Soluzione Seconda prova matematica maturità 2018: liceo scientifico

Ilaria_Roncone
Di Ilaria_Roncone

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State cercando la pagina della soluzione della seconda prova matematica per il liceo scientifico? Qui potrete confrontare la prova svolta dai nostri preparatissimi tutor con le vostre risposte e levarvi ogni dubbio. Preparatevi al confronto, quindi, e ricordate che noi di Skuola.net renderemo disponibile la soluzione della seconda prova maturità liceo scientifico solo a partire dall’orario consentito per legge. E se con un occhio state già guardando all’orale, vi ricordiamo noi tutto ciò che serve sapere sulla commissione!

Vi invitiamo quindi caldamente a non consultare questa pagina prima di aver consegnato il compito e di essere usciti dall’aula d’esame. Farsi invalidare la seconda prova così sarebbe davvero sciocco!


Siete a metà strada, il diploma si avvicina sempre più, quindi mettetecela tutta nello svolgere i problemi e i vari quesiti di questa seconda prova. La concentrazione è tutto: se rimarrete con la testa sul compito e utilizzerete tutte le conoscenze acquisite nel corso dell’anno non potrà che andare bene.

Siete pronti a confrontarvi coi nostri tutor? Qui di seguito pubblicheremo le soluzioni della prova di matematica!

Soluzione problema 1 matematica

Qui troverete la soluzione del primo problema di matematica della seconda prova di matematica del liceo scientifico. La pagina è in aggiornamento!








Soluzione problema 2 matematica


Punto 1


Dato
[math]\Gamma_k[/math]
grafico di
[math]f_k[/math]
. Si ha:
[math]f_k(0)=9\,\rightarrow r_k[/math]
passa per
[math](0,9)=P[/math]

[math]f_k(1)=k+8\,\rightarrow s_k[/math]
passa per
[math](1,k+8)=Q[/math]

Cerchiamo ora le equazioni delle rette tangenti
[math]r_k[/math]
e
[math]s_k[/math]
:
Per i coefficienti angolari calcolo la derivata prima:
[math]f'(k)=-3x^2+k[/math]

[math]m_{r_k}=f'_k(0)=k[/math]

[math]m_{s_k}=f'_k(1)=k-3[/math]

Per l'equazione completa utilizziamo la formula della retta passante per un punto assegnato. Dunque per
[math]r_k[/math]
il punto è
[math]P[/math]
:
[math]y-y_P=m_{r_k}(x-x_P)[/math]

[math]y-9=m_{r_k}x[/math]

[math]\boxed{r_k:\,y=kx+9}[/math]

Per
[math]s_k[/math]
il punto è
[math]Q[/math]
:
[math]y-y_Q=m_{s_k}(x-x_Q)[/math]

[math]y-(k+8)=(k-3)(x-1)[/math]

[math]\boxed{s_k:\,y=(k-3)x+11}[/math]

Per trovare il punto di intersezione
[math]M[/math]
tra
[math]s_k[/math]
e
[math]r_k[/math]
è sufficiente risolvere il sistema:
[math]
\begin{cases}
y=kx+9\\
y=(k-3)x+11\\
\end{cases}
\begin{cases}
y=kx+9\\
kx+9(k-3)x+11\\
\end{cases}
[/math]

[math]
\begin{cases}
y=kx+9\\
-3x+11=9\\
\end{cases}
\begin{cases}
y=\frac{2}{3}+9\\
x=\frac{2}{3}\\
\end{cases}
[/math]

Dunque
[math]M(\frac{2}{3},\frac{2}{3}k+9)[/math]


Punto 2


L'ordinata del punto

[math]M[/math]
può essere vista come una funzione del parametro
[math]k[/math]
:
[math]M_y=M(k)=\frac{2}{3}k+9[/math]

Basta allora imporre alla funzione la condizione richiesta:
[math]\frac{2}{3}+9<10 \, \rightarrow k<\frac{3}{2}[/math]

Poiché
[math]k\in\mathbb{Z}[/math]
, il valore cercato è
[math]\boxed{k=1}[/math]
.
Sia dunque
[math]f_1(x)=-x^3+x+9[/math]


Dominio: la funzione è polinomiale intera, perciò definita su tutto

[math]\mathbb{R}[/math]
.


