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Caratteristiche di dispersione


Accanto alle precedenti caratteristiche di posizione è importante definire le caratteristiche di dispersione, attraverso le quali si descrive l’andamento della funzione di distribuzione in vicinanza degli indici di posizione.


Varianza

Si consideri la variabile aleatoria discreta X che assume i valori x1, x2,…, xN con le rispettive probabilità p1, p2, …, pN.
La varianza della variabile casuale X viene definita dalla relazione:

[math]Var[X]=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-E[X])^{2}p_{i}}{\sum_{i=1}^{N}p_{i}} =\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-E[X])^{2}p_{i}
[/math]
che rappresenta la media pesata del quadrato degli scarti fra xi e il valore aspettato E[X], con pesi che sono proporzionali alla probabilità associata a ciascuno dei valori xi della variabile X.

Ricordiamo che la varianza è anche indicata col simbolo

[math]\sigma ^{2}[/math]
o
[math] \sigma ^{2}_{x}[/math]
, dalla quale si ottiene la deviazione standard
[math]\sigma_{x}=\sqrt{\sigma ^{2}_{x} }[/math]

Esempio
Nel lancio di due dadi si è visto che il valore aspettato è E[X] = 7.
La varianza è quindi
[math]\sum_{i=1}^{11}(x_{i}-E[X])^{2}p_{i}=5.8[/math]

variabile aleatoria continua

Nel caso di una variabile aleatoria continua X, la varianza è definita dalla relazione

[math] Var[X]=\int_{-\infty }^{+\infty }(x_{i}-E[X])^{2}f(x)dx[/math]

dove f(x) è la densità di probabilità della variabile X. La varianza è dunque il valore aspettato della variabile casuale
[math](x-E[X])^{2}[/math]
:
[math]Var[X]=E[(x-E[X])^{2}][/math]
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