Trasformazioni geometriche

S S I A

L E

Osservando da una posizione opportuna un oggetto posto di fronte ad uno specchio, i nostri occhi

rilevano la figura reale e la sua immagine riflessa. Parliamo allora di “immagine speculare” e

diciamo che questa è la simmetrica di quella reale.

Alcuni esempi di simmetria assiale sono rappresentati da oggetti della realtà quotidiana e possono

essere tratti dalla natura e dall’arte. Ne vediamo alcuni nelle figure seguenti:

Nella fig.1 ogni carta da gioco

presenta almeno un asse di simmetria.

Nella fig.2 il caduceo è simmetrico

rispetto ad una retta verticale.

Fig.1 Fig.2 Nella fig.3 i cani tratti liberamente da

un fregio dell’arte persiana sono

simmetrici.

Nella fig.4 la facciata di una casa di

stile vittoriano presenta un asse di

simmetria verticale.

Fig.3 Fig.4 Nella fig.5 i fregi del portale sono

simmetrici rispetto ad un asse

verticale

Nella fig.6 la piazza del

Campidoglio a Roma presenta

diversi assi di simmetria

Fig.5 Fig.6

Annamaria Viceconte Trasformazioni geometriche 13

Fig.7

Molte foglie e fiori in natura presentano un asse di simmetria: in fig. una foglia di malva, il trifoglio, la felce e la

delicata viola del pensiero. Fig.8

Il viso umano, anche se non perfettamente, può essere considerato un esempio di simmetria assiale con asse

verticale, come si osserva nella fig.8.

(di cui all’introduzione) può essere considerata un’applicazione manuale del concetto

L’attività n. 4

di simmetria assiale a livello intuitivo, utilizzando figure del tipo di quelle riportate sopra.

Definizione:

In un piano data una retta r ed un punto P, si definisce simmetrico di P rispetto ad r il punto P’ tale

che la distanza di P’ da r sia uguale alla distanza di P da r; la retta r è detta asse di simmetria.

• P

H Fig.9

r

• P’

La simmetria assiale è una collineazione ossia mantiene l’allineamento dei punti.

Annamaria Viceconte Trasformazioni geometriche 14

Accanto all’attività di cui sopra, è possibile procedere alla costruzione con carta, squadra e matita,

del simmetrico di un punto rispetto ad una retta, nel modo seguente:

• tracciata la retta r, asse di simmetria, disegnato il punto P, si traccia da P la retta s

perpendicolare ad r e, detto H il punto di intersezione tra le due rette, il simmetrico di P , P’

è quel punto appartenente ad s, che ha da H la stessa distanza di P (fig.9).

Proposte di attività

Le attività che seguono vengono lasciate da svolgere autonomamente agli alunni con lo scopo di far

acquisire loro il concetto di simmetrica di una figura qualsiasi quale applicazione del procedimento

sopra descritto per un singolo punto. In particolare, si fa notare agli studenti che per costruire la

simmetrica di una figura si dovrebbe costruire il simmetrico di ogni suo punto, essendo ciò

materialmente impossibile, in virtù del fatto che la simmetria assiale è una collineazione, si procede

costruendo i simmetrici di punti significativi.

Attività n.1:

Costruzione del simmetrico di un segmento rispetto ad una retta.

Attività n.2:

Costruzione del simmetrico di un poligono rispetto ad una retta.

Attività n.3:

Costruzione della simmetrica di una figura mistilinea rispetto ad una retta.

Gli esercizi che seguono hanno lo scopo di far giungere gli allievi ad individuare autonomamente le

proprietà della simmetria assiale.

Esercizio n.1 Costruisci i simmetrici dei punti in figura

B rispetto all’asse di simmetria r indicato.

• • - Quali sono i punti della figura che hanno

E per simmetrici se stessi?…………………..

D Perché?…………………………………….

• - Quali altri punti oltre a quelli evidenziati

• hanno per simmetrici se stessi?……………

A - Se P’ è il simmetrico di P rispetto all’asse r,

il simmetrico di P’ rispetto allo stesso asse è

………

Annamaria Viceconte Trasformazioni geometriche 15

C • r

Fig.10

Una trasformazione geometrica è detta involutoria, se per ogni punto P del piano, detto P’ il suo

corrispondente, il corrispondente di P’ èP.

La simmetria assiale è una trasformazione involutoria.

In una trasformazione geometrica si dice unito ogni punto che ha per corrispondente se stesso.

In una simmetria assiale sono uniti tutti e soli i punti che appartengono all’asse di simmetria.

Costruisci le simmetriche delle rette r, s e t rispetto

all’asse r.Osserva la figura ottenuta e completa:

- la retta, simmetrica dell’asse di simmetria è

…………

- le rette che in una simmetria assiale si

“sovrappongono” a se stesse sono quelle…….

a ….. all’asse.

