2000 - liceo scientifico sperimentale, sessione ordinaria

Sessione ordinaria Sperimentazioni Autonome 2000 Soluzioni a cura di Nicola De Rosa

PROBLEMA1

Punto 1

Il candidato dopo aver dato una giustificazione della formula d’integrazione per parti:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫

= −

f x g x dx f x g x f x g x dx

' ' 1

dica cosa c’è di sbagliato nel ragionamento seguente:

sia da calcolare 1

∫ dx

x

( ) ( )

1

= =

f x

applicando la (1) con e , otteniamo:

g ' x 1

x ⎛ ⎞

1 1 1 1 1

∫ ∫ ∫ ∫

⋅ = +

= ⋅ ⋅ = ⋅ − −

⎜⎝ ⎟

dx dx x xdx dx

1 1

⎠

2

x x x x

x

1

∫ =

dx da ambo i membri, segue: .

da cui, eliminando 0 1

x

Il metodo di integrazione per parti deriva direttamente dalla formula di derivazione del prodotto:

( )

⋅ = ⋅ + ⋅

f g ' f ' g f g '

Integrando ambo i membri si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅

f g ' dx f ' g dx f g ' dx f g f ' g dx f g ' dx f g ' dx f g f ' g dx

1

∫ dx di cui sopra, c’è un errore di fondo in quanto si omette la

Nel ragionamento relativo a x ( ) ( )

proprietà delle primitive di una stessa funzione di differire per una costante. Infatti siano f x , g x

1

∫ dx che differiscono per una costante e posto

due primitive di x

( ) ( )

1 1

∫ ∫

= = + = = + ≠

f x dx ln x h

, g x dx ln x k con h k , seguendo il ragionamento fatto sopra si

x x

ha ⎛ ⎞

1 1 1 1 1

∫ ∫ ∫ ∫

= ⋅ ⋅ = ⋅ − − ⋅ = + ⇒

⎜⎝ ⎟

dx 1 dx x xdx 1 dx

⎠

2

x x x x

x

+ +

ln x h ln x k

⇒ + = + + ⇒ − =

ln x h 1 ln x k h k 1

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cioè le costanti per le quali differiscono le primitive, differiscono tra di loro di una unità, cosa ben

= =

0 1 0 1

. In altri modi l’equazione impossibile la si ottiene

diversa dall’equazione impossibile

partendo dal presupposto che la primitiva di una funzione sia unica e quindi negando che esistono

infinite primitive che differiscono per una costante.

Punto 2

Successivamente applichi la (1) per calcolare l’integrale definito:

( )

1

∫ + +

x 2

e x x 1 dx

0 ( ) ( ) ( )

∫ + + = = + +

x 2 x 2

e x x 1 dx scegliendo g ' x e , f x x x 1 .

Calcoliamo prima l’integrale indefinito

Si ha:

( ) ( ) Riapplican

do l'

integrazio

ne per parti

( ) ( )

∫ ∫ +

+ + = + + − + ⎯

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯

⎯

→

x

∫

a 2 x 1 e dx

2 2

x x x

e x x 1 dx e x x 1 2 x 1 e dx

( ) ( ) ( )

∫ ∫

+ + = + + − + + =

x 2 x 2 x x

e x x 1 dx e x x 1 2 x 1 e 2 e dx

( ) ( )

( )

= + + − + + + = − + +

x 2 x x x 2

e x x 1 2 x 1 e 2 e k e x x 2 k

[ ]

( ) ( )

1 ( )

∫ 1

+ + = − + = −

2 2

x x

Quindi .

e x x 1 dx e x x 2 2 e 2

0

0

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PROBLEMA2

Il candidato affronti le seguenti questioni:

Punto 1

fra tutti i cilindri iscritti in un cono circolare retto ha volume massimo quello la cui altezza è

la terza parte dell’altezza del cono.

Si consideri la figura sottostante raffigurante in sezione il cono circoscritto al cilindro.

C

G K F

A B

D H E = < <

Siano r ed h il raggio di base e l’altezza del cono rispettivamente. Poniamo con .

