Una introduzione alle superfici minime

Q

(Tale formula discende, per esempio, dalla formula dell’area classica dell’Analisi Matematica che

permette, tra le altre cose, il calcolo della misura di Hausdorff di dimensione 2 di un insieme).

√

2 2 2 2 2

Osserviamo che |x ∧ x | + hx , x i = |x | |x | , da cui |x ∧ x | = EG − F , per cui A si può

u v u v u v u v

anche riscrivere come Z p 2

A(R) = EG − F dudv.

Q

Sia ora D ⊂ U un dominio limitato, sia h : D → una funzione differenziabile e sia ε > 0; diciamo

R

3

che la funzione φ : D × (−ε, ε) → è la h di x(D) se

variazione normale determinata da

R

φ(u, v, t) = x(u, v) + th(u, v)N (u, v).

t t

Denotiamo anche con x (u, v) = φ(u, v, t); vista la regolarità di h ed N , risulta che x parametrizza

ancora una regione di superficie regolare, che è modificata ortogonalmente rispetto a x(D). In tal

modo è possibile coniderare la funzione

Z p 2

t t t

A(t) = E G − (F ) dudv, t ∈ (−ε, ε),

D

t t t t

essendo E , F e G i corrispondenti di E, F e G per la nuova parametrizzazione x .

3 ′

Definizione 3.1 x : U → superficie minima S A (0) = 0

Diciamo che parametrizza una se per

R

D ⊂ U x(D).

ogni e ogni variazione normale di

Andiamo quindi a derivare la funzione A(t) rispetto a t; prima però calcoliamo la quantità

p 2

t t t

E G − (F ) .

Si ha t

 x = x + thN + th N

u u u

u

 tv

x = x + thN + th N

 v v v

2

da cui 2 2 2

t

 E = E + th(hx , N i + hx , N i) + t h hN , N i + t h h

u u u u u u u u









 2 2 2

t

F = F + th(hx , N i + hx , N i) + t h hN , N i + t h h

u v v u u v u v





 2 2 2

 t

G = G + th(hx , N i + hx , N i) + t h hN , N i + t h h .

 v v v v v v v v

Ricordando le espressioni per e, f e g, e l’espressione per H in (2.1) si ha che

2 2

t t t

E G − (F ) = EG − F − 2th(Eg − 2F f + Ge) + R(t) =

2

= (EG − F )(1 − 4thH) + R(t),

dove R(t) è derivabile con R(t)/t → 0 per t → 0. Dunque si ha

Z q

p 2

EG − F 1 − 4thH + R(t) dudv,

A(t) = D

2

essendo R(t) = R(t)/(EG − F ). Per il Teorema di derivazione sotto il segno di integrale si ha

√

′ 2

(−4hH + R (t)) EG − F

Z

′

A (t) = dudv.

q

D 2 1 − 4thH + R(t)

′

Avendosi R(t)/t → 0, per t → 0, si ha pure R (0) = 0; dunque

Z p 2

′

A (0) = − 2hH EG − F dudv. (3.1)

Q

Dalla (3.1) si deduce che se S ha curvatura media H ≡ 0 allora S è una superficie minima. Viceversa

supponiamo che esista un punto q ∈ D con H(q) 6 = 0. Allora possiamo costruire una funzione

differenziabile h : D → con h(q) = H(q) e che sia identicamente 0 al di fuori di un piccolo intorno

R ′

contenente q. Allora seguendo la variazione normale determinata da h si avrebbe A (0) < 0, e

quindi S non è una superficie minima. L’equazione delle superfici minime, in forma parametrica,

viene quindi ad essere H = 0, ovvero

hN, x ihx , x i + 2hN , x ihx , x i + hN, x ihx , x i = 0.

uu v v u v u v vv u u

Osserviamo che una superficie minima è, per definizione, punto critico del funzionale dell’area, ma

non necessariamente punto di minimo del funzionale stesso. Mediante tecniche più sofisticate di

Calcolo delle variazioni è possibile stabilire se e quando effettivamente il funzionale dell’area ha

minimo in un suo punto critico.

4 Superfici isotermiche

Allo scopo di costruire esempi non banali di superfici minime, andiamo a considerare una classe

più ristretta di parametrizzazioni; più precisamente diciamo che la parametrizzazione x = x(u, v) è

se hx , x i = hx , x i e hx , x i = 0. Osserviamo che se è data una parametrizzazione

isotermica u u v v u v

2 2

isotermica, allora, posto λ = hx , x i = hx , x i si ha x + x = 2λ H, avendo denotato con H

u u v v uu vv

il cosidetto definito come H = HN . Infatti si ha, differenziando,

vettore curvatura media

hx , x i = hx , x i = −hx , x i.

