Tutto ... o quasi ... sulla retta

Tutto ( ) sulla retta

o quasi tutto…

di Leonardo Calconi

La retta come insieme continuo

La retta è una delle più antiche espressioni di continuità, definita da Euclide mediante i postulati 1,

2 che affermano come:

1. da un punto P sia sempre possibile tracciare una retta r che passi per un altro punto P

1 2

2. tale retta abbia lunghezza infinita.

La definizione di retta è:

“Insieme dei punti del piano che soddisfano un’equazione del tipo ax + by + c = 0”

Ma cosa vuol dire?

Perché possiamo rappresentare con un’espressione letterale un luogo geometrico?

Riflettiamo sul fatto che con la retta possiamo rappresentare l’insieme R dei numeri reali,

risiedendo in questa rappresentazione l’espressione della continuità.

ϕ

Infatti, considerando l’applicazione : P→R, con P insieme dei punti sulla retta e R insieme dei

numeri reali, essa è iniettiva in quanto ogni p di P ha un’immagine distinta in R ed è suriettiva in

ϕ

quanto ciascun r di R è immagine di un solo elemento di P. Quindi è biiettiva e stabilisce un

rapporto biunivoco tra gli elementi dei due insiemi e poiché l’insieme R è continuo anche P è

continuo. ⊂ ⊂ ⊂

La retta rappresenta anche gli insiemi N Z Q R, anch’essi infiniti ma non continui, essendo gli

insiemi N dei numeri naturali e Z dei numeri interi insiemi discreti, e Q quello dei numeri razionali

un insieme denso. θ

: P→Q è biiettiva e quindi stabilisce un rapporto biunivoco tra gli

elementi dei due insiemi?

No, perché non è iniettiva pur essendo suriettiva.

Si dimostra infatti che appartiene all’insieme P ma non all’insieme Q essendo un numero

2

irrazionale.

a = b = 1; a,b Q

c = R

2

Ancora. 2

⎛ ⎞

m

m

2 2 2

= =

= 2 2 ovvero 2n = m

è c = 2. Se per assurdo c Q è anche ovvero

Se c = 2 ⎜ ⎟ c

c ⎝ ⎠

n

n

dove m e n possono essere scelti primi tra loro in Q.

2 2

Allora essendo 2n pari anche m è pari e quindi possiamo porre m = 2k con k intero.

2 2 2 2 2

Segue che 2n = m = 4k cioè n = 2k ovvero che anche n è pari, il che contrasta con l’ipotesi che

m e n siano primi tra loro. Quindi R.

2

Concludiamo la discussione sulla corrispondenza tra l’insieme dei numeri reali e l’insieme dei

punti della retta e sulla loro continuità con l’assioma di Dedekind che afferma come dato l’insieme

dei numeri reali R e due sue sezioni A e B, per due elementi qualsiasi a<b, a A, b B, esiste un

≤ ≤

elemento c per cui . Nel caso di c = , c è minore o uguale a qualsiasi numero il cui

2

a c b

quadrato è maggiore o uguale a 2 (sezione B) e maggiore o uguale a tutti gli elementi di R non

appartenenti a B (sezione A).

L’aver dimostrato che l’insieme P dei punti della retta e l’insieme R dei numeri reali sono messi in

ϕ

relazione da un’applicazione di tipo non consente ancora di accettare un’equazione esplicita del

tipo ax + by + c = 0 come sua rappresentazione. Manca infatti una legge che governi questa

relazione, legge che dovrà essere individuata in una struttura algebrica.

Discussione sugli spazi vettoriali