Verificare la seguente identità, eventualmente condizionandola, tenendo conto delle formule di addizione e sottrazione.
[math] \cos(\frac{\theta}{3} + \alpha) \sin(\frac{\theta}{6} - \alpha) - \sin(\frac{2\theta}{3} - \alpha) \sin(\frac{\theta}{3} + \alpha) = - \sqrt{3} \sin(\alpha) \cos(\alpha) - \frac{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}{2} [/math]
Svolgimento
Nello svolgimento, lavoriamo con l'espressione del primo membro, cercando di modificarla per renderla uguale a quella del secondo.Procediamo applicando le formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno, ricordando che:
[math] \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) [/math]
[math] \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta) [/math]
[math] \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) [/math]
[math] \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta) [/math]
Quindi abbiamo:
[math] \Big[\cos\Big(\frac{\pi}{3}\Big)\cos(\alpha) - \sin\Big(\frac{\pi}{3}\Big)\sin(\alpha) \Big] \Big[\sin\Big(\frac{\pi}{6}\Big)\cos(\alpha) - \cos\Big(\frac{\pi}{6}\Big)\sin(\alpha)\Big] - \Big[\sin(\frac{2\pi}{3}\Big)\cos(\alpha) - \cos\Big(\frac{2\pi}{3}\Big)\sin(\alpha)\Big] \Big[\sin\Big(\frac{\pi}{3}\Big)\cos(\alpha) + \cos\Big(\frac{\pi}{3}\Big)\sin(\alpha)\Big] [/math]
[math] \Big[\frac{1}{2} \cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha) \Big] \Big[\frac{1}{2}\cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha)\Big] - \Big[\frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha) + \frac{1}{2} \sin(\alpha)\Big] \Big[\frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha) + \frac{1}{2} \sin(\alpha)\Big] [/math]
Notiamo che al primo membro abbiamo due quadrati:
[math] \Big[\frac{1}{2} \cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha) \Big]^2 - \Big[\frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha) + \frac{1}{2} \sin(\alpha)\Big]^2 [/math]
Svolgiamo i quadrati:
[math] \Big(\frac{1}{2} \cos(\alpha)\Big)^2 + \Big(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha)\Big)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha)- \Big[\Big(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha)\Big)^2 + \Big(\frac{1}{2} \sin(\alpha)\Big)^2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha) \cdot \frac{1}{2} \sin(\alpha)\Big] = [/math]
[math] \frac{1}{4} \cos^2(\alpha) + \frac{3}{4} \sin^2(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha) \cos(\alpha) - \Big[ \frac{3}{4} \cos^2(\alpha) + \frac{1}{4} \sin^2(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha) \sin(\alpha)\Big] = [/math]
[math] \frac{1}{4} \cos^2(\alpha) + \frac{3}{4} \sin^2(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha) \cos(\alpha) - \frac{3}{4} \cos^2(\alpha) - \frac{1}{4} \sin^2(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha) \sin(\alpha) [/math]
Calcoliamo il minimo comune multiplo al primo membro:
[math] \frac{1}{4} \Big\{\cos^2(\alpha) + 3\sin^2(\alpha) - 2\sqrt{3} \sin(\alpha) \cos(\alpha) - [/math]
[math] 3 \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) - 2 \sqrt{3} \cos(\alpha) \sin(\alpha)\Big\} [/math]
Sommiamo:
[math] \frac{1}{4} \Big\{2 \sin^2(\alpha) - 2 \cos^2(\alpha) - 4 \sqrt{3} \cos(\alpha) \sin(\alpha)\Big\} [/math]
Sdoppiamo il primo membro, in modo da ricondurlo alla forma del secondo:
[math] \frac{1}{4} \Big\{2 \sin^2(\alpha) - 2 \cos^2(\alpha)) - \frac{1}{4} (4 \sqrt{3} \cos(\alpha) \sin(\alpha)\Big\} [/math]
Semplifichiamo:
[math] \frac{1}{2} \Big\{\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)\Big\} - \sqrt{3} \cos(\alpha) \sin(\alpha) [/math]
Cambiamo segno alla prima frazione:
[math] - \frac{1}{2} \Big\{- \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)\Big\} - \sqrt{3} \cos(\alpha) \sin(\alpha) [/math]
Tale espressione è equivalente a quella del secondo membro, quindi abbiamo ottenuto un'identità.
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