Habilis 4621 punti

Caratteristiche di posizione


Introduciamo le caratteristiche di posizione di una data distribuzione. Tali parametri, a differenza degli indici di tendenza centrale, che si valutano in base ai valori assunti dalla variabile casuale in un particolare campione, sono caratteristiche proprie di una data funzione di distribuzione.

Valore aspettato

Sia X una variabile aleatoria discreta che può assumere i valori x1, x2, …, xN, ciascuno con probabilità p1, p2, …, pN.
Si definisce valore aspettato (o speranza matematica) della variabile casuale X la quantità

[math]E[x]=\frac{\sum_{i=1}^{N}x_{i}p_{i}}{\sum_{i=1}^{N}p_{i}}[/math]

e poiché
[math]\sum_{i=1}^{N}p_{i}=1[/math]

si ha
[math]E[x]=\sum_{i=1}^{N}x_{i}p_{i}[/math]

Media aritmetica


Vediamo qual è la relazione tra il valore aspettato della variabile aleatoria X e la media aritmetica di un campione della variabile casuale X.
Si abbiano N misure indipendenti x1 , x2 , … , xN della variabile X. Il valore
medio è:
[math]\bar{x}=\frac{1}{N}\sum x_{i}[/math]

Supponiamo ora che il valore x1 sia stato osservato n1 volte, il valore x2 sia stato osservato n2 volte e in generale il valore xj sia stato osservato nj volte, sicché
[math]\sum_{j=1}^{k}n_{j}=N,k\leq N[/math]
.
Si può allora scrivere
[math]\bar{x}=\frac{1}{N}\sum x_{i}= \frac{1}{N}\sum_{j=1}^{k}n_{j}x_{j}=\sum_{j=1}^{k}\left ( \frac{n_{j}}{N} \right )x_{j}=\sum_{j=1}^{k}f_{j}x_{j} [/math]

dove fj = nj/N è la frequenza dell’evento j.

Sulla base del principio di stabilità delle frequenze , si ha che

[math]\lim_{N \to \infty }f_{j}=p_{j}[/math]

e quindi
[math]\lim_{N \to \infty} \bar{x}=\sum_{j=1}^{k}p_{j}x_{j}=E[X][/math]

ossia la media aritmetica dei valori osservati della variabile X tende al valore aspettato di tale variabile al crescere del numero di prove. Da osservare che in generale E[X]e x non sono uguali, in quanto E[X] è il valor medio teorico sull’intera popolazione,mentre x è una variabile statistica valutata su di un particolare campione.
Hai bisogno di aiuto in Statistica e probabilità?
Trova il tuo insegnante su Skuola.net | Ripetizioni
Registrati via email