Derivata prima:

[math]f_1'(x)=-3x^2+1=(1+\sqrt{3}x)(1-\sqrt{3}x)[/math]

I punti stazionari sono:
[math]x_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}[/math]

Le corrispondenti ordinate sono:
[math]y_{1,2}=f_1(x_{1,2})=\pm\frac{2\sqrt{3}}{9}+9[/math]

Studiamo il segno della derivata prima:
[math]f_1'(x)\geq0 \iff -3x^2+1\geq 0[/math]

quindi, essendo un polinomio di grado 2, con coefficiente del termine quadratico negativo, è rappresentabile da una parabola con concavità rivolta verso il basso. Si può concludere che assuma valori nulli o positivi per
[math]x_1\leq x \leq x_2[/math]
. Possiamo inoltre concludere che
[math]A(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{9}+9)[/math]
è un punto di minimo relativo e
[math]B(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{9}+9)[/math]
di massimo relativo.

Studio degli asintoti

Essendo definita su tutto l'asse reale, i limiti vanno studiati solo all'infinito. Calcoliamo:

[math]\lim_{x\to\infty}f_1(x)=\lim{x\to\infty}(-x^3+x+9)=-\infty[/math]

[math]\lim_{x\to-\infty}f_1(x)=\lim{x\to-\infty}(-x^3+x+9)=+\infty[/math]

Derivata seconda

Cerchiamo eventuali punti di flesso calcolando la derivata seconda, e ponendola uguale a 0:

[math]f_1''(x)=-6x\,\rightarrow-6x=0\,\rightarrow\,x=0[/math]

Quindi troviamo un punto di flesso
[math]F=(0,f_1(0))=(0,9)[/math]

Grafico approssimativo

_____________________________________________

Punto 3


I vertici del triangolo richiesto sono:
    L'intersezione tra la retta
    [math]r_1[/math]
    e l'asse delle
    [math]x[/math]
    :
    [math]A(-9,0)[/math]

    L'intersezione tra la retta
    [math]s_1[/math]
    e l'asse delle
    [math]x[/math]
    :
    [math]B(\frac{11}{2},0)[/math]

    L'intersezione tra le rette
    [math]r_1[/math]
    e
    [math]s_1[/math]
    , cioè
    [math]M_1(\frac{2}{3},\frac{29}{3})[/math]


Ricordiamo che la probabilità di scegliere un punto
[math]P[/math]
a caso in una sezione di una data regione di piano è il rapporto tra l'area della sezione e l'area della regione totale.
Calcoliamo l'area del triangolo:
[math]A_{\text{tot}}=\frac{(\frac{11}{2}-(-9))\cdot\frac{29}{3}}{2}=70.08[/math]

Invece l'area della sezione voluta può essere ottenuta come differenza tra la regione totale, e:
    Area del triangolo
    [math]AOP[/math]
    :
    [math]\frac{9\cdot9}{2}=40.5[/math]

    Area sottesa dal grafico della funzione
    [math]f_1(x)[/math]
    nell'intervallo
    [math][0,c][/math]
    , dove
    [math]c[/math]
    è definito da
    [math]f_1(c)=0[/math]


Per trovare il punto
[math]c\in(1,\frac{11}{2})[/math]
ci sono due alternative:
    - Utilizzando la calcolatrice grafica, si trova
    [math]c\approx 2.24[/math]

    - Sfruttando il metodo di bisezione, si parte con
    [math]f(1)>0[/math]
    e
    [math]f(\frac{11}{2})<0[/math]
    . Dunque:
    [math]x \rightarrow \text{segno di} f(x)[/math]

    [math]11/4 \rightarrow - [/math]

    [math]11/8 \rightarrow + [/math]

    [math]33/16 \rightarrow + [/math]

    [math]77/32 \rightarrow - [/math]

    Fermando l'iterazione a questo valore di
    [math]x[/math]
    , otteniamo
    [math]c\approx\frac{77}{32}\approx2.41[/math]

Per il calcolo dell'area, si procede con l'integrale definito nell'opportuno intervallo.

