Limiti di successioni

Limite finito di una successione

Definizione: Si dice che una successione di elementi \[[ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n ]\] tende ad un valore , al tendere di a più infinito, se, prefissato un valore \[\epsilon\] positivo, abbastanza piccolo, è possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero \[n_\epsilon\] tale che, per ogni numero naturale \[(n > n_\epsilon)\], sia verificata la seguente relazione: \[|a_n - l| < \epsilon\]. In simboli, possiamo scrivere: \[ \lim_{{n \rightarrow +\infty}} a_n = l \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N} : |a_n - l| < \epsilon \,, \forall n > n_{\epsilon} \] Se una successione tende ad un valore , reale, la successione di dice convergente. Possiamo quindi affermare che una successione tende ad un valore se è possibile determinare, dopo aver fissato un qualunque numero \[\epsilon\] abbastanza piccolo, un numero \[n_\epsilon\] per cui i valori della successione, definiti per tutti gli indici che sono maggiori di \[n_\epsilon\], si avvicinano sempre di più a . Quindi, da un certo punto in poi (da \[n_\epsilon\] in poi), la distanza dei valori della successione da diventa sempre più piccola, più piccola di qualsiasi numero piccolo (\[\epsilon\]). Esempio: Verifichiamo, utilizzando la definizione, che la successione così definita: \[ a_n = \frac{n+1}{n} \] ha limite 1, cioè che: \[ \displaystyle \lim_{{n \rightarrow +\infty}} \frac{n+1}{n} = 1 \] Procediamo fissando un \[\epsilon > 0\], piccolo a piacere; dobbiamo mostrare che è possibile determinare un \[n_\epsilon\] (che dipende da \[\epsilon\]) in modo che, per tutti i valori della successione individuati da \[ n > n_\epsilon\], valga la seguente disuguaglianza: \[ \Bigg|\frac{n+1}{n}-1\Bigg| < \epsilon \] Risolviamo la disuguaglianza: \[ \Bigg|\frac{n+1}{n}-1 \Bigg| < \epsilon \Rightarrow \Bigg|\frac{n+1-n}{n} \Bigg| < \epsilon \Rightarrow \Bigg| \frac{1}{n} \Bigg| < \epsilon \] Poiché è sempre positivo, possiamo togliere il valore assoluto: \[ \Bigg| \frac{1}{n} \Bigg| < \epsilon \Rightarrow \frac{1}{n} < \epsilon \Rightarrow n > \frac{1}{\epsilon} \] Possiamo scegliere \[ n_\epsilon = \frac{1}{\epsilon} \]. In questo modo, infatti, la disuguaglianza è verificata per tutti gli maggiori di \[n_\epsilon\].

Limite infinito

Definizione: Si dice che una successione di elementi \[[ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n ]\] ha per limite più infinito, al tendere di a più infinito, se, prefissato un numero \[M\] positivo, abbastanza grande, è possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero tale che, per ogni numero naturale \[( n > n_M)\], sia verificata la seguente relazione: \[ a_n > M \] In simboli, possiamo scrivere: \[ \lim_{{n \rightarrow +\infty}} a_n = +\infty \Leftrightarrow \forall M > 0 \,,\, \exists n_M \in \mathbb{N} : a_n > M \,,\, \forall n > n_M \] Se una successione tende a più infinito, essa si dice positivamente divergente. Possiamo riassumere la definizione affermando che una successione diverge a più infinito se, comunque scelto un numero molto grande, esiste un termine della successione tale che ciascun termine della successione che abbia indice superiore ad esso, è maggiore di . Allo stesso modo, possiamo definire una successione negativamente divergente: Definizione: Una successione è negativamente divergente, cioè ha per limite meno infinito, al tendere di a più infinito, se, prefissato un numero positivo, abbastanza grande, è possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero tale che, per ogni numero naturale \[( n > n_M)\], sia verificata la seguente relazione: \[ a_n < -M \] In simboli: \[ \lim_{{n \rightarrow -\infty}} a_n = -\infty \Leftrightarrow \forall M > 0 \,,\, \exists n_M \in \mathbb{N} : a_n < -M \forall n > n_M \] In generale, possiamo dire che una successione ha per limite infinito (generico) se: \[ \lim_{{n \rightarrow +\infty}} a_n = \infty \Leftrightarrow \forall M > 0 \,,\, \exists n_M \in \mathbb{N} : |a_n| > M \,,\, \forall n > n_M \] Notiamo, quindi, che una successione positivamente (o negativamente) divergente non è limitata superiormente (inferiormente); allo stesso modo, si può affermare che una successione limitata superiormente (inferiormente) non può essere positivamente (negativamente) divergente. Esempio: Consideriamo la successione definita analiticamente nel seguente modo: \[ a_n = n^2 \] Verifichiamo che essa diverge positivamente, cioè che: \[ \lim_{{n \rightarrow +\infty}} n^2 = +infty \] Applicando la definizione precedente, dobbiamo mostrare che, una volta fissato un numero abbastanza grande, è possibile determinare un valore , che dipenda da , in modo che la seguente disuguaglianza sia verificata per tutti i valori della successione che abbiano indice maggiore di : \[ a_n > M \Rightarrow n^2 > M \] Risolvendo la disuguaglianza, otteniamo: \[ n^2 > M \Rightarrow n < -\sqrt{M} \vee n > \sqrt{M} \] Possiamo ignorare la prima parte della soluzione, in quanto è un numero positivo, e sappiamo che la radice di un numero positivo è sempre positiva, quindi non può essere \[n < -\sqrt{M}\]. Analizziamo ora la seconda parte della soluzione, cioè \[n > \sqrt{M}\]. Possiamo scegliere \[ n_M = \sqrt{M} \]; in questo modo, la disuguaglianza precedente è verificata per tutti i valori di maggiori di .

Successioni indeterminate

Non tutte le successioni ammettono limite, cioè sono convergenti o divergenti. Se una successione non ammette limite, né finito, né infinito, essa si dice indeterminata. Un esempio di successione indeterminata è la seguente: \[[ a_n = (-1)^n ]\]. La successione, infatti, assume il valore per pari, e il valore per dispari.

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