uu u vu v u vv

Dunque hx + x , x i = 0; similmente si prova che hx + x , x i = 0. Ne segue che x + x è

uu vv u uu vv v uu vv

un vettore parallelo ad N ; ma x è isotermica per cui

1 g + e

H = 2

2 λ

2 2

da cui 2λ H = g + e = hx + x , N i, e quindi x + x = 2λ H.

uu vv uu vv

2 2

Sia f una funzione reale di classe C (U ), con U aperto di ; la quantità f + f viene anche

R uu vv

denotata con ∆f ed è detta di f ; diciamo che f è se ∆f = 0. Abbiamo quindi

laplaciano armonica

dimostrato la seguente Proposizione: 3

Proposizione 4.1 x(u, v) = (x (u, v), x (u, v), x (u, v))

Sia una parametrizzazione isotermica per

1 2 3

S; S x i = 1, 2, 3.

una certa superficie regolare allora è minima se e solo se è armonica per

i

(Catenoide) La è la superficie ottenuta per rivoluzione attorno all’asse z

catenoide

Esempio 4.2

della catenaria y = a cosh(z/a); si ottiene una parametrizzazione

x(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sin u, av), 0 < u < 2π, v ∈ R

2

2

che risulta essere isotermica: infatti E = G = a cosh v mentre F = 0. Inoltre si verifica diretta-

mente che x + x = 0, per cui la catenoide è una superficie minima. Si potrebbe dimostrare che

uu vv

la catenoide è l’unica superficie minima di rivoluzione.

Catenoide.

(Elicoide) L’elicoide è la superficie parametrizzata da

Esempio 4.3 x(u, v) = (a sinh v cos u, a sinh v sin u, au), 0 < u < 2π, v ∈ R

2

2

e risulta essere isotermica: infatti, come prima, risulta E = G = a cosh v, F = 0 e x + x = 0,

uu vv

per cui l’elicoide è una superficie minima. L’elicoide è una superficie rigata, ovvero costituita da

rette; si potrebbe dimostrare che l’elicoide è l’unica superficie minima rigata, escluso ovviamente il

caso del piano. Elicoide.

(Superficie di Enneper) La è la superficie parametrizzata

superficie di Enneper

Esempio 4.4

da 3 3

u v

2 2 2 2 2

x(u, v) = u − + uv , v − + vu , u − v , (u, v) ∈ .

R

3 3 4

Anche in tal caso è facile verificare che è isotermica e che vale x + x = 0, per cui anche la

uu vv

superficie di Enneper è un esempio di superficie minima. La superficie di Enneper, a differenza

delle due precedenti, è una superficie che ha autointersezioni, come appare anche dalla figura qui

sotto. Superficie di Enneper.

5 Superfici minime e funzioni olomorfe

Concludiamo questa breve nota con un interessante legame tra superfici minime e funzioni di varia-

bile complessa. Ricordiamo che una funzione f : U → con U aperto di è detta (o

olomorfa

C, C,

derivabile in senso complesso) se esiste ed è finito

f (z + h) − f (z)

′

f (z) = lim h

h→0

per ogni z ∈ U . Denotando con f (z) = f (u, v) + if (u, v), essendo z = u + iv, l’olomorfia di f

1 2

equivale alle seguenti condizioni di Cauchy-Riemann:

∂f ∂f ∂f ∂f

1 2 1 2

= , = − .

∂u ∂v ∂v ∂u

3

Sia ora x : U → una parametrizzazione di una superficie regolare S; consideriamo le tre funzioni

R

ϕ , ϕ e ϕ di variabile complessa date da

1 2 3 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

1 1 2 2 3 3

ϕ (z) = − i , ϕ (z) = − i , ϕ (z) = − i ,

1 2 3

∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v

dove, come al solito, z = u + iv e x(u, v) = (x (u, v), x (u, v), x (u, v)). Un semplice conto mostra

1 2 3

che si ha 21 22 23

ϕ (z) + ϕ (z) + ϕ (z) = E − G + 2iF.

21 22 23

Dunque x è isotermica se e solo se ϕ (z) + ϕ (z) + ϕ (z) = 0; inoltre la condizione x + x = 0

uu vv

equivale a ∂ ∂

 (x ) = − (x )

 1 1

u v

 ∂u ∂v











 ∂ ∂

 (x ) = − (x )

2 2

u v

∂u ∂v









 ∂ ∂



 (x ) = − (x )

 3 3

u v

 ∂u ∂v

che esprime una parte delle condizioni di Cauchy-Riemann sulle funzioni ϕ . È facile verificare che

i

le restanti condizioni sono sempre soddisfatte, per costruzione delle ϕ stesse, e dunque concludiamo

i

21 22 23

che se ϕ (z) + ϕ (z) + ϕ (z) = 0 allora ϕ sono olomorfe se e solo se x parametrizza una superficie

i

minima. 5