Indici di dispersione - varianza di una variabile aleatoria

Caratteristiche di dispersione

Accanto alle precedenti caratteristiche di posizione è importante definire le caratteristiche di dispersione, attraverso le quali si descrive l’andamento della funzione di distribuzione in vicinanza degli indici di posizione.
Definiamo anzitutto il concetto di varianza.

Varianza

Si consideri dapprima il caso in cui abbiamo una variabile aleatoria discreta che assume i valori con le rispettive probabilità Tratteremo poi anche il caso in cui è una variabile aleatoria continua.
La varianza della variabile casuale X viene definita dalla relazione:

che si può scrivere in maniera più compatta come:

che rappresenta la media pesata del quadrato degli scarti fra

e il valore atteso , con pesi che sono proporzionali alla probabilità associata a ciascuno dei valori della variabile .
Questa definizione è equivalente a dire che la varianza è il valore atteso del quadrato della differenza tra la variabile aleatoria e il suo valore atteso, in altre parole una specie di misura di quanto una variabile aleatoria si discosta dal suo valore medio.
La varianza è anche indicata col simbolo o , dalla quale si ottiene la deviazione standard

Esempio

Nel lancio di due dadi non truccati e a 6 facce, si è visto che il risultato è una variabile aleatoria il cui valore atteso è .
La varianza è quindi

Vediamo ora il caso in cui

è una variabile aleatoria continua.
Nel caso di una variabile aleatoria continua X, la varianza è definita dalla relazione
se tale integrale esiste finito, dove è la densità di probabilità della variabile .