Teoria Elementare degli insiemi

Luca Lussardi: appunti di Analisi I

Teoria elementare degli insiemi

Per insieme si intende una collezione, un raggruppamento di elementi, considerati nella loro totalità.

Se un elemento x appartiene all’insieme X si scrive anche x ∈ X; se invece x non appartiene ad X, la notazione usata è x ∉ X.

Spesso risulta comodo denotare un insieme elencando i suoi elementi, specie per gli insiemi finiti.

Ad esempio X = {a, b, c} è l’insieme che ha come elementi le lettere a, b e c.

Nel seguito verrà utilizzato il simbolo ∅ per indicare l’insieme vuoto, ovvero l’insieme che non ha elementi.

Dato un insieme X si dice che Y è un sottoinsieme di X se risulta vera l’implicazione:

x ∈ Y ⇒ x ∈ X.

In tal caso si scrive Y ⊆ X.

La nozione di sottoinsieme permette di enunciare una condizione necessaria e sufficiente per l’uguaglianza tra due insiemi, detta principio di estensionalità:

X = Y ⇔ X ⊆ Y e Y ⊆ X.

Questo principio, che a prima vista può sembrare artificioso, risulta utile quando si deve dimostrare l’unicità di un insieme X i cui elementi soddisfano una certa proprietà: basta supporre che X non sia unico, ovvero che esistano X₁ e X₂ con le proprietà di X, e dimostrare, per estensionalità, che necessariamente X₁ = X₂.

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Operazioni tra insiemi

Vediamo per prima l’operazione di unione: dati due insiemi X e Y sia:

X ∪ Y = {x: x ∈ X oppure x ∈ Y}.

Si dice che X ∪ Y è l’unione tra X e Y. La seguente figura mostra il significato dell’unione tra due insiemi:

Un’altra operazione di notevole interesse è l’intersezione tra insiemi: dati due insiemi X ed Y sia:

X ∩ Y = {x: x ∈ X e x ∈ Y}.

Si dice che X ∩ Y è l’intersezione tra X e Y. La seguente figura mostra il significato dell’intersezione tra due insiemi:

È possibile considerare anche la differenza tra due insiemi: dati due insiemi X e Y con X ⊆ Y, sia:

Y \ X = {x ∈ Y: x ∉ X}.

Si dice che Y \ X è la differenza tra X e Y. La seguente figura mostra il significato della differenza tra due insiemi:

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Talvolta l’insieme Y \ X si dice anche complementare di X in Y, e viene anche denotato semplicemente con X^c, quando non vi sia ambiguità su quale sia l’insieme Y.

Esempio

Si considerino i due insiemi X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e Y = {2, 3, 7, 9}.