Sia AC = r sqrt3 una corda di una semicirconferenza di diametro AB = 2r . Determinare sull'arco AC un punto P tale che risulti AP + PC = 2r

di _francesca.ricci

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Sia

[math]AC = r \sqrt3 [/math]

una corda di una semicirconferenza di diametro

[math]AB = 2r[/math]

. Determinare sull’arco

[math]AC[/math]

un punto

[math]P[/math]

tale che risulti

[math]AP + PC = 2r[/math]

Svolgimento

Per prima cosa, poniamo l’angolo

[math]\hat{PAC}[/math]

uguale a

[math]x[/math]

Dal teorema della corda, sappiamo che la corda

[math]PC[/math]

è uguale al prodotto del diametro per il seno del suo angolo opposto:

[math]PC = 2r \sin x[/math]

Consideriamo il triangolo

[math]\hat{ACB}[/math]

, rettangolo poiché inscritto in una semicirconferenza. Possiamo trovare il valore del coseno dell’angolo

[math]\hat{CAB}[/math]

sfruttando il primo teorema sui triangoli rettangoli:

[math]\cos(\hat{CAB}) = \frac{AC}{AB} = \frac{r\sqrt3}{2r} = \frac{\sqrt3}{2} [/math]

Essendo l’angolo in questione un angolo acuto, possiamo affermare che esso ha ampiezza

[math]30°[/math]

[math]\hat{CAB} = 30°[/math]

Di conseguenza, l’angolo

[math]\hat{PAB}[/math]

vale

[math]x + 30°[/math]

.
Considerando il triangolo

[math]\hat{PAB}[/math]

, anch’esso rettangolo, possiamo trovare la lunghezza del cateto

[math]AP[/math]

[math]AP = AB \cos(\hat{PAB}) = 2r \cdot \cos(x + 30°)[/math]

Applichiamo le formule di addizione del coseno:

[math]AP = 2r \cdot \cos(x + 30°) = 2r \cdot (\cos x \cos(30°) - \sin \sin(30°)) = [/math]

[math]2r \cdot (\cos x \cdot \frac{\sqrt3}{2} - \sin \cdot \frac{1}{2} = r \sqrt3 \cos x - r \sin x [/math]

Avendo un’espressione di

[math]AP[/math]

e di

[math]PC[/math]

in funzione di

[math]x[/math]

, possiamo impostare l’uguaglianza:

[math]AP + PC = 2r[/math]

[math] r \sqrt3 \cos x - r \sin x + 2r \sin x = 2r [/math]

[math] \sqrt3 \cos x + \sin x = 2 [/math]

Risolviamo con il metodo dell’angolo aggiunto:

[math] \tan(\frac{\pi}{3}) \cos x + \sin x = 2 [/math]

[math] \frac{\sin (\frac{\pi}{3}}{\cos(\frac{\pi}{3})} \cos x + \sin x = 2 [/math]

[math] \sin (\frac{\pi}{3}) \cos x + \cos(\frac{\pi}{3}) \sin x = 2\cos(\frac{\pi}{3}) [/math]

[math] \sin (\frac{\pi}{3}) \cos x + \cos(\frac{\pi}{3}) \sin x = 1 [/math]

Riconoscendo la formula di addizione del seno:

[math] \sin (\frac{\pi}{3} + x) = 1 [/math]

[math] \frac{\pi}{3} + x = \frac{\pi}{2} + k\pi [/math]

[math] x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k\pi = \frac{\pi}{6} + k\pi [/math]

Concludiamo che l’angolo

[math]x[/math]

deve essere uguale a

[math] \frac{\pi}{6}[/math]

Sia AC = r sqrt3 una corda di una semicirconferenza di diametro AB = 2r . Determinare sull'arco AC un punto P tale che risulti AP + PC = 2r

Problemi di trigonometria: determinare la posizione di un punto P; applicazione delle regole trigonometriche, metodo dell'angolo aggiunto

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