44 esercizi svolti di calcolo combinatorio e probabilità 

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità

Svolgimento a cura di Mattia Puddu

1. Gli interi da 1 a 9 sono scritti nelle 9 caselle di una scacchiera 3x3, ogni intero in ogni casella

diversa, in modo tale che ogni coppia di numeri consecutivi sia scritta in due caselle adiacenti.

Quanti sono i valori possibili del numero posto sulla casella centrale?

2. In un torneo di pallacanestro 8 squadre sono divise in 2 gruppi di 4 squadre ciascuno. Al termine

degli incontri preliminari, si disputano le semifinali, in cui la prima classificata del primo gruppo

incontrerà la seconda classificata del secondo gruppo e la prima classificata del secondo gruppo

incontrerà la seconda classificata del primo gruppo. Se le squadre del primo gruppo sono A, B, C, D,

e quelle del secondo gruppo sono E, F, G, H, qual è la probabilità che gli incontri di semifinale siano

A contro E e B contro G?

3. In un paese l’1% della popolazione è affetto da una certa malattia. Il test per sapere se si è

contagiati sbaglia nell’1% dei casi. Lorenzo si sottopone al test e risulta malato. Qual è la probabilità

che sia sano?

4. Una scatola contiene 3 palline bianche e 2 nere. Marco estrae una pallina e la rimette nella scatola

aggiungendo un’altra pallina dello stesso colore. A questo punto egli estrae una nuova pallina dalla

scatola. Qual è la probabilità che questa sia bianca?

5. Qual è il minimo numero di lanci di un dado a 6 facce affinché si abbia una probabilità superiore al

50% che la somma dei punteggi sia maggiore o uguale a 48?

6. A una gara a punti su pista partecipano nove concorrenti. A ogni traguardo intermedio vengono

assegnati 9 punti al primo, 8 al secondo, 7 al terzo e così via fino ad assegnare un punto all’ultimo.

Prima dell’ultimo sprint (in cui il punteggio assegnato vale doppio) la classifica vede al comando

Abdujaparov con 2 punti di vantaggio su Boardman e 9 su Cipollini. Gli altri concorrenti hanno

ormai un distacco di punti tale da non consentire più loro di aggiudicarsi la gara. Quanti sono i

possibili differenti piazzamenti dei tre corridori nell’ultimo sprint che permettono a Cipollini di

vincere la gara?

7. Tre amici partecipano a 6 gare; chi vince la prima guadagna un punto, che vince la seconda due, e

così via. Sapendo che ognuno dei tre ha vinto due gare, qual è la probabilità che tutti abbiano

ottenuto lo stesso punteggio?

8. Dato un cubo, quanti sono i triangoli che hanno per vertici tre vertici di C e che non giacciono su

nessuna delle facce di C?

9. In Italia le targhe automobilistiche sono composte da 2 lettere, seguite da 3 cifre e da altre 2

lettere. Nel paese di Ailati le cose vanno alla rovescia e le targhe sono composte da 2 cifre, seguite

da 3 lettere e da altre 2 cifre. Supponendo che in entrambi i paesi si usano 10 cifre e 22 lettere,

determinare la differenza tra il numero di tutte le targhe possibili nei due paesi.

10. Da un sacchetto della tombola contenente i numeri da 1 a 90 estraiamo contemporaneamente due

numeri. Qual è la probabilità che la somma faccia 56?

11. Durante una festa 3 ragazzi e 3 ragazze si siedono casualmente attorno a un tavolo rotondo. Qual è

la probabilità che non ci siano due persone dello stesso sesso sedute a fianco?

12. Alberto e Barbara giocano con un dado. Dopo un po’ si accorgono che il dado è truccato, e che il

numero 1 esce più frequentemente degli altri numeri, che invece restano equiprobabili. Decidono

quindi che, quando esce 1, quel tiro è annullato e si tira di nuovo. Se si continua a lanciare il dado

fino a quando non si ottengono 2 tiri validi, qual è la probabilità che la somma dei due numeri validi

usciti sia 8? 1

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13. In quanti modi si possono ordinare le cifre 1, 2, 4, 7 e 9 affinché formino un numero di 5 cifre

divisibile per 11?

14. Alberto, Barbara e Carlo stanno giocando a carte. Ad ogni mano, il vincitore guadagna 2 punti,

mentre gli altri perdono un punto a testa. Inizialmente tutti hanno 0 punti. Qual è la probabilità che

dopo 10 mani siano nuovamente tutti a 0?

15. Matteo deve fare un test a crocette con 11 domande. Ciascuna domanda ha una sola risposta

esatta. La prima domanda ha due possibili risposte, la seconda tre, e così via fino all’undicesima che

ne ha 12. Qual è la probabilità che facendo a caso il test Matteo dia almeno una risposta giusta?

16. Dire quante sono le frazioni ridotte ai minimi termini tali che mn=20!

17. Risolvere l’equazione:

18. Il signor Rossi ha dimenticato il codice segreto abbinato alla sua tessera bancomat. Ricorda che

comincia per 1, che le altre quattro cifre sono 2,5,6,9 (ma non in che ordine), e che la cifra centrale

è dispari. Quanti tentativi dovrebbe fare al massimo per ritrovare la password?

19. Quanti sono i numeri di 9 cifre contenenti 3 volte la cifra 1, 3 volte la cifra 2 e 3 volte la cifra 3?

20. Quanti sono i numeri di 5 cifre non contenenti lo 0 e aventi due cifre uguali a 1?

21. Da un mazzo di 40 carte se ne prendono 3. Qual è la probabilità che vi sia un solo asso?

22. Considera la stessa situazione del caso precedente: qual è la probabilità che vi sia almeno un asso?

23. Quanti numeri di 4 cifre distinte si possono formare?

24. Quanti sono i numeri di 4 cifre, <5000 multipli di 5, formati dalle cifre 2, 3, 4, 5?

25. Quante schedine occorre giocare al superenalotto per fare sicuramente 6?

26. In una classe di 24 alunni si devono eleggere i 2 rappresentanti di classe. In quanti modi diversi si

può fare questa scelta?

