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Nelle pagine che seguono affronteremo la costruzione rigorosa dei numeri reali effettuata verso la fine del secolo scorso (1872) da Georg Cantor. La costruzione di Cantor fu la prima costruzione rigorosa dell'insieme dei numeri reali e fu contemporanea ad un'altra costruzione, altrettanto rigorosa, effettuata da R. Dedekind. La coincidenza temporale delle due costruzioni non é casuale: nacque infatti da una precisa esigenza di sistemazione rigorosa di tutta la matematica, cominciata già verso la seconda metà del secolo scorso. Con la nascita del calcolo infinitesimale e differenziale ad opera di Newton e Leibnitz, che facevano ricorso all'evidenza geometrica nell'introdurre i concetti di limite e di continuità, e con la successiva algebrizazione della geometria iniziatasi con Cartesio, la geometria venne detronizzata e quindi messa in secondo piano rispetto all'Algebra ed all'Analisi Matematica. Però mentre della geometria e dei suoi metodi si conosceva una costruzione rigorosa e assiomatica, non succedeva altrettanto per l'algebra e l'aritmetica; i numeri (naturali, interi, razionali, reali) furono introdotti senza troppi scrupoli rigoristici, solo in funzione strumentale del loro uso. Infatti i numeri irrazionali erano già stati introdotti nell'antichità greca come rapporto fra grandezze incommensurabili (ad esempio lato e diagonale di un quadrato) per via, quindi, puramente geometrica; per via algebrica, invece, furono introdotti dalla necessità di risolvere equazioni del tipo x2 - 2 = 0, né si aggiunse altro. Oggi sappiamo che tutti gli insiemi numerici si possono ricondurre agli insiemi dei numeri naturali con successive estensioni. Diceva Kroneker: "I numeri naturali li ha fatti il buon Dio, tutto il resto é opera dell'uomo", dove l'espressione "il buon Dio" sta a significare semplicemente che l'uomo ha rinunciato a dare una spiegazione dei numeri naturali, essendo questi legati alla semplice e "naturale" operazione del contare. Prima di introdurre i numeri reali secondo Cantor (a partire dai razionali), vedremo brevemente [2] come si possono introdurre i numeri interi ed i numeri razionali a partite dai numeri naturali; seguirà ancora un paragrafo sulle proprietà dell'insieme dei razionali strutturato con le operazioni '+' , '.' e con la relazione d'ordine .
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Raffaele Santoro: I numeri reali e la potenza del continuo Pagina 7
per la successione a), scegliendo = 1/7, tutti i termine della successione, dal termine a 8
in poi, sono compresi nell'intervallo ]-1/7,1/7[.
per la successione d), prendendo = 1/5, tutti i termine della successione, dal termine a 4
in poi, sono compresi nell'intervallo ]-1/5,1/5[.
Si dice allora che la successione, quando n tende all'infinito, tende a zero o anche che la
successione converge a zero. In termini più precisi: ,
Si dice che una successione (a ) tende a zero se, per ogni (+), tutti i termini
n
della successione, a partire da un certo termine di posto n , appartengono
0
[:
all'intervallo ]-,
n ]-, [.
(+), , n / n> n a
0 0 0 n
Quando la successione (a ) tende a zero, si scrive:
n
a 0, oppure .
lim a 0
n n
n
É facile verificare che la somma di due successioni che tendono a zero è una successione
che tende a zero:
a 0
n a b 0 .
n n
b 0
n
Analogamente, il prodotto di due successioni che tendono a zero è una successione che
tende a zero:
a 0
n a b 0 .
n n
b 0
n (a :
Infine, se la successione tende a zero, lo stesso accade per la successione ),
n
Raffaele Santoro: I numeri reali e la potenza del continuo Pagina 8
, (a
(a ) 0 ) 0.