[math]
I=\int_0^c(-x^3+x+9)\,dx=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}+9x\right]_0^c
[/math]

    Nel caso di
    [math]c\approx2.24[/math]
    abbiamo
    [math]I\approx16.37[/math]

    Nel caso di
    [math]c\approx2.41[/math]
    abbiamo
    [math]I\approx16.16[/math]

Quindi otteniamo la probabilità, nei due casi:
    [math]\mathbb{P}=\frac{70.08-40.5-16.37}{70.08}\approx0.19[/math]

    [math]\mathbb{P}=\frac{70.08-40.5-16.16}{70.08}\approx0.19[/math]


Punto 4


Consideriamo il fascio di rette passanti per l'origine, che ha equazione:
[math]y=mx\quad m\in\mathbb{R}[/math]

Un polinomio generico di grado
[math]n[/math]
è della forma:
[math]P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0[/math]

Formalmente, la sua derivata è:
[math]P_n'(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots+2a_2x+a_1[/math]

che, ovviamente, è un polinomio di grado
[math]n-1[/math]
.
Sia
[math]N=(x_N,y_N)[/math]
il punto d'intersezione tra il polinomio ed il fascio di rette. Poiché ci interessano le rette ortogonali alle rette tangenti del polinomio, imponiamo la condizione di ortogonalità tra i coefficienti angolari:
[math]m=-\frac{1}{P_n'(x_N)}[/math]

Osserviamo che, essendo
[math]N[/math]
un punto del polinomio, dev'essere
[math]y_N=P(x_N)[/math]
.
Se ora imponiamo il passaggio della retta generica
[math]y=-\frac{1}{P_n'(x_N)}x[/math]
otteniamo:
[math]
\begin{split}
&y_N=-\frac{1}{P_n'(x_N)}x_N \\
&P_n(x_N)=-\frac{x_N}{P_n'(x_N)} \\
&P_n(x_N)P_n'(x_N)=-x_N \\
&P_n(x_N)P_n'(x_N)+x_N=0 \\
\end{split}
[/math]

Si tratta di un'equazione polinomiale di grado
[math]n+(n-1)=2n-1[/math]
, che può quindi avere al più
[math]2n -1[/math]
soluzioni.

_____________________________
___________________________

Quesito 1

Indichiamo l'altezza e il raggio del cono con

[math]H[/math]
ed
[math]R[/math]
e l'altezza e il raggio del cilindro con
[math]h[/math]
ed
[math]r[/math]
. Il volume del cono è
[math]
\frac{\pi R^2 H}{3}
[/math]

e il volume del cilindro è
[math]
\pi r^2 h.
[/math]

Poniamo
[math]x=R-r[/math]
e perciò abbiamo
[math]r=R-x[/math]
. Da una similitudine tra triangoli rettangoli ricaviamo
[math]\frac{x}{h}=\frac{R}{H}[/math]
e quindi
[math]h=\frac{xH}{R}[/math]
. Il volume
[math]V(x)[/math]
del cilindro in funzione di
[math]x[/math]
è
[math]
V(x)=\frac{\pi(R-x)^2xH}{R}=\frac{\pi H (x^3-2Rx^2+R^2x)}{R}.
[/math]

Per dimostrare quanto richiesto, calcoliamo il massimo della funzione
[math]V(x)[/math]
al variare di
[math]x[/math]
nell'intervallo
[math][0,R][/math]
e osserviamo che questo massimo è minore della metà del volume del cono.
La derivata
[math]V'(x)[/math]
di
[math]V(x)[/math]
è
[math]
V'(x)=\frac{\pi H (3x-R)(x-R)}{R},
[/math]

che si annulla in
[math]x=\frac{R}{3}[/math]
e
[math]x=R[/math]
. Abbiamo quindi che il cilindro ha al massimo volume
[math]
f\left(\frac{R}{3}\right)=\frac{4}{9}\cdot\frac{\pi R^2 H}{3},
[/math]

che è uguale a
[math]\frac{4}{9}[/math]
del volume del cono. Poiché
[math]\frac{4}{9}[/math]
è minore di
[math]\frac{1}{2}[/math]
, il volume di un cilindro inscritto in un cono è minore della metà del volume del cono.


