Sulle probabilità nel gioco del SuperEnalotto

In altri termini, si pensa che giocando tutte le possibili combinazioni si abbia la certerzza di vincere.

6

Ciò non è vero, esiste infatti la possibilità, anche se remota, ma contemplata anche dall’articolo 3 del Regolamento Su-

perEnalotto, di non riuscire a compilare la sestina (combinazione vincente di prima categoria, secondo la terminologia

del Regolamento).

Recita infatti la parte finale dell’articolo su citato :

Se il primo estratto di una ruota sia un numero uguale al primo estratto di una ruota che in ordine alfabetico la

precede, ai fini della determinazione dei numeri vincenti, viene preso in considerazione il secondo numero estratto ;

se anche il secondo estratto sia un numero uguale al primo estratto di altra ruota che precede, viene preso in consi-

derazione il terzo numero estratto, e così via. La medesima procedura si applica anche nei confronti del numero

complementare. Qualora non sia possibile determinare una combinazione vincente di prima categoria con punti 6 o di

seconda categoria, con punti 5 più il numero complementare, perché nelle sei ruote utili per l’individuazione del pro-

nostico vengono estratti numeri uguali o per qualsiasi altro motivo, si applica la disposizione prevista al terzo comma

dell’art. 14.

Per fare un esempio, si supponga che nelle prime 5 ruote siano usciti i seguenti numeri

BA FI MI NA PA

6 7 37 67 80

Potrebbe accadere che sulla sesta ruota (Roma), escano i seguenti numeri

ROMA 37 67 6 7 80

In tal caso ovviamente non si riuscirà a compilare la sestina. Quale è la probabilità che avvenga ciò ? È ovviamente pari

1

alla probabilità di fare cinquina su una data ruota al gioco del lotto, e cioè .

90

5

2 Probabilità del ‘6’.

Quanto vale allora la probabilità di fare ‘6’ al SuperEnalotto ?

Introdotti gli eventi ⑥ = “Si realizza il ‘6’ al SuperEnalotto”,

S =“Si riesce a compilare la sestina”.

⑥ ⑥ ⑥ ⑥ ⑥ ⑥

⊂ ∩ ∩ |S)P

S, = S, P ( ) = P ( S) = P ( (S).

da cui da cui segue

si ha 1 1 −8

⑥ |S) ' ·

P ( = 0.16 10

=

Si ha , ed è proprio questa la probabilità assegnata (erroneamente)

90 622614630

6 P (S)

alla realizzazione del ‘6’. Quella esatta è invece pari a quest’ultima moltiplicata per (probabilità di realizzare la

1

−

P (S) = 1

sestina). Si ha , e quindi

90

5  

1 1

⑥  

≡ −

P ( ) p = 1

6  

90 90

 

6 5

1

1

che è evidentemente minore di .

90

6 −8

' ·

p 0.1606129906 10

Esprimendo in forma decimale abbiamo .

6

Qui è d’obbligo fare una notevole osservazione, e cioè quanto sia minore il premio assegnato (in caso di vincita)

rispetto al premio dovuto.

Sappiamo che il premio non è fisso come nel gioco del lotto, ma variabile a seconda delle giocate fatte dagli scom-

mettitori. Anche se i mass-media si affannano a pubblicizzare il premio che all’occhio dei più appare enorme, esso è

sempre stato, almeno fino ad oggi, notevolmente inferiore al giusto premio. Chiariamo con un esempio : se una persona

scommette 1 euro sull’uscita del ‘4’ nel lancio di un dado, egli pretende (in caso di successo) sei volte la somma versata,

1

p = , egli fa la normale operazione

ossia poiché la probabilità è 6

1

× = 6

1 euro.

euro p

Poiché per giocare una colonna (al giorno d’oggi) al SuperEnalotto bisogna pagare 0,50 euro (anche se la giocata mi-

p

nima è di due colonne), e poiché la probabilità di vincita è , il giusto premio è

6

1

× '

0, 50 311.307.322, 1 euro.

p 6

Al contrario la massima vincita che si è avuta al SuperEnalotto è stata di 65.985.105,96 euro (13 agosto 2003 a Vedug-

gio Con Colzano in provincia di Milano) e cioè quasi 5 volte di meno. Senza tener conto poi che tale premio sarebbe

potuto benissimo andare diviso tra due o più vincitori.

Bisogna precisare che il discorso che stiamo facendo sarebbe corretto se il gioco del SuperEnalotto fosse limitato alla

realizzazione del solo ‘6’. Poiché il giocatore potrebbe conseguire una vincita diversa, bisogna affrontare il discorso in

maniera più globale. È ciò che faremo dopo aver calcolato le probabilità di realizzazione dei vari punteggi.

Passiamo quindi al calcolo delle probabilità di realizzazione del ‘5’, ‘4’, ‘3’ e ‘5+1’.

3 Le probabilità del ‘5’, ‘4’, ‘3’.

Quanto vale la probabilità di realizzare ‘5’ al SuperEnalotto ?

Introdotto l’evento ⑤ =“Si realizza il ‘5’ al SuperEnalotto”,

⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤

c c c

∩ ∩ |S)P |S

P ( ) = P ( S) + P ( S ) = P ( (S) + P ( )P (S ).

si ha

6 84 504

5 1

⑤ |S)

P ( = =

Inoltre , questa è la probabilità assegnata (erroneamente) alla realizzazione del ‘5’.

90 90

6 6

5 85 85

5 1

⑤ c

|S

P ( ) = =

Si ha poi , e quindi

90 90

6 6  

   

 

504 1 85 1 1 419

  −6

⑤  

· − − ' ·

P ( ) = p = 1 + = 504 0.8 10 .

