Trigonometria problemi: In una circonferenza di raggio r due corde consecutive AB e AC hanno lunghezza rispettivamente r/3 e 2/3 r . Calcolare l'area del triangolo ABC .

In una circonferenza di raggio

due corde consecutive

e

hanno lunghezza rispettivamente

e

. Calcolare l'area del triangolo

.

Svolgimento

Dal teorema della corda, secondo il quale, in una circonferenza, ogni corda è uguale al prodotto del diametro per il seno dell'angolo ad essa opposto, possiamo trovare il lato

:

Sapendo che

, sostituiamo questo valore all'uguaglianza precedente:

Semplifichiamo:

Ora applichiamo il teorema dei seni: in un triangolo qualunque il rapporto fra la misura di un lato ed il seno dell'angolo opposto è costante, quindi:

Ricaviamo ora

:

Sostituiamo i valori che abbiamo:

Ora, poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è

, sappiamo che:

Determiniamo ora il valore di

:

Applichiamo la formula di sottrazione del seno:

Quindi:

Applichiamo la formula di addizione del seno:

Precedentemente, avevamo trovato i valori di

e

; troviamo i valori del coseno mediante la relazione fondamentale:

sqrt(frac(35)(36)) = frac(sqrt(35))(6)

sin(hat{A})

sin(hat{A}) = sin(hat{B})cos(hat{C}) + cos(hat{B})sin(hat{C}) =

1/3 * frac(sqrt(35))(6) + frac(2sqrt2)(3) * 1/6 = frac(sqrt(35))(18) + frac(sqrt2)(9) = frac(sqrt(35) + 2sqrt2)(18)

moltiplichiamo i lati

e

per il seno dell'angolo fra essi compreso, dividendo poi per due:

frac(sqrt(35) + 2sqrt2)(162) r^2 [math][/math]