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Distribuzione di probabilità continua


Se la variabile casuale X è continua, definita in un intervallo [a, b], non ha senso domandarsi quanto vale la probabilità che X assuma un particolare, ben definito valore x, dal momento che questa può assumere un qualunque valore reale all’interno dell’intervallo di definizione. Infatti, proprio perché la variabile è continua, deve necessariamente essere P(X = x) = 0. Ha invece senso domandarsi quale è la probabilità che la variabile X assuma un valore compreso nell’intervallo [x, x + dx].

Data una variabile aleatoria continua X che può assumere i valori

[math]a \leq x \leq b[/math]
, sia P(x, x+ dx) = f(x)dx la probabilità che un valore x cada nell’intervallo infinitesimo (x,x+dx).
Si chiama funzione di distribuzione (continua) di probabilità (o densità di
probabilità) della variabile X la funzione f(x) con la condizione (di normalizzazione)
[math]\int_{a}^{b}f(x)dx=1[/math]

L’intervallo di definizione della variabile X si può sempre estendere ad un intervallo infinito ponendo
[math]f=0\, \, per\, \, \left\{\begin{matrix}
-\infty <x<a& \\
b<x<+\infty &
\end{matrix}\right.[/math]

per cui la condizione di normalizzazione si scrive
[math]\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1[/math]

Funzione cumulativa di distribuzione


Si definisce funzione di ripartizione (o funzione cumulativa di distribuzione) di una variabile aleatoria continua X una funzione F(x) che associa ad ogni valore x la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore non superiore a x:
[math]F(x)=P(X\leq x)[/math]

Dalla definizione discende direttamente che F(x) è una funzione non decrescente di x e che
[math]0\leq F(x) \leq 1[/math]
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