KH x 0 x h

xr

= = =

I triangoli CHB e FEB sono simili per cui e cioè da cui

CH : HB FE : EB h : r x : EB EB h

⎛ ⎞

x

xr

= − = − = −

⎜ ⎟

R HB EB r r 1

da cui il raggio di base del cilindro è . Il volume del cilindro è

⎝ ⎠

h h

)

( 2

⎞

⎛

( ) x

2

π π

= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⎟

⎜

2 1 . La massimizzazione del volume la effettuiamo tramite

V x HE KH r x

Cilindro ⎠

⎝ h

derivazione. La derivata prima del volume è:

⎡ ⎤ π

⎡ ⎤

2 ⎞

⎛

⎞

⎛ 2 2

( ) ( )( )

x x x x x r

2 3 4

π π

= − + = − −

− −

= − ⎟

⎜

⎟

⎜

⎢ ⎥

' 2 2 ⎢ ⎥

V x r r x h x h per cui

1 1 1 3

Cilindro ⎠

⎝

⎠

⎝ 2 2

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

h h h h

h h

⎣ ⎦

π ⎞

⎛

2

( ) ( )( ) ( )

r h h

= − − > ⇒ < < ⇒ ⎟

⎜

' 3 0 0 strettamen

te crescente in 0

,

V x x h x h x V x

Cilindro Cilindro ⎠

⎝

2 3 3

h

π ⎞

⎛

2

( ) ( )( ) ( )

r h h

= − − < ⇒ < < ⇒ ⎟

⎜

' 3 0 strettamen

te decrescent

e in ,

V x x h x h x h V x h

Cilindro Cilindro ⎠

⎝

2 3 3

h

π 2

( ) ( )( )

r h

= − − = ⇒ = ∨ =

' 3 0

V x x h x h x h x

Cilindro 2 3

h π π

⎛ ⎞

2 2

( ) ( )

2 h 2 r

r

= − ⇒ = − <

⎜ ⎟

' ' ' '

Inoltre per cui il volume del cilindro è

3 2

x h V 0

V x

Cilindro Cilindro ⎝ ⎠

2 3 h

h π

2

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛ 2

1 4

h h r h

h π =

⋅ −

=

= ⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜ 2 1

e vale

massimo per V r .

x Cilindro ⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝ 3 3 3 27

3

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Punto 2

dopo averlo esposto applicare il teorema di de L’Hôpital per dimostrare che, per n finito,

n

x =

∈ lim 0

, si ha : ;

n N x

→ +∞ 2

x

Enunciamo la regola di de L’ Hôpital:

( ) ( ) + ∞

e definite in un intorno di , sono derivabili in tale intorno, con

Se due funzioni f x g x

( ) ∞

→ +∞

≠ ; se le due funzioni, per x tendono entrambe a 0 o a e se esiste il limite del

g ' x 0 ( )

f ' x , allora esiste anche il limite del rapporto delle

rapporto delle derivate delle funzioni date, ( )

g ' x

( ) ( ) ( )

f x f x f ' x

=

e vale lim lim .

funzioni ( ) ( ) ( )

→ +∞ → +∞

g x g x g ' x

x x

Nel caso in esame è possibile applicare tale teorema e, dopo averlo applicato n volte si ha

( )

− −

⋅ − ⋅

⋅ 1 2

n n n

1 !

x n x n n x n

= = = =

= "

lim lim lim lim 0

( )

( )

⋅ ⋅ ⋅

2

x x n

→ +∞ → +∞ → +∞ → +∞

x x

2 ln 2 2

x x x x

ln 2 2 ln 2 2

[ ] [ ] ( )

= ≥ = ⋅

n

n n n x x .

D x n

! se n 1

, e D 2 ln 2 2

Si osservi anche che n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎟

⎜

n

x x x

=

In alternativa, poiché si ha:

lim lim , calcolando il limite lim ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

x

x x → +∞

→ +∞ → +∞

2 x

x x ⎝ ⎠

⎝ ⎠

n n

2

2

⎛ ⎞ De

⎜ ⎟ '

L Hopital 1

x = =

lim lim 0 .

⎜ ⎟

⎜ ⎟

x x

→ +∞ → +∞

x x ln 2

⋅

⎝ ⎠

n n

2 2 n

Punto 3

Esporre una strategia numerica per il calcolo approssimato di log2.

ln 2

Una procedura per calcolare il valore si basa sull’integrazione numerica attraverso il metodo

[ ]

2 2

1 1

∫ ∫ = =

2

, infatti si ha ln ln 2 .

dx dx x

dei rettangoli, dei trapezi o di Cavalieri Simpson di 1

x x

1 1 ( )

1 1

=

. Ponendo , si

Scegliamo di suddividere l’intervallo [1,2] in 4 intervallini di ampiezza g x

4 x

ha:

