermat

Bonaventura Cavalieri (1598-1647), nel proprio capolavoro Geometria indivisibilibus quadam ratione promota, mise a punto il metodo degli indivisibili, per la determinazione di aree e volumi, che venivano rispettivamente concepiti come insiemi di rette e di piani. L’allievo di Galileo Galilei lo descrisse come “metodo ottimo per investigare la misura delle figure quello di indagare i rapporti delle linee al posto di quello dei piani e i rapporti dei piani al posto di quello dei solidi per procurarmi subito la misura delle figure stesse”.

Tuttavia bisogna ricordare che Cavalieri riprese alcune idee di J. Kepler (1571-1630), G. Roberval (1602-1675), E. Torricelli (1608-1647), e soprattutto riproduce gli studi compiuti da Archimede nel suo Metodo che però fu ritrovato a Costantinopoli dallo studioso Heiberg solamente nel 1906.

Altro passo importante per la determinazione del concetto di limite lo fa Pierre de Fermat, nato nel 1601, che nel 1629 espone un nuovo metodo per determinare la tangente di a una curva. (Vediamo per esempio l’applicazione del metodo al grafico di f(x)=x²).

Fermat, volendo determinare la tangente nel punto P, dà alla variabile x un incremento E, chiama P il punto del grafico di ascissa x+E e si propone di determinare il punto T in cui la tangente interseca l’asse delle ascisse.

Osservando la similitudine tra i triangoli TPQ e PRT, si ha TQ : PQ = E : TR; ma se E è abbastanza piccolo, TR è quasi eguale a PR e quindi si ha TQ : f(x) = E : [f(x-E) - f(x)], da cui

TQ = → TQ = → TQ = . (1)

Dividendo numeratore e denominatore per E, si ottiene

TQ = . (2)

A questo punto Fermat pone E = 0, ovvero, usando le sue parole “rimuove il termine E”, ottenendo

TQ = . (3)

Il metodo di Fermat non è molto diverso da quello con cui oggi si calcolano le derivate, ma in questo v’è un punto critico: la (1) ha senso solo se è E ≠ 0 (altrimenti si riduce alla forma 0/0), ma per ottenere la (3) occorre porre E = 0. Si vede qui emergere per la prima volta il concetto di infinitesimo, che Fermat non esplicita mai, ma che diventerà centrale nello sviluppo dell’analisi nei secoli successivi: un infinitesimo è una grandezza “infinitamente piccola” ma diversa da zero (sic Newton).

Nella sua introduzione alla Storia del pensiero matematico, Morris Kline afferma che

“I grandi progressi della matematica e della scienza hanno quasi sempre origine nell’opera di molti studiosi che portano ciascuno il proprio contributo, pezzo dopo pezzo, per centinaia d’anni; alla fine, un uomo d’ingegno abbastanza acuto per saper distinguere le idee valide nella gran massa dei suggerimenti e delle dichiarazioni dei suoi predecessori, dotato dell’immaginazione occorrente per incastonare le varie tessere in un nuovo mosaico e audace quanto basta per costruire un progetto generale, compie il passo culminante e definitivo”.

Leibniz e Newton

Nel caso del calcolo infinitesimale, due furono questi “eroi d’acume”: Gottfried Wilhelm Leibniz e Sir Isaac Newton.

In particolare Leibniz, uomo poliedrico, nell’articolo Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, pubblicato sugli Acta eruditorum nel 1684, pone al centro il problema di trovare le tangenti alle curve, inteso direttamente oppure inversamente, ossia come ricerca delle aree e dei volumi per sommazione. Intendeva quest’ultima come somma di rettangoli talmente piccoli e numerosi che la differenza fra tale somma e la superficie reale potesse essere trascurata.

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Notiamo qui la definizione di dx e dy come quantità arbitrariamente piccole e tali che il loro rapporto costituisse la derivata alla curva nel punto P(x,y), vale a dire la tangente alla curva stessa in quel punto.

Newton invece ne fece uso nello sviluppare le sue teorie fisiche; utilizzava gli incrementi infinitamente piccoli di x e di y come mezzo per determinare ad ogni istante la flussione (*): essa non era altro che il limite del rapporto degli incrementi quando questi diventavano sempre più piccoli.

Contemporaneamente però il concetto d’infinitesimo, e quindi anche i teoremi dimostrati facendo uso di esso, fu sottoposto a critiche violente e giustificate: come poteva una grandezza essere contemporaneamente infinitamente piccola e diversa da zero? Nonostante le critiche tale concetto si rivelò troppo potente per essere abbandonato. Nel contempo però i matematici cominciarono una nuova ricerca volta a porre su fondamenta più sicure i risultati straordinari che avevano raggiunto con il loro utilizzo. Fu così che nacque il concetto di limite. Già nella letteratura scientifica del XVII secolo si possono trovare alcuni spunti in tal senso: J. Wallis introduce un concetto aritmetico di limite di una funzione: un numero la cui differenza dalla funzione considerata può essere resa minore di ogni quantità [La sua formulazione è ancora vaga (se riferita agli standard moderni), ma l’idea è corretta].

Wallis e Gregory osservarono che nel caso di procedimenti come quello di Fermat, si potrebbe evitare l’uso degli infinitesimi: ad esempio, il valore TQ che Fermat vuole determinare è il valore a cui si avvicina il rapporto (1) quando E si approssima a zero. Occorre però attendere altri due secoli e l’opera di matematici quali Cauchy, Abel, Bolzano, Dirichlet e Weierstrass per giungere a una fondazione rigorosa dell’analisi matematica, che verso la metà del XIX secolo cominciò ad assumere la forma in cui oggi viene insegnata.

Ecco, dunque, Cauchy nel 1822 definire il limite:

“Allorché i valori successivamente assunti da una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato, in modo da differirne di tanto poco quanto si vorrà, questo è chiamato il limite di tutti gli altri. Un numero irrazionale è il limite delle frazioni che ne danno valori sempre più approssimati”.

“Allorché i successivi valori numerici di una stessa variabile decrescono indefinitamente in modo da divenire minori di ogni numero dato, questa variabile diviene ciò che si chiama infinitesimo o una quantità infinitesima. Una variabile di questa specie ha zero come limite”.

(*) Flussione consiste nella velocità di accrescimento attraverso la quale un moto continuo di punti genera una linea, quello di una linea una superficie, e quello di una superficie un volume. 6

Weierstrass: il limite moderno

Mentre con Weierstrass (1815-1897) si arriva alla definizione rigorosa:

“Il limite della funzione f per x tendente a c è l se per ogni reale positivo esiste un reale tale che per ogni x tale che |x–c|<, con x c, risulta |f(x)–l|<”.

“Una funzione f è continua in x = c se per ogni reale positivo esiste un reale tale che per ogni x tale che |x–c|< risulta |f(x)–f(c)|<”.

Lo sviluppo di idee legate all’infinitesimo attuale sono determinate da nuove concezioni della retta numerica. L’approccio assiomatico del XX secolo consente di considerare i reali non solo come costanti. La teoria che si sviluppa è l’analisi non-standard di Robinson (1919-1974).

Per arrivare a una definizione di limite matematico come abbiamo potuto vedere siamo dovuti partire da successioni numeriche indeterminate, quindi infinite.