Quesito 2


La probabilità di ottenere ciascun valore si ricava dalla condizione assegnata:
[math]
\begin{split}
&p(1)=2p(2)=4p(3)=8p(4)\quad\text{per cui}\\
&p(1)=2p(2)\\
&p(2)=2p(3)\\
&p(3)=2p(4)\\
\end{split}
[/math]

e dal fatto che la somma delle probabilità deve dare 1. Quindi si ottiene:
[math]
\begin{split}
&p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1 \\
&\left(8+4+2+1)p(4)=15p(4)=1\right)\\
&p(4)=\frac{1}{15}
\end{split}
[/math]

La probabilità di ottenere due volte lo stesso valore è il prodotto della probabilità di singola uscita; ovviamente vanno sommate le probabilità relative a tutti i singoli valori possibili:
[math]
p^2(1)+p^2(2)+p^2(3)+p^2(4)=\frac{8^2+4^2+2^2+1^2}{15^2}=\frac{85}{15^2}=\frac{17}{45}
[/math]

______
___
______


Quesito 3


Chiamiamo
[math]f(x)=-4x+k[/math]
e
[math]g(x)=x^3-4x^2+5[/math]
. Affinché i grafici delle due funzioni siano tangenti in un punto
[math]T=(x_T,y_T)[/math]
, le due funzioni devono assumere lo stesso valore in
[math]x_T[/math]
e lo stesso deve valere per le loro due derivate, cioè
[math]
\begin{cases}
f(x_T)=g(x_T)\\
f'(x_T)=g'(x_T)
\end{cases}
[/math]

Dobbiamo quindi risolvere il sistema
[math]
\begin{cases}
-4x_T+k=x_T^3-4x_T^2+5\\
-4=3x_T^2-8x_T
\end{cases}
[/math]

La seconda equazione, che è un'equazione di secondo grado in
[math]x_T[/math]
, ha per soluzioni
[math]x_T=\frac{2}{3}[/math]
e
[math]x_T=2[/math]
. Sostituendo nella prima equazione otteniamo
[math]k=\frac{167}{27}[/math]
e
[math]k=5[/math]
, che sono i valori di
[math]k[/math]
richiesti.

Quesito 4


Per valutare il primo limite notiamo che le funzioni trigonometriche possono essere maggiorate o minorate a seconda dell'esigenza. Essendo il loro valore compreso tra
[math]-1[/math]
e
[math]1[/math]
, ed essendo la funzione strettamente positiva definitivamente, si può concludere che:
[math]
0<\lim_{x\to\infty}\frac{3x-e^{\sin(x)}}{5+e^{-x}+\cos(x)}\geq\lim_{x\to\infty}\frac{3x-e^{-1}}{5+e^{-x}-1}=\frac{\infty-\frac{1}{e}}{5+0-1}=\infty
[/math]

Dunque il primo limite è
[math]\infty[/math]

Per valutare il secondo limite è comodo dividere sia il numeratore sia il denominatore per

[math]e^{-x}[/math]
, ottenendo:
[math]
\lim_{x\to-\infty}\frac{3x-e^{\sin(x)}}{5+e^{-x}+\cos(x)}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\frac{3x-e^{\sin(x)}}{e^{-x}}}{\frac{5+e^{-x}+\cos(x)}{e^{-x}}}
[/math]

Il numeratore può essere trattato in maniera analoga al limite precendete:

[math]
\lim_{x\to-\infty}\frac{3x-e}{e^{-x}}<\lim_{x\to-\infty}\frac{3x-e^{\sin(x)}}{e^{-x}}<0
[/math]

e dato che il primo limite va a zero per la gerarchia degli infiniti, il numeratore tende a zero in virtù del teorema dei carabinieri.

Il denominatore può essere scomposto in tre rapporti:

[math]
\lim_{x\to-\infty}\left[\frac{5}{e^{-x}}+\frac{e^{-x}}{e^{-x}}+\frac{\cos(x)}{e^{-x}}\right]
[/math]

Il primo limite è nullo, il secondo è
[math]1[/math]
ed il terzo, per considerazioni precedenti, è nullo.
Infine, il limite del rapporto tra numeratore e denominatore tende a
[math]\frac{0}{1}[/math]
, cioè zero.

