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“Dov’è la matematica? Dove la si può concretamente incontrare? Nei libri, difficili, spesso incomprensibili ai più, che le sono dedicati? Nelle teste più brillanti che li hanno pensati? Nelle realizzazioni più strabilianti che ne sono derivate?[…] La sua presenza è in realtà percepibile dentro la nostra vita di tutti i giorni, dentro le nostre città e le nostre case.” BERTOLINI M. et al., Matemilano. INTRODUZIONE
La geometria, come la matematica, non è una disciplina chiusa nelle regole di un libro, ma è percepibile nella realtà quotidiana; il punto di partenza del suo insegnamento diventa dunque l’esperienza concreta.
Occorre che conoscenze e abilità non risultino imposizioni formali ma, attraverso l’integrazione del sapere con il saper fare, rappresentino vere conquiste intellettuali. Invitare a scoprire la geometria nell’esperienza di tutti i giorni (nella natura, negli oggetti, nelle composizioni architettoniche, nell’arte) significa pensare a percorsi dai contenuti adeguati, realizzati in contesti efficaci, presentati con un linguaggio adatto, integrati con il contributo di altre discipline e, in particolare, sostenuti dall’idea che non si impara geometria se non si fa geometria.
La mia esperienza di tirocinio è stata guidata dal desiderio di presentare fatti e situazioni geometricamente ricche perché fossero i bambini stessi a costruire il concetto di simmetria su cui il percorso verteva. La realtà voleva essere punto di partenza e punto di arrivo, perché i bambini, dopo aver operato con oggetti concreti, immagini e figure geometriche, tornassero a riconoscere il concetto astratto nel loro mondo. Mentre i libri di testo il più delle volte affrontano la simmetria richiedendo all’alunno di completare figure su un piano quadrettato dove è tracciato unicamente l’asse verticale, il percorso voleva tentare di comunicare che la simmetria è intorno a noi: tutto dipende da come e cosa si vuole guardare!
La simmetria non è solo in un disegno di una farfalla stilizzata e un po’ squadrata sul libro, ma la si scopre in una collina che si rispecchia in un lago immobile, nella piuma colorata di un pavone, nel cerchione dell’auto del papà.
Il percorso voleva anche diventare occasione per rispondere ad alcune domande relative a come i bambini percepiscono la simmetria. Per questo si è pensato di sfruttare le potenzialità offerte dalla comunicazione per immagini derivanti dalla loro grande varietà e dal potere di coinvolgimento: esse spiazzano, richiamano il vissuto di ognuno di noi, alludono e rinviano ad altro, affascinano (non sono forse belle le immagini geometriche? E non c’è forse geometria nelle immagini belle?).
Alcune domande hanno guidato la scelta delle diverse immagini su cui i bambini avrebbero lavorato per estrapolare il concetto di simmetria le cui risposte, un domani, potrebbero essere utili per chi vorrà progettare un percorso didattico simile.
- E’ vero, come affermano alcune ricerche in campo psicologico, che i bambini percepiscono con più facilità la simmetria verticale?
- Nella ricerca della simmetria i bambini considerano il colore?
- E’ più facile riconoscere la simmetria in figure geometriche perfette o in immagini reali non precise?
- Nella scoperta della simmetria si osserva la figura nella sua globalità o vengono presi in considerazione i particolari?
- Uno sfondo non neutro confonde la ricerca della simmetria della figura in primo piano?
- Come si comporta un bambino di fronte ad immagini che possiedono innumerevoli simmetrie? E ad immagini che non hanno alcuna simmetria?
Dal punto di vista metodologico si voleva utilizzare una didattica di tipo attivo, che avrebbe previsto la partecipazione in prima persona di tutti gli alunni in quanto soggetti attivi e costruttori delle proprie conoscenze.
Chiedere ai bambini di mettersi in gioco concretamente con oggetti significativi dal punto di vista geometrico, di lavorare in gruppo e di partecipare ai momenti di discussione che avrebbero seguito le attività proposte, significava anche voler coinvolgere e motivare all’apprendimento.
Io e l’insegnante abbiamo ricoperto più ruoli:
quello di osservatore che annota le frasi più significative dei bambini, in modo da sviluppare successivamente la discussione in classe e intervenire, se necessario, con domande-stimolo per superare eventuali momenti di empasse; di mediatore che potenzia le conoscenze possedute dal bambino arricchendole di nuovi concetti;
di regolatore che guida la comunicazione e le relazioni;
di facilitatore che rende significativo l'apprendimento. L’obiettivo era trasformare la classe in un laboratorio dove alunni e docenti facessero esperienza concreta di geometria guidando i bambini senza fornire nozioni o soluzioni pronte e aiutandoli a porsi in un atteggiamento di ricerca per abituarsi a ragionare, a sperimentare e a costruire un sapere comune e condiviso.