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• :

Metodo dei rettangoli

−

⎛ ⎞

2 [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

1 b a

∫ ≅ ⋅ + + + =

⎜⎝ ⎟⎠

dx g x g x g x g x

0 1 2 3

x n

1 ⎡ ⎤

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

( ) 5 3 7

b a

= ⋅ + + + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥

1

g g g g

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

4 2 4

n

⎡ ⎤

4 2 4 319

1

= ⋅ + + + = ≅

1 0 . 7595

⎢⎣ ⎥⎦

4 5 3 7 420 ( )

− 2 [ ]

( )

b a

≤ ⋅ =

con un errore commesso con max in 1 2 . In questo caso

e M M g' x ,

2 n

( ) ( )

1 1 1

= − = = = =

max max

ed in [1;2] il massimo è raggiunto per e

g' x M g' x x 1

2 2 2

x x x

( )

− 2

b a 1

= ≤ ⋅ = =

vale 1

M per cui l’errore è e 1 0

.

125 .

2 n 8

• Metodo dei trapezi: ( ) ( )

+

− ⎡ ⎤

⎛ ⎞

2 g x g x ( ) ( ) ( )

1 b a

∫ ≅ ⋅ + + + =

⎜⎝ ⎟⎠ 0 4

dx g x g x g x

⎢⎣ ⎥

1 2 3 ⎦

2

x n

1 ( ) ( )

⎡ ⎤

− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 2 5 3 7

b a g g

= ⋅ + + + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥

g g g

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

2 4 2 4

n

⎡ ⎤

1

+

1

⎢ ⎥

1 4 2 4 1171

2

= ⋅ + + + = ≅

⎢ ⎥ 0

.

6970

4 2 5 3 7 1680

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ( )

− 3 [ ]

( )

b a

≤ ⋅ =

con un errore commesso e M con M max g '

' x in 1

,

2 . In questo caso

2

12 n

( ) ( )

2 2

= = = =

g '

' x ed in [1;2] il massimo M max g '

' x max è raggiunto per e vale

x 1

3 3

x x

( )

− 3

b a 1 1

= ≤ ⋅ = ⋅ = ≅

2 .

M per cui l’errore è e M 2 0

.

010

2 192 96

12 n

• Metodo di Cavalieri Simpson:

( ) ( )

⎧ ⎫

+

− ⎡ ⎤

⎛ ⎞

2 [ ]

g x g x ( ) ( ) ( )

1 b a 4 2

∫ ≅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⎜⎝ ⎟ ⎨ ⎬

0 4

dx g x g x g x

⎢ ⎥ 1 3 2

⎠ ⎣ ⎦

⎩ ⎭

x n 3 3 3

1 ( ) ( )

⎧ ⎫

⎡ ⎤

− +

⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

b a g 1 g 2 4 5 7 2 3

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎨ ⎬

⎢ ⎥

g g g

⎥

⎢

⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

⎩ ⎭

n 3 3 4 4 3 2

⎡ ⎤

1

+

1

⎢ ⎥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 4 4 4 2 2 1747

2

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ≅

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥ 0 . 6932

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 3 3 5 7 3 3 2520

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

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( )

− 5 [ ]

( )

b a

≤ ⋅ = IV . In questo caso

con un errore commesso e M con M max g x in 1

,

2

4

180 n ( )

( ) 24 24

= = = =

IV IV

g x M max g x max e vale

ed in [1;2] il massimo è raggiunto per x 1

5 5

x x

( )

− 5 1 1

b a −

= ≤ ⋅ = ⋅ = ≅ ⋅ 4

M 24 24

per cui l’errore è e M 5

.

2 10 .

4 46080 1920

180 n

Nota che il metodo che, a parità di passi, consente di calcolare un valore di più vicino a quello

reale, pari a 0.69325, è il metodo di Cavalieri Simpson.