Quesito 5


Indichiamo con x il raggio in metri della semicirconferenza. Un lato del rettangolo è quindi lungo 2x. Indichiamo con y la lunghezza in metri dell'altro lato. Il perimetro e l'area della figura, che è l'unione di un rettangolo e un semicerchio, in funzione di x e y sono rispettivamente
[math]2x+2y+\pi x[/math]

e
[math]2xy+\frac{\pi x^2}{2}[/math]

Ricordando che il perimetro è 2 metri, dall'uguaglianza

[math]2x+2y+\pi x=2[/math]
ricaviamo y in funzione di x:
[math]y=\frac{2-(2+\pi)x}{2}[/math]

Usando quest'ultima relazione, esprimiamo in funzione di x l'area A(x) della figura

[math]
\begin{split}
&A(x)=2x\cdot \frac{2-(2+\pi)x}{2}+\frac{\pi x^2}{2} =\\
& \frac{-(4+\pi) x^2+4x}{2}
\end{split}
[/math]

La funzione A(x) è un polinomio di secondo grado in x e quindi il suo grafico è una parabola. Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è negativo, il massimo di A(x) viene assunto nell'unico punto in cui si annulla la sua derivata, che è
[math]A'(x)=2-(4+\pi)x[/math]

Si annulla in
[math]x=\dfrac{2}{4+\pi}[/math]
.
Le dimensioni dei lati del rettangolo sono quindi
[math]\frac{4}{4+\pi} \quad \text{e} \quad \frac{2}{4+\pi}[/math]

______________________

Quesito 6


Un vettore perpendicolare al piano è
[math](3,-1,-2)[/math]
e quindi l'equazione parametrica della retta perpendicolare al piano nel punto
[math]T[/math]
è
[math]
\begin{cases}
x=3s-4\\
y=-s\\
z=-2s+1
\end{cases} \quad s \in \mathbf{R}
[/math]

Il centro di
[math]S[/math]
è quindi il punto di intersezione tra questa retta e la retta
[math]r[/math]
. Risolvendo il sistema
[math]
\begin{cases}
3s-4=t\\
-s=t\\
-2s+1=t
\end{cases}
[/math]

otteniamo
[math]s=1[/math]
e
[math]t=-1[/math]
; perciò il centro di
[math]S[/math]
è
[math](-1,-1,-1)[/math]
. Il raggio di
[math]S[/math]
è la distanza tra il suo centro e
[math]T[/math]
, che è uguale a
[math]\sqrt{14}[/math]
. L'equazione di
[math]S[/math]
è quindi
[math]
(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=14
[/math]


Quesito 7


Calcoliamo l'integrale proposto in funzione di
[math]a[/math]
. Osserviamo che una primitiva di
[math]3x^2+3[/math]
è
[math]x^3+3x[/math]
. Otteniamo quindi
[math]
\begin{split}
&\int_a^{a+1} (3x^2+3) dx = [x^3+3x]_{a}^{a+1}=\\
&(a+1)^3+3(a+1)-(a^3+3a)=3a^2+3a+4.
\end{split}
[/math]

Affinché l'integrale sia uguale a
[math]10[/math]
, dobbiamo perciò avere
[math]
3a^2+3a+4=10.
[/math]

Quest'ultima equazione, di secondo grado in
[math]a[/math]
, ha come soluzioni
[math]a=-2[/math]
e
[math]a=1[/math]
, che sono quindi i valori di
[math]a[/math]
richiesti.


Quesito 8


Chiamiamo

[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
i due giocatori. In ogni partita ciascuno dei due giocatori ha probabilità
[math]\frac{1}{2}[/math]
di vincere. La probabilità che il gioco termini prima di
[math]10[/math]
partite è
[math]0[/math]
.
La probabilità
[math]p(10)[/math]
che il gioco termini dopo
[math]10[/math]
partite è uguale alla somma tra la probabilità che
[math]A[/math]
vinca tutte e
[math]10[/math]
le partite e la probabilità che le vinca tutte e
[math]10[/math]
il giocatore
[math]B[/math]
, cioè
[math]
p(10)=2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{2^9}.
[/math]

Il gioco termina dopo
[math]11[/math]
partite quando uno dei due giocatori vince
[math]10[/math]
partite su
[math]11[/math]
, ma non le prime
[math]10[/math]
. La probabilità
[math]p(11)[/math]
che il gioco termini dopo
[math]11[/math]
partite è quindi
[math]
p(11)=2\cdot \left(\binom{11}{10} - \binom{10}{10}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{11} = \frac{5}{2^9}.
[/math]

Il gioco termina dopo
[math]12[/math]
partite quando uno dei due giocatori vince
[math]10[/math]
partite su
[math]12[/math]
, senza averne vinte
[math]10[/math]
tra le prime
[math]11[/math]
. La probabilità
[math]p(12)[/math]
che il gioco termini dopo
[math]11[/math]
partite è quindi
[math]
p(12)=2\cdot \left(\binom{12}{10} - \binom{11}{10}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{12} = \frac{55}{2^{11}}.
[/math]