5  

90 90 90 90 90 90

   

 

 

6 5 6 5 6 5

Proseguiamo analogamente e introduciamo l’evento

④ =“Si realizza il ‘4’ al SuperEnalotto”.

④ ④ ④ ④ ④

c c c

∩ ∩ |S)P |S

P ( ) = P ( S) + P ( S ) = P ( (S) + P ( )P (S ).

Si ha 2

6 84

4 2

④ ④ c

|S) |S

P ( = P ( ) =

La probabilità assegnata (erroneamente) alla realizzazione del ‘4’ è . Si ha

90

6

5 85

4 2 , e quindi

90

6

6 84 5 85 6 84 5 85 6 84

  −

1 1

4 2 4 2 4 2 4 2 4 2

④  

· − '

P ( ) = p = 1 + = +

4  

90 90 90 90 90 90 90

 

6 5 6 5 6 6 5

−4

·

0.84 10 .

Introdotto infine l’evento ③ =“Si realizza il ‘3’ al SuperEnalotto”,

③ ③ ③ ③ ③

c c c

∩ ∩ |S)P |S

P ( ) = P ( S) + P ( S ) = P ( (S) + P ( )P (S ),

si ha

6 84

3 3

③ |S)

P ( =

da cui , questa è la probabilità assegnata (erroneamente) alla realizzazione del ‘3’. Si ha poi

90

6

5 85

3 3

③ c

|S

P ( ) = , e quindi

90

6

5 85 6 84 5 85

6 84 6 84

  −

1 1

3 3 3

3 3 3 3 3 3 3

③  

· − '

+ = +

P ( ) = p = 1 0.003.

3  

90 90 90 90 90 90 90

 

6 5 6 5 6 6 5

4 La probabilità del ‘5+1’.

Per quanto riguarda la realizzazione del ‘5 + 1’ il discorso si fa più complesso. Bisogna infatti fare per la ruota di

Venezia un discorso analogo a quello fatto per la ruota di Roma. Introdotto allora l’evento

J =“Si riesce a determinare il numero jolly”,

si hanno quattro casi, di cui calcoliamo le probabilità, anche se nel primo e terzo a puro titolo di curiosità perché essi

non danno alcun contributo numerico.

c

∩ →

S J

1. si riesce a determinare la sestina, ma non il numero jolly. Esempio

BA FI MI NA PA RM

6 7 37 67 80 87

VENEZIA 37 67 87 7 80

e sulla ruota di Venezia,

c c c

∩ |S)P |S)

P (S J ) = P (J (S), P (J

Si ha dove è pari alla probabilità che sulla ruota di Venezia escano 5

numeri che siano un sottinsieme della sestina, e quindi

3

6 84  

6 6 1

5 0  

c c

|S) ∩ −

P (J = = P (S J ) = 1

, da cui  

90 90 90 90

 

5 5 5 5

∩ →

S J

2. si riesce a determinare sia la sestina che il numero jolly. Esempio

BA FI MI NA PA RM

6 7 37 67 80 87

VENEZIA 22 43 1 87 24

e sulla ruota di Venezia,    

6 1

   

c |S) − −

P (S∩J) = P (J|S)P (S), P (J|S) = 1−P (J P (S∩J) = 1 1

Si ha e poiché si ha    

90 90

   

5 5

c c

∩ →

S J

3. non si riesce a determinare né la sestina né il numero jolly. Esempio

BA FI MI NA PA

6 7 37 67 80

ROMA 37 67 6 7 80

sulla ruota di Roma, VENEZIA 6 80 37 67 7

e sulla ruota di Venezia,

c c c c c c c

∩ |S |S

P (S J ) = P (J )P (S ), P (J )

Si ha dove è pari alla probabilità che sulla ruota di Venezia escano gli

stessi numeri della cinquina, e quindi

5 85 1 1 1

5 0

c c c c

|S ∩

P (J ) = = P (S J ) =

, da cui .

90 90 90 90

5 5 5 5

c ∩ →

S J

4. si riesce a determinare il numero jolly, ma non la sestina. Esempio

BA FI MI NA PA

6 7 37 67 80

ROMA 37 67 6 7 80

sulla ruota di Roma, VENEZIA 22 43 1 87 24

e sulla ruota di Venezia,  

1 1

 

c c c c c c c

∩J) |S ∩J) −

P (S = P (J|S )P (S ), P (J|S ) = 1−P (J ) P (S = 1

Si ha e poiché si ha  

90 90

 

5 5

Possiamo finalmente calcolare la probabilità di realizzazione del ‘5+1’. Introduciamo allora l’evento

+

⑤ =“Si realizza il ‘5+1’ al SuperEnalotto”.

h i h i h i h i

+ + + + +

⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤

c c c c

∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

P ( ) = P (S J) + P (S J) + P (S J ) + P (S J ) ) =

Si ha + + + +

⑤ ⑤ ⑤ ⑤

c c c c c c c c

|S ∩ ∩ |S ∩ ∩ |S ∩ ∩ |S ∩ ∩

P ( J)P (S J) + P ( J)P (S J) + P ( J )P (S J ) + P ( J )P (S J ).

Calcoliamo inizialmente le varie probabilità condizionate.

+

⑤ |S ∩

P ( J) è la probabilità di realizzare esattamente 5 punti congiuntamente al fatto che il numero non uscito coin-

cida con il numero jolly, nell’ipotesi che si siano determinate sia la sestina che il numero jolly.

6 84 6

1

5 1

+

⑤ |S ∩

P ( J) = =

Si ha .

90 90

84

6 6

+

⑤ c