Statistica - Le rappresentazioni grafiche

Scopo
Le rappresentazioni grafiche costituiscono uno dei mezzi più efficaci, sia per descrivere in forma visiva i risultati di numerose osservazioni riguardanti una o più caratteristiche di un collettivo statistico, sia per scoprire relazioni e connessioni tra queste caratteristiche o tra le variazioni nel tempo e nello spazio dei fenomeni rilevati. Inoltre, la rappresentazione grafica facilita l’intuizione.
Diagramma cartesiano per la rappresentazione delle variabili statistiche
La prima operazione da fare dopo la rilevazione, è la classificazione delle unità statistiche secondo le modalità del carattere. Ricorrendo ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali del piano, la rappresentazione grafica della v.s. in cui sull’asse delle ascisse sono rappresentate le modalità xi e sull’asse delle ordinante sono riportate le corrispondenti frequenze ni. Il grafico che ne risulta prende il nome di diagramma cartesiano.
Istogrammi per rappresentare variabili statistiche divise in intervalli
Si ha una v.s. divisa in intervalli. Se le classi sono di diversa ampiezza, sarebbe errato tracciare un’ordinata proporzionale alla frequenza in corrispondenza del punto centrale. Infatti, occorre riferire la frequenza di ciascuna classe a tutta l’ampiezza; la frequenza corrispondente ad ogni unità di base, o densità di frequenza, si ricava dividendo la frequenza della classe per l’ampiezza di questa, hi = ni/di,quindi la frequenza ni = di*hi. Il grafico che così si ottiene si chiama istogramma, che vuol dire diagramma di aree.
Diagrammi integrali e funzioni di ripartizione
Sono riportate le frequenze accumulate Ni ossia le frequenze dei valori xi, le frequenze relative yi = ni / N e le frequenze relative accumulate che costituiscono la funzione di ripartizione F(xi) = Ni / N. La rappresentazione si denomina diagramma integrale o diagramma delle frequenze accumulate. Osserviamo ancora che invece di operare con le frequenze accumulate assolute Ni si può operare con le frequenze accumulate relative Ni / N.
Il diagramma integrale si ottiene rappresentando le successive frequenze accumulate Ni in corrispondenza degli estremi superiori delle classi xi+1 .
Diagramma cartesiano per la rappresentazione delle serie storiche
Diagramma a scala logaritmica
Nel diagramma cartesiano gli intervalli sugli assi sono proporzionali alle differenze assolute dei fenomeni rappresentati.
Talvolta si rende opportuno costruire dei diagrammi in cui gli intervalli su uno o su entrambi gli assi siano indicativi dei rapporti dei fenomeni rappresentati e quindi delle loro differenze relative. Ciò si ottiene rappresentando su uno o su entrambi gli assi i logaritmi dei valori stessi. Infatti detti a e b due valori, le quantità rappresentate saranno Log a e Log b e la loro differenza sarà il logaritmo del rapporto o quello della differenza relativa +1.
Ovviamente ad intervalli maggiori corrisponderanno rapporti, e quindi differenze relative, maggiori. Il caso più comune è quello in cui si rende opportuno impiegare la scala logaritmica sull’asse delle ordinate. Il diagramma che ne risulta si denomina diagramma logaritmico o, più precisamente, diagramma semilogaritmico. Si ricorre al diagramma logaritmico innanzitutto allorquando si desidera costruire un diagramma che metta in evidenza le variazioni relative. La costruzione del diagramma logaritmico comporta il calcolo dei logaritmi dei valori e la loro successiva rappresentazione.
Metodo areale per la rappresentazione delle mutabili statistiche
L’istogramma può essere considerato un caso particolare del metodo areale, il cui nome è dovuto al fatto che i dati statistici del fenomeno si rappresentano per mezzo delle aree di figure geometriche.
I diversi casi che si possono presentare:
· Diagrammi a colonne staccate o ortogrammi.
Anzitutto occorre stabilire la figura geometrica che si vuole usare. Se scegliamo il quadrato, di ogni valore da rappresentare bisogna estrarre la radice quadrata. Se, invece, scegliamo il rettangolo di uguale base per ciascuna modalità, le altezze dei singoli rettangoli sono state divise in parti proporzionali ai due numeri corrispondenti ai maschi e dalle femmine.
· Istogramma percentuale.
