Matematica (PNI) - Soluzione Problema 1

1)I punti di flesso sono i punti in cui la derivata seconda di f si azzera. In relazione al grafico, dunque, saranno quei punti in cui f'(x) cambia monotonia (dove quindi la sua derivata si annulla), pertanto in

e

, avremo due flessi.

Infatti calcolando il rapporto incrementale destro e sinistro, avremo nei punti in cui la funzione derivata prima presenta massimo e minimo:

Per x 4 il numeratore sarà sempre positivo, mentre il denominatore cambia segno, per cui il rapporto incrementale cambia segno e pertanto cambia la concavità analogamente si dimostra tramite il rapporto incrementale

si conclude che x = 2 è un altro punto di flesso.

2)Il minimo assoluto di f si ha dove la derivata si azzera, valutando però dove prima decresce (f'0), pertanto il minimo assoluto si avrà per x = 5

ma

per ipotesi, quindi:

, pertanto (0,9) è il punto di massimo assoluto avendo calcolato grazie all'integrale che f(0) > f(6);
il punto (6,4) è punto di massimo relativo.

3)Dominio:

Intersezioni con gli assi:

Punti: A (0,9) B (3,6) C(5,3)

Crescenza:

Decrescenza

x = 5 MINIMO

A (6,4) MASSIMO

4)La tangente A f(x) in x=3 (e quindi y=6), essendo dal grafico f(3) = -1, avremo:

La retta tangente:

da cui

ed essendo:

sarà

e dunque:

E dunque la retta tangente:

L'angolo che l'intersezione tra le due rette genera sarà: