1993 - Liceo scientifico di ordinamento sessione ordinaria completa

Sessione ordinaria 1993 Liceo Scientifico di ordinamento De Rosa Nicola

≤

1) La funzione f(x) sia rappresentata per x 1 da y = -3x + Hx e per x > 1 da y = K/x .

2 2

Determinare le costanti H e K in modo che la funzione y = f(x) e la sua derivata siano continue

in x = 1. Rappresentare la funzione così trovata e calcolarne l'integrale definito tra 0 e +∞.

La funzione f(x) e la sua derivata sono rispettivamente: ≤

⎧ − x 1

2

Hx 3 x

⎪

( ) = ⎨

f x K

⎪ >

⎩ 2 x 1

x ≤

−

⎧ x 1

H x

6

⎪

( ) =

I ⎨

f x K

2

−

⎪⎩ >

x 1

x

Ora la continuità in x=1 impone che:

( ) ( )

− +

= ⇒ − = ⇔ − =

f 1 f 1 H 3 K H K 3

Mentre la continuità della derivata in x=1 impone:

( ) ( )

− +

= ⇒ − = − ⇔ + =

I I

f 1 f 1 H 6 2 K H 2 K 6

Va risolto allora il sistema seguente: − = =

⎧ ⎧

H K 3 H 4

⇒

⎨ ⎨

+ = =

⎩ ⎩

H 2 K 6 K 1

Da cui ≤

⎧ − x 1

2

4 x 3 x

⎪

( ) = ⎨

f x 1

⎪ >

⎩ 2 x 1

x ⎛ ⎞

2 4

=

≤ ⎜ ⎟

V , che interseca l’asse delle ascisse in

Ora per abbiamo una parabola con vertice in

x 1 ⎝ ⎠

3 3

⎛ ⎞

( ) 4

⎜ ⎟

e .

,

0

0

,

0 ⎝ ⎠

3 1

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>

x 1

Per abbiamo una funzione decrescente, che non interseca l’asse delle ascisse e che tende a

→ +∞

x

zero per

Rappresentiamo allora il grafico della funzione di interesse:

Calcoliamo ora l’integrale: +∞

+∞ +∞ [ ]

( ) ⎤

⎡

1

( ) 1 1

∫ ∫ ∫ 1 =

= = − + = − + −

2 2 3

4 3 2

I f x dx x x dx dx x x ⎥

⎢

0 ⎦

⎣

2 x

x 1

0 0 1

( )

− − − =

2 1 1 2 2

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γ

2) Dato un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O, tracciare la circonferenza di

θ

raggio unitario e centro O. Detto punto A il punto di coordinate (1, 0), indicare con l'angolo

formato da una generica semiretta uscente dall'origine con il semiasse positivo delle x e con P

^

γ θ θ

il punto in cui tale semiretta interseca ( = ). Determinare in funzione di l'ordinata y

POA =

PQ 2

del punto Q appartenente al semiasse positivo delle y tale che . Descrivere - limitandosi

θ γ

all'uso della derivata prima - la funzione y = f( ) trovata. Se P ruota sulla circonferenza con

velocità angolare costante, il moto di Q quali caratteristiche presenta? Negli istanti in cui Q ha

velocità nulla, P dove si trova?

La circonferenza richiesta ha come equazione + =

2 2

x y 1

Consideriamo ora la figura seguente: ( )

ϑ

= ha

La retta OP per come costruita e ricordando che il suo coefficiente angolare è m tg

( )

ϑ

=

equazione , per cui le coordinate del punto P si ricavano dal sistema seguente:

y xtg 3

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⎧ [ ]

+ =

2 2 2

x y 1 ( ) ( ) ( )

x

ϑ ϑ ϑ

⇒ + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ±

2 2 2 2 2

⎨ x x tg x tg x

1 1 1 1 cos

( )

( ) ϑ

ϑ

= 2

⎩ cos

y xtg ϑ

Ora poiché l’angolo è formato tra la semiretta OP e l’asse delle ascisse positive, allora la

( ) ( )

ϑ ϑ

= =

soluzione da accettare è , da cui si ricava per cui il punto P ha coordinate

x cos y sin

( ( ) ( )

)

ϑ ϑ

=

P cos , sin . Il punto Q invece per come costruito ha coordinate Q=(0,y).