n n
Però, non sempre le successioni convergenti tendono a zero, anzi accade piuttosto che
convergano verso un altro (razionale o no) a 0. Per stabilire se una successione razionale
converge verso un numero a, diamo la seguente definizione:
Una successione convergente (a )tende ad a se la successione (a - a ) tende a zero:
n n
a a, oppure .
lim a a lim a a 0
n n n
n n
Esempi:
La successione dell'esempio b) tende a 2/3. Infatti abbiamo (costruendoci la successione
differenza b ):
n
2 2 2 n 1 1
;
b a
n n
3 3 3
n 3
n
1
la successione è il prodotto del numero razionale 1/3 per la successione di
b
n 3
n
termine generale 1/n dell'esempio a), che abbiamo visto convergere a zero. Quindi, per
quanto visto sopra, anche la successione: 2
b a
n n
3
tende a zero e a tende a 2/3.
n
La successione:
a 0
,
3
; a 0
,
33
; a 0
,
333
;
1 2 3 2
converge a 1/3 = 0,333… . Infatti la successione: tende a zero:
b a
n n
3
b 0
,
0333 ; b 0
,
00333 ; b 0
,
000333 ;
1 2 3
Come prima, è facile dimostrare che la somma ed il prodotto di due o più successioni
convergenti è ancora una successione convergente. Ma c'è di più: si può dimostrare che
lim a b lim a lim b
n n n n
n n n
lim a b lim a lim b
n n n n
n n n
lim a lim a ,
n n
n n
7 Criterio di convergenza di Cauchy
Fino ad ora abbiamo considerato la convergenza di successioni razionali di cui conoscevamo
già il limite di convergenza. A volte, però, è solo necessario sapere se una successione
razionale converge oppure no, senza conoscerne il limite verso cui converge, e questo anche
perché è molto spesso difficile calcolare tale limite. Perciò stabiliremo ora un criterio
;
(necessario) di convergenza delle successioni in questo criterio è il criterio di Cauchy:
Raffaele Santoro: I numeri reali e la potenza del continuo Pagina 9
+,
Se una successione razionale converge ad a, allora, comunque si sceglie un
è possibile trovare un indice n tale che:
0
a a
m
n > n , > n risulta: .
0 0 n m /2+,
Infatti, se la successione razionale converge ad a, allora, esiste un n tale che,
0
m > n risulta:
0
;
a a m 2
varrà anche la relazione, per n > m:
.
a a
m 2
Allora:
.
a a a a a a a a a a
n m n m n m 2 2
a a
Dunque (come volevasi dimostrare, c.v.d.).
n m
"… questo criterio … si riferisce soltanto ai termini della successione presa in esame, e non
suppone la conoscenza di alcun numero oltre ad essi. In parole povere, il criterio esige che i
termini della successione si addensino gli uni agli altri, sicché la differenza fra uno di essi
(scelto abbastanza in avanti) ed un qualunque termine successivo diventi piccola ad
arbitrio..." [3].
Come si è già anticipato, il criterio di convergenza di Cauchy è solo necessario e non
sufficiente: esistono cioè successioni razionali che, pur soddisfacendo al criterio di Cauchy,
non convergono ad alcun numero razionale.
Consideriamo un numero decimale periodico: , ed a partire da questo costruiamoci
a 2
, 2
35
la successione (a ):
n
a 2
, 2
; a 2
, 23
; a 2
, 235
; a 2
, 2353
; a 2
, 23535
;
1 2 3 4 5
questa successione soddisfa il criterio di Cauchy e converge ad un numero razionale. Infatti
abbiamo:
2213
3 3 .
10 a 2235
, 35
, 10
a 22
, 35 10 a 10
a 2213 a 990
In generale, ogni sviluppo decimale periodico converge ad un numero razionale:
ammettiamo la facile dimostrazione che è simile a quella del caso particolare precedente.
a , m m m
Consideriamo ora un allineamento decimale limitato non periodico: . A
0 1 2 n
partire da questo allineamento costruiamoci la successione razionale:
b a , m ; b a , m m ; b a , m m m ; .