- la simmetrica di una retta parallela all’asse di

t simmetria è …………… sia all’asse che alla

r retta data.

- se due rette sono parallele le loro simmetriche

s sono………………….

Fig.11 - la direzione della simmetrica della retta s è

…………… da quella di s.

La simmetria assiale

Attività di laboratorio di informatica

Scoprire proprietà e formulare congetture

Una caratteristica importante del Cabri Géometre II è la possibilità di definire relazioni tra oggetti e

di esplorare graficamente le implicazioni.

Poiché questo software consente di modificare molto velocemente le figure disegnate sullo

schermo, ma ne mantiene le relazioni definite (es. un punto su una retta oppure una retta

perpendicolare ad un’altra retta), esso è molto utile per effettuare esplorazioni sulle proprietà delle

figure, osservare relazioni, pervenire autonomamente alla definizione di alcuni concetti e di alcune

proprietà, formulare delle congetture e validare teoremi.

In particolare, la possibilità offerta da Cabri di modificare in modo continuo una figura fornisce

l’occasione di uno studio efficace ed immediato delle trasformazioni geometriche. Utilizzando

questo software lo studente ha infatti la possibilità di vedere “dal vivo” le proprietà delle

trasformazioni. Resta sorpreso nello scoprire il concetto di invariante e viene invogliato alla ricerca

Annamaria Viceconte Trasformazioni geometriche 16

dei motivi per cui alcuni elementi della figura risultano immutati rispetto ad una certa

trasformazione.

Cabri può essere utilizzato in parallelo con lo svolgimento della teoria. La trattazione dei diversi

argomenti può anzi iniziare proprio dall’utilizzo del software per fornire agli studenti solide basi

intuitive sugli argomenti trattati e per coinvolgerli in una proficua attività di osservazione e di

ricerca autonoma di proprietà e leggi prima che queste vengano formalizzate.

Ricordiamo che nel programma Cabri la barra degli strumenti contiene una collezione di pulsanti

che consentono la creazione di varie costruzioni geometriche.

In particolare, l’icona degli strumenti Trasforma contiene gli strumenti che consentono di eseguire

i principali tipi di trasformazioni geometriche. Cliccando su tale icona e tenendo premuto il mouse

compare l’elenco delle trasformazioni disponibili.

Il primo strumento associato all’icona Trasforma è Simmetria assiale; esso consente di costruire

l’immagine di un qualsiasi oggetto simmetrica rispetto ad una retta.

In ottemperanza del criterio metodologico di cui sopra, la trattazione della simmetria assiale può

iniziare proprio nel laboratorio di informatica con la somministrazione agli alunni di schede da

svolgere con l’utilizzo di Cabri e da completare sulla base delle osservazioni condotte.

Vediamo in concreto alcune di tali schede.

Annamaria Viceconte Trasformazioni geometriche 17

Scheda 1

Obiettivo: pervenire alla definizione di simmetria assiale.

Procedura:

1. aprire Cabri;

2. tracciare un punto A ed una retta r non contenente A;

3. fare clic sull’icona Trasforma e tenere premuto il pulsante sinistro del mouse;

4. scegliere lo strumento Simmetria assiale;

5. spostare il puntatore del mouse sul punto A e alla comparsa del messaggio “Simmetrico di

questo punto”ciccare con il tasto sinistro;

6. spostare il puntatore del mouse sulla retta r e alla comparsa del messaggio “rispetto a questa

retta”ciccare di nuovo;

7. compare il punto simmetrico di A rispetto ad r al quale dare il nome A’;

8. tracciare il segmento AA’.

Osservazione:

Quale relazione esiste tra AA’ ed r?

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

9. individuare sul segmento AA’ un punto e chiamarlo P;

10. tracciare l’asse del segmento AP (ricordiamo che per tracciare l’asse di un segmento occorre

selezionare lo strumento Asse dell’icona Costruisci, sostare poi il cursore del mouse

accanto al segmento e alla comparsa del messaggio “Asse di questo segmento” fare clic).

Osservazione:

Muovi P fino a farlo coincidere con A’. Cosa osservi?

…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………

Sulla base delle osservazioni fatte completa la seguente definizione:

Una simmetria assiale di asse r è una trasformazione del piano che associa ad

un punto A un punto A’ in modo che r sia ……………………. del segmento

AA’. Esci da Cabri .

Annamaria Viceconte Trasformazioni geometriche 18

Scheda 2

Obiettivo: individuare le proprietà della simmetria assiale.

Procedura:

1. aprire Cabri;

2. tracciare un punto A ed una retta r non contenente A;

3. costruire il simmetrico i A rispetto ad r e chiamarlo A’;

4. spostare il punto A in diverse