( )

2

= ⇒ =

Ora la condizione PQ 2 PQ 4 e cioè

( ( )

) ( ) ( ) ( ) ( )

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

− + = ⇒ + − + = ⇒

2 2 2 2 2

y sin cos 4 y sin 2 y sin cos 4

( ) ( )

( ) ( ) ( )

ϑ ϑ ϑ ϑ

− + + − = ⇒ − − = ⇒

2 2 2 2

y 2 y sin sin cos 4 0 y 2 y sin 3 0

( ) ( )

ϑ ϑ

= ± +

2

y sin sin 3

( )

ϑ ≤

Ora ricordando che , allora

sin 1

( ) ( ) ( ) ( )

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

+ + > ∀ − + + < ∀

2 2

sin 3 sin 0 e sin 3 sin 0

E poiché per iposeti il punto Q ha ordinata positiva, allora la sua ordinata è

( ) ( )

ϑ ϑ

= + +

2

y sin sin 3

π , per le considerazioni fatte sopra è sempre positiva e non

Questa funzione è periodica di 2 ( )

0

, 3 .

interseca mai l’asse delle ascisse, interseca l’asse delle ordinate in

Vediamo la crescenza e la decrescenza: ⎛ ⎞

( ) ( ) ( )

ϑ ϑ ϑ

( ) ( ) ( )

⎜ ⎟

sin cos sin

ϑ ϑ ϑ

= + = +

I cos cos 1

y ⎜ ⎟

( ) ( )

ϑ ϑ

+ +

2 2

⎝ ⎠

sin 3 sin 3

( )

( ) ϑ ϑ

ϑ + > ∀

≤ 2

Anche in tal caso ricordando che e che sin 3 1 , allora

sin 1 ( )

ϑ

sin

< + <

0 1 2

( )

ϑ +

2

sin 3 4

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Cioè questo significa che ⎞

⎛ ( )

ϑ

( ) ( ) ( )

⎟

⎜ sin

ϑ ϑ ϑ

> ⇒ > ⇒

= +

I cos 1 0 cos 0

y ⎟

⎜ ( )

ϑ +

2 ⎠

⎝ sin 3

π

π ϑ π

< < + ∈

2 2 ,

k k k Z

2

π

3

π ϑ π π

+ < < + ∈

2 2 2 ,

k k k Z

2 π π

⎛ ⎛

⎞ ⎞

3

π π

+ +

⎜ ⎜

⎟ ⎟

2 ,

3 2 ,

1

e di minimi in

Per cui la funzione avrà una successione di massimi in k k

⎝ ⎝

⎠ ⎠

2 2

Il grafico è sotto rappresentato:

Se il punto P ruotasse a velocità angolare costante lungo la circonferenza allora Q si muoverebbe

con un moto periodico lungo l’asse y nell’intervallo [1,3].

Infatti i casi estremi sono relativi a quando P si trova sull’asse delle ordinate negative e cioè quando

π

3

ϑ = per cui Q assume valore pari a 1 sulle ordinate e nel caso

ha coordinate (0,-1) nel qual caso 2

π

ϑ =

in cui P=(0,1) in cui per cui Q assume valore pari a 3 sulle ordinate.

2

La velocità analiticamente non è altro che la derivata dello spazio in funzione del tempo, per cui la

( ) ( )

ϑ ϑ

= + +

2

velocità di Q non è altro che la derivata di sin sin 3 cioè

y 5

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( )

⎛ ⎞

ϑ

( ) ( ) ( )

⎜ ⎟

sin

ϑ ϑ ϑ

= = +

I

v y cos 1

⎜ ⎟

( )

Q ϑ +

2

⎝ ⎠

sin 3

Ora velocità nulla comporta ⎛ ⎞

( )

ϑ π

( ) ( ) ( ) ( )

⎜ ⎟

sin

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ π

= = + = ⇒ = ⇒ = + ∈

I cos 1 0 cos 0 ,

v y k k Z

⎜ ⎟

( )

Q ϑ + 2

2

⎝ ⎠

sin 3

Ed in tal caso il punto P come detto prima si trova sul semiasse positivo delle ordinate con ordinata

π π

3

ϑ π ϑ π

= + ∈ = + ∈

k k Z k k Z

2 , e su quello negativo con ordinata -1 se 2 , . Cioè in

pari a 1 se 2 2

questi casi P e Q si ritroverebbero allineati. 6

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