2002 - Liceo scientifico di ordinamento - problema 2 sessione straordinaria

Ecco il grafico: ( )

− + − +

3 2 2

x x x x x x

6 12 6 12

= =

y

Iniziamo a studiare la funzione 3 3

Dominio : R ( )

− + − +

3 2 2

x x x x x

6 12 6 12

= = = → =

Intersezione asse ascisse y x

: 0 0

3 3

= → =

Intersezione asse ordinate x y

: 0 0

Positività:

( )

− +

2

x x x

6 12

= > ⇔ >

y x

0 0

3

Asintoti verticali : non ce ne sono visto che il dominio è l’intero asse reale

= +∞ = −∞

Asintoti orizzontali f x f x

: non ce ne sono , infatti lim ( ) , lim ( )

→ +∞ → −∞

x x

f x

( ) = +∞

Asintoti obliqui : non ce ne sono, infatti lim

→ ±∞ x

x

Crescenza e decrescenza :

( ) { }

= − + = − > ∀ ∈ −

2

I 2

y ( x ) x 4 x 4 x 2 0 x R 2

= − = → =

II

y ( x ) 2 x 4 0 x 2  

8

 

Per cui la funzione è sempre crescente e presenta in un flesso.

2

,

 

3

Ecco il grafico:

Calcoliamo le intersezioni tra le due curve; va risolta l’equazione:

− + − + ( )

3 2 3 2 ( )

x x x x x

2 6 6 12

= → − + = − + = − = → = =

2

3 2 2

x x x x x x x x x x

3 12 12 3 4 4 3 2 0 0

, 2

3 3  

8

= =  

I punti in comune sono O ( 0

, 0 ), A 2

,

 

3 4

=

La retta che congiunge questi due punti è la retta y x .

3

Consideriamo allora il grafico seguente in cui sono rappresentate sullo stesso sistema le due curve,

la retta che congiunge i loro punti di intersezione e la retta parallela all’asse delle ordinate di

=

equazione :

x k

I punti R ed S avranno coordinate: − +

 

3 2

2 6

k k

=  

,

S k

 

3

 

− +

 

3 2

6 12

k k k

=  

,

R k

 

3

 

=

La retta di equazione deve trovarsi tra le ascisse dei punti O ed A, per cui la limitazione

x k

≤ ≤

geometrica è 0 k 2 .

La distanza RS è: − + − +

 

3 2 3 2 ( )

k 6 k 12 k 2 k 6 k

= = − = − + = − ≤ ≤

  2

3 2

RS f ( k ) k 4 k 4 k k 2 k , 0 k 2

 

 

3 3

≥

Poiché deve essere k 0 per la limitazione geometrica, allora

( ) ( )

= = − + = − = − ≤ ≤

2 2

3 2

RS f ( k ) k 4 k 4 k k 2 k k k 2 , 0 k 2

Calcoliamo le derivate: ( )( ) 2

= − + = − − > → < > ≤ ≤

I 2

f ( k ) 3

k 8 k 4 3

k 2 k 2 0 k , k 2 che con la limitazione 0 k 2 implica:

3

2

> → ≤ <

I

f ( k ) 0 0 k .

3

Inoltre = −

II

f ( k ) 6 k 8

 

2 = − <

II  

f 4 0

 

3 2 32

= =

Per cui il valore che massimizza la distanza RS è k da cui la distanza massima è RS MAX

3 27

ed i punti diventano  

2 152

=  

R ,

 

3 81

 

2 56

=  

,

S  

3 81

Prendiamo ora due punti generici appartenenti alle due curve e di uguale ascissa: le coordinate

generiche sono: − +

 

3 2

2 k 6 k

=  

P k ,

 

3

 

− +

 

3 2

k 6 k 12 k

=  

Q k ,

 

3

 

− +

3 2

2 x 6 x

=

La tangente alla curva di equazione y e passante per P è:

3

− +

 

3 2 ( )

2 k 6 k

− = −

 

y m x k

 

3

 

[ ] ( )

= = − + = − +

I 2 2

m y ( k ) 2 x 4 x 2 k 4 k

=

x k

Per cui la tangente ha equazione: − +

( )  

3 2

( ) 2 k 6 k

= − + − +  

2

y 2 k 4 k x k  

3

 

− +

3 2

x 6 x 12 x

=

Analogamente la tangente alla curva di equazione y e passante per Q è:

3

− +

 

3 2 ( )

k 6 k 12 k

− = −

 

y m x k

 

3

 

[ ] ( )

( )

= = − = −

2 2

I

m y ( k ) x 2 k 2

=

x k