Per mettere meglio in risalto la composizione percentuale delle varie modalità del fenomeno rappresentato in altezza, in corrispondenza ad ogni intervallo del carattere rappresentato in orizzontale si usa talvolta fare tutte le colonne di uguale altezza, rappresentanti il valore 100, in modo che le varie suddivisioni di queste colonne, variamente tratteggiate, rappresentino le singole percentuali delle diverse parti componenti.
· Diagrammi a settori circolari.
Volendo utilizzare i settori circolari per la rappresentazione di una m.s. sconnessa, occorre che ogni modalità sia rappresentata nel cerchio o nel semicerchio, nello stesso rapporto in cui figura nel totale. N : ni = 360° : αi°
Uno dei difetti del metodo areale, con quadrati o con settori circolari, è che non consente di cogliere a vista le piccole differenze di area, essendo l’occhio umano più abituato a confrontare lunghezze che aree.
Diagramma polare per la rappresentazione delle mutabili cicliche
Questo metodo si adatta bene per la rappresentazione delle m.s. cicliche, nelle quali le modalità si ripetono periodicamente. Utilizza il sistema di riferimento polare. Si fissa nel piano un punto O che chiamiamo polo ed una semiretta orientata uscente da O detta asse polare. Si assume inoltre un determinato segmento come unità di misura e si fissa il senso antiorario come verso positivo delle rotazioni dell’asse polare intorno al polo. In base a questo sistema di riferimento, ogni punto del piano può essere individuato da due coordinate: una il raggio vettore ρ che rappresenta la distanza di P da O, l’altra l’angolo θ formato dal semiasse di riferimento con il segmento OP.
È appena il caso di aggiungere che, sullo stesso sistema polare, si possono rappresentare più mutabili cicliche, usando tratteggi diversi per ciascuna di esse, oppure i dati mensili di più anni consecutivi.
Uno degli inconvenienti del metodo è l’arbitrarietà della scala sull’asse polare.
Cartogrammi per la rappresentazione delle serie territoriali
Il cartogramma è utilizzato per rappresentare le serie territoriali. Nei cartogrammi si assume per base lo schema della carta geografica della regione, con i contorni delle suddivisioni territoriali che interessano, aggiungendo dei segni o una colorazione alle singole circoscrizioni secondo l’intensità del fenomeno. In margine al cartogramma bisogna riportare la scala dei segni, cioè indicare l’intensità del fenomeno corrispondente a ciascun segno o ciascuna delle colorazioni adoperate.
Si può usare anche, in ogni zona territoriale, una figura geometrica o una figura che ricordi il fenomeno di grandezza proporzionale a detta intensità, o un breve diagramma cartesiano riguardante pochi dati. Si ha così una rappresentazione mista di diagramma su base geografica, detta cartodiagramma. I cartogrammi e i cartodiagrammi consentono di localizzare geograficamente le zone di maggiore o minore intensità del fenomeno e quindi trovare le eventuali relazioni tra questo e le condizioni orografiche, idrografiche, climatiche, ecc. del territorio.
Rappresentazione delle variabili statistiche doppie
La v.s. doppia costituita dalle N coppie di valori corrispondenti, quando viene rappresentata su un sistema di assi cartesiani del piano, dà luogo a N punti che assumono la forma di una nuvola di punti. Meno frequente è il caso in cui questi punti si distribuiscono entro una striscia in modo da far pensare che tra i due caratteri ci sia una relazione funzionale del tipo y = f (x).
Se la v.s. doppia è, invece, costituita da una tabella a doppia entrata, la sua rappresentazione grafica può essere fatta con un sistema di assi cartesiani ortogonali nello spazio a tre dimensioni.
Prende il nome di stereogramma il grafico in cui sui due assi del piano di base vengono rappresentate le coppie di modalità (xi, yh) dei due caratteri e sull’asse verticale le frequenze nih.
Se la variabile doppia ha i caratteri X e Y divisi in intervalli, in corrispondenza ad ogni rettangolo di area Rih si può costruire un parallelepipedo rettangolo con l’altezza proporzionale al rapporto tra nih ed Rih. Si ha così una rappresentazione grafica che possiamo chiamare istostereogramma.
Se possiamo pensare che le due variabili X e Y varino con continuità, anche i punti P varieranno con continuità e descriveranno una superficie.
Sezionando tale superficie mediante piani paralleli al piano degli assi x e y, e proiettando poi ortogonalmente le sezioni così ottenute sul piano x, y, con l’avvertenza di indicare accanto a ciascuna sezione la relativa quota, si avrà un sistema di linee dette curve di livello o isometriche, che riescono a dare un’idea della forma o rilievo della superficie.