all'Abaco al Personal Computer, una Crescita Espon

Come detto prima, alcune delle proprietà più importanti dei logaritmi sono queste:

 a

log am⋅n=loga mlog n

m

 =log a n

log a a m−log

n

Nepero, creando delle tavole logaritmiche, permise di fare

moltiplicazioni e divisioni eseguendo semplicemente addizioni e

sottrazioni tra logaritmi, semplificando lunghi calcoli che a quei

tempi erano molto scomodi da eseguire a mano.

A Nepero si attribuiscono anche i famosi bastoncini detti:

“Ossi di Nepero” con cui si possono eseguire le moltiplicazioni

come somme di numeri. Essi furono utilizzati per circa un secolo.

Per capirne bene il funzionamento, si può osservare l'esempio a

·

lato. Nell'esempio si esegue la moltiplicazione 8 36. Il

funzionamento e la logica è abbastanza semplice e al tempo

stesso geniale.

5. La Pascaline (1640)

Nel XVII secolo, quando il complesso di regole per il calcolo cominciò ad avere una certa

completezza, prese il corpo l’idea della calcolatrice meccanica.

Si deve a Blaise Pascal,

matematico, filosofo e scienziato

francese, l'invenzione e la costruzione

della prima macchina calcolatrice

funzionante ad ingranaggi. La macchina

di Pascal, presto denominata “pascaline”

era in grado di eseguire le quattro

operazioni attraverso la rotazione di

ingranaggi e, cosa innovativa, di tenere

conto dei riporti e dei prestiti. Le

moltiplicazioni erano delle addizioni

ripetute. Le sottrazioni venivano eseguite

come complemento al 10 (principio che

fu utilizzato anche da molte calcolatrici

meccaniche fino a pochi anni fa). 7

Per capirlo facciamo un esempio: eseguiamo la sottrazione 5-3. Poiché il complemento di 3

è 7 (10-3=7) possiamo sommare 7+3=12, che senza riporto da 2. Quindi si può dire che 5-3=5+7-

10, quindi 5-3=5+(-3). Si può, perciò, anche affermare che la pascaline faceva le sottrazioni come

somma di numeri negativi utilizzando il metodo del complemento a dieci del sottraendo.

Naturalmente l'operatore non doveva calcolare il complemento e poi eseguire una addizione, ma era

la macchina stessa, attraverso il procedimento per la sottrazione, ad eseguire questo calcolo.

Lo scopo per cui progettò questa calcolatrice fu quello di aiutare il padre nel calcolo della

riscossione delle tasse. Pensò che la macchina potesse essere utile anche ad altri, la fece brevettare e

ne costruì anche un certo numero di esemplari (circa 50).

6. Il Regolo Calcolatore (1650)

Nel 1650 fu inventato uno strumento con un funzionamento per certi versi semplice ma

geniale, il Regolo Calcolatore. Fu inventato dal matematico inglese Edmond Gunter. Serviva ad

eseguire moltiplicazioni e divisioni (ma anche quadrati, radici e tante altre operazioni) attraverso la

somma o la differenza su scale logaritmiche. Ebbe una diffusione vastissima e fu usato da tecnici e

ingegneri fino a quando non comparvero le calcolatrici tascabili (anni '60 circa), che ne decretarono

la fine.

È composto da tre parti:

un corpo su cui si trovano

delle scale fisse, un'asta

scorrevole con delle scale

mobili, alcune davanti,

altre dietro, e un cursore

con una o più linee di

riferimento. Ce n'erano di diversi tipi e con diverse scale, in base al diverso utilizzo che se ne

doveva fare. Fu utilizzato durante i primi viaggi spaziali dagli astronauti per eseguire i calcoli

durante la missione, in quanto ancora non esistevano le calcolatrici.

Per capirne il funzionamento possiamo osservare i seguenti grafici che spiegano come venne

usato per eseguire addizioni e sottrazioni.

