Successioni di Cauchy e completezza di R

Luca Lussardi: appunti di Analisi I

Successioni di Cauchy

Completezza di R

Il concetto di successione di Cauchy fornisce uno dei concetti di base per lo sviluppo dell’Analisi Matematica; infatti l’essere di Cauchy è una proprietà “interna” alla successione, ma che in molti casi si trasmette “all’esterno” garantendo l’esistenza del limite. Tale proprietà viene anche detta di completezza. ∈

Si dice che una successione reale x_n è una successione di Cauchy se per ogni ε > 0 esiste n̄ ∈ N tale per cui si abbia |x_n − x_m| < ε per ogni n, m ≥ n̄.

Fuori dalle righe una successione di Cauchy è una successione nella quale i valori da essa assunti si avvicinano sempre di più tra loro quando n diventa grande.

Una prima proprietà elementare è la seguente:

Proposizione: Sia x_n una successione convergente; allora x_n è di Cauchy.

Dimostrazione. Sia lim_n→+∞ x_n = ℓ;

allora per ogni ε > 0 esiste ν ∈ N tale per cui per ogni n ≥ ν si ha |x_n − ℓ| < ε/2; dunque per ogni n, m ≥ ν si ha |x_n − x_m| ≤ |x_n − ℓ| + |ℓ − x_m| < ε/2 + ε/2 = ε.

Il fatto che più interessa è che in R vale anche il viceversa, il che porta alla conclusione che R è “completo” (per definizione).

Il criterio di convergenza di Cauchy in R

Teorema (criterio di convergenza di Cauchy): Sia x_n una successione di Cauchy; allora x_n converge.

Dimostrazione. Anzitutto la successione risulta limitata; infatti fissato ε > 0 e n ≥ ν, si ha x_n − ε < x_m < x_n + ε per ogni m ≥ ν. Per il Teorema di Bolzano-Weierstrass esiste una sottosuccessione x_nh convergente ad un certo ℓ ∈ R. Dunque per ogni ε > 0 esiste μ tale per cui per ogni h ≥ μ si ha |x_nh − ℓ| < ε; dal momento che x_n è di Cauchy si ha anche che |x_n − x_nh| < ε per ogni n, n_h ≥ ν.

Sia quindi n > max{n_h, ν}; allora si ha |x_n − ℓ| ≤ |x_n − x_nh| + |x_nh − ℓ| < 2ε per ogni n ≥ ν. 1.