1 0 1 1 0 1 2 n 0 1 2 n
Tale successione verifica il criterio di Cauchy:
m 9 10 1
n 1
b b ;
n 1 n n 1 n 1 n 1 n
10 10 10 10
Raffaele Santoro: I numeri reali e la potenza del continuo Pagina 10
n
n n n>n
posto , =10 / :
10 0 0 1
− < = .
+1
10
Però tale successione non converge ad alcun numero razionale, perché, se fosse
lim = ∈, dovrebbe essere razionale, contro l‟ipotesi che è invece uno sviluppo
a
→∞
illimitato non periodico.
bisogno di ampliare l‟insieme numerico
Pertanto abbiamo per far sì che ogni successione
razionale di Cauchy converga ad un numero appartenente al nuovo insieme, ampliamento di
.
Ovviamente, questo nuovo insieme numerico che andremo a definire dovrà contenere come
proprio l‟insieme ;
suo sottoinsieme non solo, ma, oltre ad avere tutte le proprietà
dovrà eventualmente risultare una struttura „più ricca‟, proprio
,
strutturali già viste di
perché dovrà permettere la convergenza di tutte le successioni di Cauchy.
8 Esistenza dei numeri irrazionali
2
− 2 = 0
Sappiamo che l‟equazione .
non è risolubile in I greci conoscevano già una
dimostrazione di questo fatto. La dimostrazione la troviamo negli “Elementi” di Euclide.
Supponiamo che esista un numero razionale x il cui quadrato sia uguale a 2; possiamo,
allora, rappresentare x con una frazione irriducibile :
2
2 2 2
= ⇒ = = 2 ⇒ = 2 ; (*)
2
2
Da quest‟ultima espressione risulta che è un numero pari, quindi anche m sarà pari e
potremo scrivere: = 2′ ′.
con
Con questa sostituzione la (*) diventa:
2 2 2 2
4′ = 2 ⇒ 2′ = ;
2
da quest‟ultima espressione risulta che anche è pari e quindi anche n è pari; allora, se m e
=
che
n sono pari, avranno in comune il fattore 2, contro l‟ipotesi è una frazione
irriducibile.
Siamo arrivati ad una conclusione assurda supponendo che x sia razionale; quindi è assurda
= 2 2
quest‟ultima ipotesi: non è razionale. D‟altra parte, però, rappresenta la misura
della diagonale di un quadrato di lato 1; quindi la sua esistenza è altrettanto legittima come
qualunque altro numero razionale. 2.
Non abbiamo, dunque, motivi di dubitare dell‟esistenza di numeri come Però non
2
servirebbe a nulla creare un nuovo simbolo come senza verificare che questa estensione
della nozione di numero non conduce a contraddizioni. .
Noi abbiamo accennato brevemente, nei paragrafi 3 e 4, alle estensioni successive di
Per assicurare l‟esistenza di interi relativi abbiamo considerato delle classi di equivalenza in
x. ,
Poiché tutte le operazioni conducono a coppie i cui elementi appartengono a la
teoria degli interi relativi non può essere contraddittoria, se è coerente l‟aritmetica di .
Analogamente, l‟esistenza dei razionali è assicurata dalla studio di classi di equivalenza in
− 0
x ,
Raffaele Santoro: I numeri reali e la potenza del continuo Pagina 11
Si tratta ora di considerare l‟ampliamento di .
ad Un tale ampliamento è diverso dagli
ampliamenti considerati fino ad ora. Infatti la costruzione di richiede la nozione di limite.
Questa differenza indica il passaggio dall’algebra all’analisi matematica.
9 Costruzione dei numeri reali: insieme
l‟insieme delle successioni di ) l‟insieme
Nel seguito indicheremo con e con (
delle successioni fondamentali (cioè che soddisfano il criterio di Cauchy).
Se e appartengono a , le successioni
+ = + , + , … = , , …
e
1 1 2 2 1 1 2 2
appartengono ancora a . Infatti: +
, ⟺ , , > ⇒
0 0
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