Matematica PNI - Soluzione problema 2

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

4 4 4 2 1

⎟ ⎟

⎜ ⎜

2 2 2

La curva può essere scritta anche come: , da cui:

x x y x y

0 3

3 1

− + − + − = ⇒ − − =

⎟ ⎟

⎜ ⎜

⎟ ⎟

⎜ ⎜

⎝ 3 9 ⎠ 3 ⎝ 3 ⎠ 3

2

⎛ ⎞

2 ⎟

⎜ x − ⎟

⎜ ⎟

2 2

⎛ ⎞ y

2 3

⎝ ⎠

⎟

⎜ 2 e quindi è facile riconoscere che tale curva è l’iperbole traslata,

x y 1

9 3 1

− − = ⇒ − =

⎟

⎟

⎜ 1 1

3

⎝ ⎠ 9 3 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 1

G x y

⎟ ⎟

⎜ ⎜⎜⎜ y x

3

v , 0 ; 0 = ±

rispetto al vettore , dell’iperbole che ha vertici in e asintoti .

±

1

− =

⎟ ⎟⎟

⎜ ⎟

⎜ 3 3

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1

9 3

L’iperbole traslata ha quindi i seguenti elementi caratteristici:

⎛ ⎞

2 ⎟

⎜ ; 0

centro di simmetria:

ƒ ⎟

⎜ ⎟

⎜ 3

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

2 ⎟

⎜

y x

3

asintoti: y

= ± −

ƒ ⎟

⎜ ⎟

⎜ 3

⎝ ⎠

⎛ ⎞⎟

1

⎜ ( )

; 0

vertici: e 1; 0

ƒ ⎟

⎜ ⎟

⎜⎝ 3 ⎠ Il grafico è riportato in figura e, per le

y limitazioni, consideriamo solo il ramo

2 1

x .

di sinistra ≤ 3

N.B. Il grafico poteva essere

rappresentato studiando la curva

1 2 ottenuta

y x x

3 4 1

= ± − +

dall’unione di due funzioni simmetriche

rispetto all’asse delle ascisse.

x

1

-1 1/3 2

0 2/3 3. BC

Poiché le altezze relative ai lati e

AC sono, rispettivamente,

ˆ e

BT AB A

sen 1 sin 2 sin 2

α

= = ⋅ α =

-1 ˆ la

AK AB B

sen 1 sin sin α

= = ⋅ α =

funzione da rendere massima è:

2 2

f BT A

K

( ) e quindi,

α = +

-2 2 2

f ( ) sen 2 sen

α = α + α ,

π

0 ≤ α ≤

con .

3

Poiché: ⎛ ⎞

a

1 cos 2 1

− ⎟ ( )

⎜

2 2 2 2

f y

( ) sen 2 sen 1 cos 2 2 cos 2 cos 2 3

α = = α + α = − α + = − α − α +

⎟

⎜ ⎟

⎜

⎝ ⎠

2 2

dove si sono applicate rispettivamente la relazione fondamentale della trigonometria e la formula di

bisezione, posto la somma considerata è massima in corrispondenza del vertice della

t cos 2

= α

1 1

( )

2

y t t t

3 cos 2

= − − + = α = −

, cioè per

parabola di equazione ⇒

2 4

.

2 104 28 ' 40 " 52 14 ' 20 "

α ° ⇒ α °

ˆ ˆ

ˆ ˆ

4. Se ed il

B ABC A C

36 72 72

= = ° ⇒ = ° ⇒ = °

AB BC 1

ABC = =

triangolo è isoscele; pertanto e il

AC ABC

lato triangolo si può considerare come il lato

di un decagono regolare inscritto in una circonferenza

r=1.

di raggio l di un decagono regolare

Ricordando che il lato 10