Distribuzione Binomiale

Come già detto in un evento relativo ad un esperimento la probabilità che, su n prove

indipendenti condotte tutte nelle medesime condizioni, si abbiano k successi è

⎛ ⎞

n −

= k n k

⎜ ⎟

P k p q

( )

n p

, ⎝ ⎠

k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

n n n

n

∑

− − − + =

+ = + + + + =

n n n n n k n

1 2 2 k

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

dato che e p q 1

q p q pq p q p p q

( ) ...

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k

1 2 =

k 0

⎛ ⎞

n

n n

∑ ∑ −

= = + =

k n k n

⎜ ⎟

e che P k p q p q

( ) ( ) 1

n p

, ⎝ ⎠

k

= =

k k

0 0

n

∑ =

si ha (*)

P ( k ) 1

n p

,

=

k 0

Valore medio e deviazione standard della distribuzione binomiale

Il valor medio della variabile casuale binomiale k su n prove è, per la definizione,

n

∑

= ⋅

k k P ( k )

=

k 0

Il secondo membro della formula precedente si sviluppa in

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

n n n n

− − −

+ + + +

n 1 2 n 2 3 n 3 n

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

pq 2 p q 3 p q ... n p

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 3 n

Raccogliendo da tutti i monomi

np −

⎡ − ⎤ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1

n

n n n n 1

1 2 3

− − − =

+ + + +

n 1 n 2 n 3 n−

1

⎢ ⎥ ⎟

⎜

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dove 1

...

np q pq q p −

− ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦ 1

n

1 2 3 1

n

n n n +

Si può verificare che la somma tra parentesi quadre è la potenza (n-1)-esima di , cioè

p q

1. Quindi il valor medio di una variabile casuale bernoulliana k su n prove è

=

k np

−

Il valor medio di su prove è

1

k n

− − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− 1 1 1 1

n n n n

n 1

∑ − − −

= ⋅ = + + + + −

n 2 2 n 3 3 n 4 n−

1

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

( ) 2 3 ... ( 1)

k k P k pq p q p q n p

−

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 3 1

n

=

k 0

dove p.es.

−

⎛ ⎞ −

− − − − −

1

n ( 1)! ( 1)( 2)( 3)! ( 1)( 2)

n n n n n n

= = =

⎜ ⎟ − −

⎝ ⎠

2 ( 3)!2! ( 3)!2! 2

n n

−

⎛ ⎞ −

− − − − − − −

1

n )

( 1)! ( 1)( 2)( 3)( 4)! ( 1)( 2)( 3

n n n n n n n n

= = =

⎜ ⎟ − − ⋅

⎝ ⎠

3 ( 4)!3! ( 4)!3! 3 2

n n

−

⎛ ⎞

1

n = −

⎜ ⎟ ( 1

)

n

⎝ ⎠

1

quindi − − − − −

( n 1)( n 2) ( n 1)( n 2)( n 3)

− − −

= − + + + + −

n 2 2 n 3 3 n 4 n−

1

k ( n 1) pq 2 p q 3 p q ... ( n 1) p

⋅

2 3 2

semplificando − − −

( n 1)( n 2)( n 3)

− − −

= − + − − + + + −

n 2 2 n 3 3 n 4 n−

1

k ( n 1) pq ( n 1)( n 2) p q p q ... ( n 1) p

2

− −

⎡ ⎤

( n 2)( n 3)

− − − −

= − + − + + + = −

n 2 n 3 2 n 4 n 2

k ( n 1) p q ( n 2) pq p q ... p ( n 1) p

⎢ ⎥

⎣ ⎦

2

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

n 2 n 2

− − − − − =

+ = + + + + + =

n 2 n 2 n 3 2 n 4 n 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

dove essendo

( q p ) q pq p q ... p 1 q p 1

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2

−

⎛ ⎞ − − −

n 2 ( n 2)! ( n 2)( n 3)!

= = = −

⎜ ⎟ ( n 2

)

− −

⎝ ⎠

1 ( n 3)! ( n 3)!

− − − − − − −

⎛ ⎞

n 2 ( n 2)! ( n 2)( n 3)( n 4)! ( n 2)( n 3)

= = =

⎜ ⎟ − −

⎝ ⎠

2 ( n 4)!2! ( n 4)!2 2

Il valor medio dei quadrati su n prove è

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

n n n n

n

∑ − − −

= = + + + +

2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 n

n n n

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

( ) 2 3 ...

k k P k pq p q p q n p

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 3 n

= 0

k

sviluppando i coefficienti binomiali usando (*) si ottiene

− − −

n ( n 1) n ( n 1)( n 2)

− − −

= + + + +

2 n 1 2 2 n 2 2 3 n 3 2 n

k npq 2 p q 3 p q ... n p

⋅

2 3 2

Semplificando si ottiene − −

( n 1)( n 2)

− − −

= + − + + +

2 n 1 2 n 2 3 n 3 2 n

k npq 2 n ( n 1) p q 3

n p q ... n p

2

raccogliendo si ottiene

np

⎡ − − ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

n 1 n 1

− − −

= + + + +

2 n 1 n 2 2 n 3 n−

1

⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

k np q 2 pq 3 p q ... np

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

1 2

La somma tra parentesi quadre può essere scomposta in due somme:

− − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

n 1 n 1 n 1 n 1

− − − − −

+ +

+

+ +

n 1 n 2 2 n 3 n 2 2 n 3

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e

q pq p q ... pq 2 p q ...

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 2

− −

+

La prima è la potenza -esima del binomio che vale 1. La seconda vale .

( n 1

) ( n 1) p

p q

In definitiva il valor medio dei quadrati vale

n [ ]

∑ = + − = + −

2 2 2 2

k P ( k ) np 1 ( n 1) p np n p np

= 0

k

e la varianza della distribuzione binomiale risulta

2

σ = − = − = − =

2 2 2

k k np np np (1 p ) npq

Per la deviazione standard si ottiene

σ = npq