7. La Macchina di Leibniz e il Sistema Binario (1674)

W. Leibniz nacque a Lipsia nel 1647. Si laureò, ventenne, in giurisprudenza a Norimberga.

Si dedicò alle scienze e alla filosofia, frequentò le maggiori sedi universitarie europee e fu direttore

dell' Accademia Prussiana delle Scienze. Il sistema binario da lui inventato è il sistema che viene

usato tuttora dai computer. Non solo inventò il sistema binario, ma ne descrisse compiutamente le

regole aritmetiche. 8

Il sistema numerico binario è un sistema numerico posizionale in base 2, cioè che utilizza 2

simboli, tipicamente 0 e 1, invece dei 10 del sistema numerico decimale tradizionale. Di

conseguenza, la cifra in posizione N (da destra) si considera moltiplicata per 2^N (anziché per 10^N

come avverrebbe nella numerazione decimale). Quindi se dobbiamo trasformare un numero da base

2 a base 10 dobbiamo moltiplicare la cifra binaria per 2 elevato la posizione N, e sommare tutti i

risultati. Esempio:

→1*(2^0)+0*(2^1)+0*(2^2)+0*(2^3)+1*(2^4)+1*(2^5)+0*(2^6)+1*(2^7)=177

10110001₂

Se invece dobbiamo trasformare un numero da decimale a binario si usa il metodo delle divisioni

ripetute per 2, si calcolano i resti e infine si mettono in ordine dall'ultimo resto calcolato al primo.

Esempio:

26₁₀ → 26/2=13 (R:0): 2 = 6 (R 1) : 2 = 3 (R 0) : 2 = 1 (R 1) : 2 = 0 (R 1)=11010

Ma perché proprio il binario? È inizialmente difficile lavorare coi numeri in base due, se si è

abituati a lavorare in base 10. Ma da questa affermazione può nascere una nuova domanda: perché

proprio la base 10? La risposta è semplice: è una convenzione dovuta al fatto che noi abbiamo 10

dita. Se i primitivi avessero contato, oltre che con le dita delle mani, anche con le dita dei piedi, non

ci sarebbe stato niente di strano se adesso avremmo a che fare con la base 20, e quindi con 20 cifre

diverse, 20 simboli. E in sostanza non sarebbe cambiato niente, solo la base. Noi usiamo la base 10

semplicemente perché abbiamo l'esigenza di poter fare i calcoli con le dita, esattamente come fa un

bambino quando sta imparando a contare. Eppure, anche senza rendercene conto, non usiamo

solamente la base 10. Per la misurazione degli angoli e del tempo tutti noi usiamo il sistema

sessagesimale, dove i minuti primi si incrementano solo dopo aver superato il sessantesimo minuto

secondo.

Leibniz comunque dedusse che il

sistema binario era il sistema che avrebbe

permesso la creazione di calcolatori ideali.

Egli disse: “Se si vuole costruire una

macchina ancora più perfetta, bisognerebbe

eliminare la necessità dell'intervento umano

per far girare le ruote, o per fare avanzare la

macchina moltiplicatrice di operazione in

operazione; bisognerebbe, invece,

organizzare le cose fin dall'inizio in modo

che la macchina stessa possa fare anche

tutto il resto”.

A Leibniz dobbiamo due macchine

calcolatrici. La prima permetteva di

eseguire le quattro operazioni aritmetiche

con numeri decimali ed era un ingegnoso

perfezionamento della calcolatrice di Pascal che invece eseguiva soltanto somme e sottrazioni.

Leibniz utilizzò un sistema di ruote con denti retrattili e inventò il tamburo differenziato che era un

rullo con nove creste di lunghezza decrescente sulle quali ruota un ingranaggio. La calcolatrice di

Leibniz commetteva, però, alcuni errori dovuti ad un difetto di un meccanismo di riporto.

Ispirato dalla macchina di Pascal, Leibniz realizzò, nel 1671, una calcolatrice meccanica in

grado di effettuare le quattro operazioni e l'estrazione di radice chiamata Stepped Reckoner

(calcolatrice a scatti). Era notevole il fatto che essa aveva introdotto un meccanismo, chiamato

traspositore, che corrispondeva esattamente ai registri dei moderni computer elettronici. Colpito

dalla cristallina semplicità con cui si lasciavano maneggiare i numeri binari, concepì una macchina

in grado di eseguire le quattro operazioni con l'aritmetica binaria. Se le regole di questa aritmetica

erano il software, la calcolatrice binaria di Leibniz era allora un hardware in cui l'uno e lo zero

erano materializzati nella presenza o assenza di una pallina in una determinata posizione. 9

Rendendosi però conto che la numerazione binaria sarebbe difficilmente entrata nell'uso

quotidiano, Leibniz voleva integrare la sua invenzione con un convertitore decimale-binario, che

preparasse l'input, e uno binario-decimale, per rendere l'output leggibile in decimale; malgrado

diversi tentativi, questa impresa non riuscì e la calcolatrice binaria cadde nel dimenticatoio.

