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Scomposizione polinomi in tre variabili - Strategie


Per scomporre i polinomi di terzo grado in tre variabili esistono dei trucchi strabilianti.
Si può infatti sfruttare un noto teorema: dati tre numeri reali (a, b, c) tali che la loro somma dia 0 (oppure, in simboli a+b+c=0) si ha che la somma dei loro cubi è uguale al loro triplo prodotto. (in simboli a^3+b^3+c^3=3abc).
Affrontiamo ora un esercizio che consiste nello scomporre un polinomio simile.

Esercizio guidato

Scomporre
[math] (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3[/math]

La migliore strategia applicabile in questo caso è sostituire ciascun binomio con una lettera o con un simbolo. Sostituiamo i binomi con B_x dove x è un numero a nostra scelta.
Sia:

a-b=B_1

b-c=B_2

c-a=B_3

Il polinomio ora sembra ridotto a forma normale, in effetti
[math]B_1^3+B_2^3+B_3^3[/math]
non sembra dirci nulla. Ma quanto vale la somma B_1+B_2+B_3? Sarà uguale a a-b+b-c+c-a=0.
Ciò implica
[math]B_1^3+B_2^3+B_3^3=3B_1B_2B_3[/math]
, dunque
[math](a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)[/math]


Esercizio 2

Scomporre
[math]Q(x, y, z)=(a+2b-3c)^3+(b+2c-3a)^3+(c+2a-3b)^3[/math]
.
Utilizzando il lemma enunciato in precedenza, con un paio di conti possiamo renderci conto che i polinomi che devono essere elevati al cubo, se vengono sommati, hanno somma 0.
Si ha quindi la scomposizione analoga a quella vista di sopra:
[math]Q(a, b, c)=3(a+2b-3c)(b+2c-3a)(c+2a-3b)[/math]
...
Esercizio risolto!
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