Esercizio sui luoghi geometrici

Nel piano, riferito ad un sistema d’assi cartesiani ortogonali, si consideri la circonferenza C di

gio unitario e con centro nell’origine O degli assi e sia P un suo punto;

rag- si tracci la tangente in

C indicando con A e B i punti in cui tale tangente incontra rispettivamente l’asse x e l’asse y.

P a in funzione dell’angolo

Si consi-deri il rettangolo OAQB e si esprimano le coordinate del punto Q

θ ; si trovi quindi l’equazione cartesiana del

che la retta OP forma con il semiasse positivo delle x

luogo de-scritto dal punto Q al variare del punto P sulla circonferenza C.

y

B Q

P

θ

O x

A

Per chi conosce la definizione della secante e della cosecante di un angolo, è facile riconoscere che

,

le coordinate di A e di B sono rispettivamente (secθ ; 0) , (0; cosecθ) da cui si ottiene:

) .

Altrimenti si può giungere allo stesso risultato osservando che: le coordinate di P sono (cosθ ; sinθ),

la retta OP ha coefficiente angolare tgθ , la retta AB, essendo perpendicolare in P ad OP per la

tangenza, ha coefficiente angolare .

= x –cosθ );

–sinθ

La retta AB ha quindi equazione y - cotgθ mettendo a sistema con y = 0 tale

equazione si ottiene come ascissa di A ; 0) .

, quindi ).

Analogamente, mettendo a sistema l’equazione della retta AB con x = 0, si ha

)

Le coordinate di Q sono pertanto e le equazioni parametriche del luogo descritto da

Q al variare di P sulla circonferenza C sono: 1