La probabilità richiesta è perciò
[math]
p(10)+p(11)+p(12)= \frac{1}{2^9} + \frac{5}{2^9} + \frac{55}{2^{11}} = \frac{79}{2^{11}}.
[/math]

Quesito 9


Per verificare che
[math]ABC[/math]
è un triangolo equilatero è sufficiente mostrare che i tre lati hanno la stessa lunghezza.
[math]
\overline{AB}=|B-A|=|(0,-2,2)|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}.
[/math]

Analogamente otteniamo
[math]\overline{BC}=\overline{AC}=2\sqrt{2}[/math]
. Poiché le coordinate di ciascuno dei tre punti dati soddisfano l'equazione del piano
[math]\alpha[/math]
, i tre punti appartengono ad
[math]\alpha[/math]
. Dato che per tre punti non allineati passa un unico piano, il triangolo
[math]ABC[/math]
è contenuto nel piano
[math]\alpha[/math]
. Il baricentro di
[math]ABC[/math]
è il punto
[math]
\frac{A+B+C}{3}=\left(\frac{7}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{4}{3}\right).
[/math]

Un vettore perpendicolare ad

[math]\alpha[/math]
è
[math](1,1,1)[/math]
e quindi la retta perpendicolare ad
[math]\alpha[/math]
passante per il baricentro di
[math]ABC[/math]
ha equazione parametrica
[math]
\begin{cases}
\frac{7}{3}+t\\
\frac{1}{3}+t\\
\frac{4}{3}+t
\end{cases}\quad t\in \mathbf{R}.
[/math]

Per stabilire quali sono i punti
[math]P[/math]
richiesti, è sufficiente intersecare la superficie sferica di centro
[math]A[/math]
e raggio
[math]2\sqrt{2}[/math]
con la retta precedente. Otteniamo che i punti
[math]P[/math]
richiesti sono
[math]
\left(\frac{11}{3},\ \frac{5}{3},\ \frac{8}{3}\right) \quad \text{e} \quad (1,-1,0),
[/math]

che sono uno il simmetrico dell'altro rispetto al baricentro di
[math]ABC[/math]
.

Quesito 10


Calcoliamo
[math]y'(x)[/math]
e
[math]y''(x)[/math]
. Otteniamo
[math]
y'(x)=2ke^{kx+2} \quad \text{e} \quad y''(x)=2k^2e^{kx+2}
[/math]

Sostituendo le due funzioni appena trovate nell'equazione differenziale
[math]y''-2y'-3y=0[/math]
, otteniamo
[math]
2k^2e^{kx+2}-2(2ke^{kx+2})-3(2e^{kx+2})=0
[/math]

cioè
[math]
(2k^2-4k-6)e^{kx+2}=0
[/math]

Il membro di sinistra dell'ultima equazione,
[math](2k^2-4k-6)e^{kx+2}[/math]
, è il prodotto di
[math](2k^2-4k-6)[/math]
e di
[math]e^{kx+2}[/math]
. Osserviamo che per ogni valore reale di
[math]x[/math]
il numero
[math]e^{kx+2}[/math]
è strettamente positivo.
Affinché
[math](2k^2-4k-6)e^{kx+2}[/math]
sia nullo per ogni valore reale di
[math]x[/math]
, dobbiamo quindi avere
[math](2k^2-4k-6)=0[/math]
. Quest'ultima equazione di secondo grado in
[math]k[/math]
ha per soluzioni
[math]k=-1[/math]
e
[math]k=3[/math]
, che sono quindi i valori di
[math]k[/math]
richiesti.

La help line prima prova maturità 2018

Skuola.net sarà al fianco di tutti gli studenti che dovranno affrontare la maturità per aiutarli a superarla al meglio. Quindi niente panico: ci impegneremo a fugare ogni vostro dubbio e ogni vostra domanda, cercheremo di rispondervi velocemente e di aggiornarvi in tempo reale su tutto ciò che succede in questa Maturità 2018.
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Il tradimento? Ecco come scoprirlo!

Assieme ai nostri psicosessuologi cercheremo di esplorare questo fenomeno così complesso e capire cosa spinge alcune persona a tradire. Non perdere la puntata!

14 novembre 2018 ore 16:30

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