Leibniz concentrò il suo sforzo nella realizzazione di un congegno che potesse eseguire

velocemente moltiplicazioni e divisioni; per raggiungere il suo scopo inventò uno speciale tipo di

meccanismo, detto tamburo differenziato: un meccanismo che contiene nove denti di lunghezza

crescente (oggi più semplicemente chiamato Ruota di Leibniz). La ruota dentata con esso

accoppiata, potendo scorrere lungo la direzione del suo asse, veniva a trovarsi in posizione relativa

diversa rispetto ai denti di lunghezza variabile del tamburo, e quindi poteva ingranare con un

numero variabile di denti.

Per esempio, se la ruota dentata si trova in posizione tale da ingranare con tre denti del

tamburo, quando quest’ultimo ruota di un giro, essa subisce una rotazione corrispondente a tre

denti. Così, con un giro del tamburo, era possibile fare compiere alla ruota dentata accoppiata una

rotazione variabile e quindi incrementare, in un solo colpo, di più unità la cifra rappresentata dalla

ruota. Combinando insieme alcuni di questi tamburi era possibile moltiplicare e dividere sfruttando

la ripetizione automatica di somme e sottrazioni.

Ma il contributo più importante che Leibniz ci ha lasciato, e che in qualche modo sottende

tutta la sua opera, è stato il suo grande e incompiuto progetto: definire un insieme di regole per

formalizzare il ragionamento logico deduttivo. Era il sogno del calculus raziocinator, espresso con i

simboli di una characteristica universalis. Partendo da pochi principi generali e condivisi da tutti,

egli pensava che qualsiasi questione controversa sarebbe stata risolta semplicemente applicando

quelle regole, e il tutto, beninteso, avrebbe potuto farlo anche una macchina.

Possiamo trovare un riscontro reale di questo pensiero nella moderna programmazione dove,

con un numero limitato di istruzioni macchina si può costruire un numero potenzialmente infinito di

programmi.

8. Telaio a Schede di Jacquard (1801)

Il telaio Jacquard era un tipo di telaio per

tessitura che aveva la possibilità di eseguire disegni

complessi. Si trattava di un normale telaio a cui si era

aggiunto un macchinario che permetteva la

movimentazione automatica dei singoli fili.

Probabilmente fu la più importante invenzione nel

campo dell'industria tessile. Permetteva di produrre

tessuti, anche molto complessi, con il lavoro di un solo

tessitore. Fu la prima applicazione che utilizzava un

scheda perforata per cui è considerato l'antenato del

calcolatore.

La sua invenzione, che non fu inizialmente ben

accolta dai tessitori per paura di perdere posti di lavoro,

scatenò in Francia la rivolta dei Canuts (i tessitori di seta

di Lione), ma si diffuse velocemente in tutta l'Europa.

L'apparecchio era costituito da una struttura

applicata sopra ad un telaio composta da un

incastellatura che reggeva un nastro formato da cartoni

perforati, una catena di trascinamento che faceva

avanzare i riquadri perforati e una serie di contrappesi cilindrici collegati alle maglie dei licci. 10

9. La Macchina alle Differenze di Babbage (1816)

Charles Babbage (1791-1871) era professore di matematica all'università di Cambridge ed

esperto di costruzioni ferroviarie, tanto che venne chiamato anche in Italia per risolvere alcuni

problemi della linea Torino-Genova. Fu inventore di due macchine calcolatrici: La macchina alle

differenze e la macchina analitica. Contrariamente a quanto era avvenuto fino ad allora, Babbage

non si proponeva tanto di realizzare delle macchine calcolatrici in grado di eseguire le 4 operazioni,

ma dei calcolatori concettualmente simili a quelli moderni: in grado di eseguire sequenze di

operazioni in base a un programma.

La sua prima macchina, quella alle

differenze, era nata con l' esigenza di calcolare

tavole astronomiche dove, per la precisione

richiesta, Babbage aveva pensato anche ad un

sistema di stampa per evitare errori umani di

trascrizione. Per descriverne il funzionamento è

necessario spiegare la teoria dei numeri triangolari.

Babbage spiegò in questo modo il

funzionamento della sua macchina delle differenze.

Immaginiamo di disporre delle biglie in fila: