Dimostrare che le distanze di un punto della circonferenza circoscritta ad un triangolo equilatero dai vertici di questo sono tale che una di esse è uguale alla somma delle altre due.

Dimostrare che le distanze di un punto della circonferenza circoscritta ad un triangolo equilatero dai vertici di questo sono tale che una di esse è uguale alla somma delle altre due.

Dimostrare che:

Svolgimento

Essendo

un triangolo equilatero, sappiamo che:

Inoltre sappiamo che:

Perché angoli che insistono sulla stessa corda.

Chiamiamo questi angoli con

; possiamo quindi affermare che:

Possiamo ora sfruttare il teorema della corda, secondo il quale, in una circonferenza, ogni corda è uguale al prodotto del diametro per il seno dell'angolo ad essa opposto.

Per dimostrare l'uguaglianza richiesta dal problema, impostiamo che

: dovremmo ottenete un'identità:

Possiamo semplificare

:

Ora applichiamo le formule di addizione e di sottrazione del seno:

Sapendo che

:

Abbiamo quindi verificato che

.