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PROBLEMA3

Nel piano riferito a coordinate cartesiane ortogonali monometriche (x, y) si consideri la curva

g di equazione: 5

= + −

2

y a x b x

sin sin 2

Punto 1 π

⎛ ⎞

⎜ ⎟

,

0

Si determinino i coefficienti a e b affinché g abbia un flesso nel punto ;

⎝ ⎠

6

π 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 5

5

= + − ⋅ + ⋅ − = ⇒ + − =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 ,

0

La curva y a x b x passa per se a b 0 a 2

b 10 0 .

sin sin ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 2 2 2

2 ( )

5 = −

= + −

2 y a x b x

' ' 2 cos 2 sin

Inoltre la derivata seconda di y a x b x è per cui essa

sin sin 2

presenta un flesso in

π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b

= − = ⇒ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

,

0 se y ' ' a 0 b 2 a . Mettendo a sistema le due condizioni

⎝ ⎠ ⎠

⎝

6 6 2

=

+ − = ⎧

⎧ a 2

b 10 0 a 2 ( )( )

5 1

= + − = + −

⇒ 2

⎨

⎨ 2 sin 4 sin

y x x 5 2 sin x 2 sin x 1 .

e la curva diventa

=

= ⎩

⎩

b 2 a b 4 2 2

Punto 2 [ ]

π

si disegni il grafico della curva, per i valori di a e di b così trovati, nell’intervallo ;

0

, 2 [ ]

( ) ( )( )

5 1 π

= + − = + −

2

2 sin 4 sin

Studiamo la funzione y x x x 5 2 sin x 2 sin x 1 nell’intervallo 0

, 2

2 2

[ ]

π

0

, 2

Dominio: ; π π

1 5

= ⇒ = ∨ = ;

Intersezione asse delle ascisse: x x x

sin 2 6 6

5

= → = −

x 0 y ;

Intersezioni asse delle ordinate: 2

Eventuali simmetrie: non è una funzione nè pari nè dispari, ma è una funzione periodica

π

=

T 2 ;

di periodo π π

( ) ( )( )

1 1 5

= + − > ⇒ > ⇒ < < ;

Positività: y x x x x x

5 2 sin 2 sin 1 0 sin

2 2 6 6

( ) ( ) 5

π

= = −

0 2

Comportamento agli estremi: y y ;

2

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Asintoti verticali: non vi sono asintoti verticali;

Asintoti orizzontali: non vi sono asintoti orizzontali in quanto la funzione è periodica;

Asintoti obliqui: non vi sono asintoti obliqui in quanto la funzione è periodica ;

( ) ( )

= +

Crescenza e decrescenza: la derivata prima è per cui

y x x x

' 4 cos 1 sin

π π

⎡ ⎤ ⎤ ⎤

( ) ( ) 3 π

= + > ⇒ ∈ ∪

y ' x 4 cos x 1 sin x 0 x 0

, , 2 cioè la funzione è strettamente

⎢ ⎥ ⎥ ⎥

⎣ ⎦ ⎦ ⎦

2 2

π π

⎡ ⎤ ⎤ ⎤

3 π

∪

crescente in 0

, , 2 e strettamente decrescente altrove;

⎢ ⎥ ⎥ ⎥

⎣ ⎦ ⎦ ⎦

2 2

Concavità e convessità: la derivata seconda è

π π π π

⎡ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎤

( ) ( )( ) 5 3 3 π

= + − ∈ ∪ ∪

y ' ' x 4 sin x 1 1 2 sin x ed è positiva per x 0

, , , 2 ;

⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥

⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦

6 6 2 2

π π

π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

5

5

= ⇒ = ∨ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

,

0 , ,

0

inoltre y x x per cui in la funzione presenta due

' ' 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6 6

6 6 π π π

⎛ ⎞

⎞ ⎛ ⎞

⎛ 3 7

= − < = ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

flessi a tangente obliqua. Tra l’altro y ' ' 8 0

, y ' ' 0 per cui è un

,

⎝ ⎠

⎠

⎝ ⎠ ⎝

2 2 2 2

π

⎛ ⎞

3 9

−

⎜ ⎟

,

massimo relativo ed assoluto mentre per constatare la natura del punto ⎝ ⎠

2 2

dobbiamo calcolare le derivate successive. In particolare la derivata terza e quarta sono:

π π

⎛ ⎞

⎛ ⎞

( ) ( ) ( ) ( )

3 3

= − + ⇒ = = − − ⇒ = >

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

IV IV

y ' ' ' x 4 cos x 4 sin x 1 y ' ' ' 0

, y x 4 4 cos 2 x sin x y 12 0

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

π

⎛ ⎞

3 9

−

⎜ ⎟

, è un minimo relativo ed assoluto. In conclusione la funzione ha

per cui ⎝ ⎠

2 2 π π

π π

⎡ ⎡ ⎤ ⎤

⎤ ⎡

5

5 π

∪ ,

concavità verso l’alto in 0