27. Qual è il numero massimo di termini che può comparire in un polinomio omogeneo di terzo grado

nelle 4 variabili x, y, z, t.

28. Da un’urna contenente 6 palline bianche e 9 blu se ne estraggono 2 contemporaneamente. Qual è

la probabilità che siano entrambe bianche?

29. Considera l’esercizio precedente: qual è la probabilità che le palline estratte siano una blu e una

bianca?

30. Calcola la probabilità che il primo numero del lotto estratto sulla ruota di Napoli sia un numero

dispari o un multiplo di 18.

31. 12 persone si stringono la mano, ciascuna stringe la mano a tutte le altre. Quante sono le strette di

mano in totale?

32. Un cartolaio ha nel suo negozio tre cassetti liberi: vuole sistemare in tali cassetti le biro nere, blu e

rosse suddivise secondo i colori. In quanti modi diversi può disporre le penne nei cassetti?

33. Quanti numeri di 9 cifre tutte diverse tra loro (e diverse da 0) si possono scrivere?

34. Le disposizioni di un certo numero di oggetti a 5 a 5 sono tante quante le disposizioni degli stessi

oggetti a 4 a 4. Determina il numero degli oggetti.

35. Quanti sono i numeri di 6 cifre che hanno le prime 3 cifre dispari e le restanti pari?

36. In una classe di 20 studenti si devono formare una squadra di calcio da 11 e una da basket da 5

giocatori. In quanti modi si possono formare se nessuno studente può appartenere a entrambe?

37. Calcolare: 2

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38. In quanti modi si possono disporre 3 ragazzi e 3 ragazze per una foto di gruppo, sistemando i

ragazzi accovacciati e le ragazze in piedi dietro di loro?

39. Ho a disposizione cinque cifre uguali a 1 e una cifra uguale a 2. Usando tutte o alcune di queste

cifre, quanti numeri naturali posso costruire.

40. Due matematici, tre fisici e cinque ingegneri sono seduti in prima fila ad una conferenza. In quanti

modi si possono disporre se quelli dello stesso corso devono sedersi vicini?

41. Quante sono le terne ordinate di interi non negativi tali che a+b+c=57?

42. Alessio ha un tavolo rotondo con sei sedie tutte diverse. Si domanda quante sono le diverse

disposizioni delle sedie attorno al tavolo.

43. Ad un torneo partecipano 10 squadre: la formula della manifestazione prevede la disputa di

quattro incontri tra ciascuna coppia di squadre A,B: due nella sede della squadra A e due nella sede

della squadra B. Quanti incontri si giocheranno?

44. Risolvere l’equazione: 3

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Svolgimento

45. Gli interi da 1 a 9 sono scritti nelle 9 caselle di una scacchiera 3x3, ogni intero in ogni casella

diversa, in modo tale che ogni coppia di numeri consecutivi sia scritta in due caselle adiacenti.

Quanti sono i valori possibili del numero posto sulla casella centrale?

Notiamo che se coloriamo la scacchiera di bianco e di nero, come nella maniera classica, ci sono 5

caselle nere e 4 bianche, e la centrale è nera. Poiché come i colori sono disposti in maniera

alternata (bianco/nero), lo sono anche i pari con i dispari è evidente che nelle caselle nere (che

sono 5) si dovranno collocare i 5 numeri dispari. Pertanto i valori possibili del numero posto nella

casella centrale è 5.

46. In un torneo di pallacanestro 8 squadre sono divise in 2 gruppi di 4 squadre ciascuno. Al termine

degli incontri preliminari, si disputano le semifinali, in cui la prima classificata del primo gruppo

incontrerà la seconda classificata del secondo gruppo e la prima classificata del secondo gruppo

incontrerà la seconda classificata del primo gruppo. Se le squadre del primo gruppo sono A, B, C, D,

e quelle del secondo gruppo sono E, F, G, H, qual è la probabilità che gli incontri di semifinale siano

A contro E e B contro G?

Poiché le coppie di squadre possibili all’interno di un insieme di quattro squadre sono , la

probabilità che le due semifinaliste del primo girone siano A e B, e che quelle del secondo girone

siano E ed F, è . Se questo avviene, la probabilità che A incontri E (e necessariamente B incontri F)

è . Dunque la probabilità è:

47. In un paese l’1% della popolazione è affetto da una certa malattia. Il test per sapere se si è

contagiati sbaglia nell’1% dei casi. Lorenzo si sottopone al test e risulta malato. Qual è la probabilità

che sia sano?

Si hanno due possibilità: o Lorenzo è sano e il test ha sbagliato, o il test è corretto e lui è malato. Il

primo evento ha probabilità , il secondo . I due eventi sono

equiprobabili, quindi la probabilità che lui sia sano è ½ .

48. Una scatola contiene 3 palline bianche e 2 nere. Marco estrae una pallina e la rimette nella scatola

aggiungendo un’altra pallina dello stesso colore. A questo punto egli estrae una nuova pallina dalla

scatola. Qual è la probabilità che questa sia bianca?

Se la pallina che estrae la prima volta è nera la probabilità diventa ½ . Se la pallina che estrae la

prima volta è bianca la probabilità diventa Se la pallina che estrae la prima volta è bianca la

probabilità diventa . I due casi non sono equiprobabili (il primo ha probabilità 2/5 il secondo 3/5)

dunque la probabilità totale diventa: 4

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49. Qua