Traccia la mediana ar{MN} del triangolo ABC, indica con P il suo punto medio; la semiretta ar{BP} interseca il lato ar{AC} in Q. Dimostra che ar{CQ} = 2ar{AQ} .

Traccia la mediana

del triangolo , indica con il suo punto medio; la semiretta interseca il lato in . Dimostra che .

Risoluzione

Analizziamo i dati:

Per poter risolvere il problema ci è utile tracciare dal punto

la parallela al segmento che interseca il lato nel punto .

Consideriamo i segmenti e e le parallele e .

Sappiamo che a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra;

quindi, poiché

, possiamo affermare che .

Il problema chiede di dimostrare che

; ci basterà quindi dimostrare che .

Prendiamo in considerazione i triangoli

e .

Essi hanno:

• [math] \hat{CKM}[/math]
  in comune;
• [math] 2 \bar{CM}= \bar{CB}[/math]
  perché lati generati da una mediana;
• [math] \hat{KMC} ≅ \hat{QBC} [/math]
  perché angoli corrispondenti generati dalle parallele
  [math]\bar{BQ}[/math]
  e
  [math]\bar{KM}[/math]
  e dalla trasversale
  [math]\bar{CB} [/math]
  .

Quindi, avendo due angoli congruenti e il lato fra essi compreso in proporzione, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli e sono simili.

Poiché i lati del triangolo

sono doppi di quelli del triangolo , possiamo affermare che , quindi .

Ora, poiché

, abbiamo dimostrato che .