Matematica PNI - Maturità 2013

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2013

Seconda prova scritta

Ministero dell’Istruzione, dell’ Università e della Ricerca

Y557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO SPERIMENTALE

Indirizzo: PIANO NAZIONALE INFORMATICA

Tema di: MATEMATICA

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1 [ [

+ ∞

0

,

Una funzione f (x ) è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prima e seconda, in

e di f (x ) e della sua derivata seconda f ' ' ( x ) . La tangente

e nella figura sono disegnati i grafici Γ Λ ( ) = =

0

; 0

a nel suo punto di flesso, di coordinate ( 2

; 4

) , passa per , mentre le rette y 8 e y 0 sono

Γ

asintoti orizzontali per e , rispettivamente.

Γ Λ

Si dimostri che la funzione f ' ( x ) , ovvero la derivata

1) prima di f (x ) , ha un massimo e se ne determinino le

x

coordinate. Sapendo che per ogni del dominio è:

≤ ≤

f ' ' ( x ) f ' ( x ) f ( x ) , qual è un possibile andamento

di f ' ( x ) ?

2) Si supponga che f (x ) costituisca, ovviamente in

opportune unità di misura, il modello di crescita di un

certo tipo di popolazione. Quali informazioni sulla sua

evoluzione si possono dedurre dai grafici in figura e in

particolare dal fatto che presenta un asintoto

Γ

orizzontale e un punto di flesso? a

= = = .

f ( x ) , si provi che

3) Se è il grafico della funzione a 8 e b 2

Γ −

+ b x

1 e x

4) Nell’ipotesi del punto 3), si calcoli l’area della regione di piano delimitata da e dall’asse

Λ

[ ]

0

, 2

sull’intervallo .

PROBLEMA 2 = 3

x

f f x x x

Sia la funzione definita per tutti gli positivi da ( ) ln .

f

1. Si studi e si tracci il suo grafico su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani

γ

Oxy

ortogonali e monometrici ; accertato che presenta sia un punto di flesso che un punto di

γ

minimo se ne calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le ascisse arrotondate alla terza cifra

decimale. x

2. Sia P il punto in cui interseca l’asse . Si trovi l’equazione della parabola, con asse parallelo

γ

y

all’asse , passante per l’origine e tangente a in P.

γ ] ]

x 0

, 1

3. Sia R la regione delimitata da e dall’asse sull’intervallo aperto a sinistra Si calcoli

γ .

2

mm avendo supposto l’unità

l’area di R, illustrando il ragionamento seguito, e la si esprima in

decimetro

di misura lineare pari a 1 . y

4. Si disegni la curva simmetrica di rispetto all’asse e se ne scriva altresì l’equazione.

γ = −

y

Similmente si faccia per la curva simmetrica di rispetto alla retta 1 .

γ