INDICE
CAPITOLO 1. PERCEZIONE E SIMMETRIA
1.1 La percezione: teoria e modelli
1.2 Lo sviluppo percettivo
1.2.1 La percezione nell’infanzia
1.2.2 La percezione nella fanciullezza
1.2.3 Conclusioni
1.3 Il senso dell’ordine
1.3.1 La percezione della simmetria
1.3.2 Simmetria e asimmetria
1.4 La simmetria
1.4.1 Un modulo che si ripete
1.4.2 Diversi tipi di simmetria
1.4.3 Modelli concreti per parlare di simmetria
CAPITOLO 2. LA METODOLOGIA
2.1 L’alunno come soggetto attivo nell’apprendimento
2.1.1 Dewey e il discente attivo
2.1.2 Piaget e la costruzione attiva del sapere
2.2 Il ruolo dell’insegnante
2.2.1 Vygotskij e la Zona di Sviluppo Prossimale
2.2.2 Feuerstein e la mediazione dell’apprendimento
2.3 L’apprendimento cooperativo
2.3.1 Alcune basi teoriche
2.3.2 Il lavoro di gruppo: vantaggi e problemi
2.3.3 Organizzare il lavoro di gruppo
CAPITOLO 3. IL CONTESTO
3.1 La scuola
3.2 La classe
3.3 Progetto e obiettivi
CAPITOLO 4. IL PERCORSO
4.1 Per iniziare
4.2 Dalla realtà alle immagini del reale
4.2.1 1a attività – Una foglia e un’arancia
4.2.2 2a attività – Dall’oggetto alla sua impronta
4.2.3 3a attività – La linea magica
4.2.4 4a attività – Assi di simmetria visibili e invisibili
4.2.5 5a attività – La realizzazione di figure simmetriche
4.2.6 6a attività – Alla ricerca degli assi di simmetria
4.2.7 7a attività – Alla ricerca delle rotazioni
4.3 Dalle immagini del reale alle figure geometriche
4.3.1 8a attività – La verifica con i segnali stradali
4.3.2 9a attività – La simmetria delle figure geometriche
4.4 Dalle figure geometriche alla realtà
CONCLUSIONI
BIBLIOGRAFIA
 Scarica la tesi Toccare per vedere, l'apprendimento della geometria con gli occhi e con le mani
ACQUA
P. “Ha due assi di simmetria: uno verticale e uno orizzontale”.
M. non è d’accordo perché nel suo stampo le linee, una volta piegata la figura, non coincidono
perfettamente.
ITALIA
D. “Si può piegare in quattro modi, ci sono già le linee segnate”.
IO “Allora quanti assi di simmetria ha?”
L. “8” (conta tutte le 8 linee che partono dal centro).
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D. “No, 4, perché questa linea è insieme a questa, non si può piegare solo una parte - mostra al
compagno che non è possibile piegare lo stampo lungo la linea solamente fino al centro e aggiunge -
Però alcune linee sono un po’ piegate, ma va bene lo stesso”.
GERMANIA
F. “Si può piegare in due modi”.
Hanno disposto sul tavolo i quattro stampi: due piegati verticalmente uno verso sinistra e l’altro
verso destra; gli altri due orizzontalmente uno verso l’alto, il secondo verso il basso.
AQUILA BIANCA
E. “Ha due assi di simmetria”.
I bambini hanno piegato lo stampo dapprima verticalmente e poi il semicerchio ottenuto
orizzontalmente, ne è risultato un quarto di cerchio in cui le linee coincidevano ancora.
Ho consigliato loro di trovare in quanti modi si poteva piegare lo stampo ripartendo sempre
dall’intero senza sommare le diverse piegature.
Riaprendo la figura, hanno verificato che le piegature possibili erano sempre due: verticale e
orizzontale.
PANDINO
N. “ Ha 3 assi di simmetria, perché si può piegare tre volte”.
I bambini di questo gruppo hanno piegato lo stampo come quelli del gruppo prima, aggiungendo
una terza piegatura e ottenendo uno spicchio.
Dopo lo stesso suggerimento, i bambini hanno concluso velocemente che gli assi di simmetria
erano 4, facilitati in questo dal fatto che erano già segnati per le piegature fatte precedentemente.
Terminato il tempo a disposizione ho chiesto ai bambini di scegliere uno stampo per gruppo ed
evidenziare di giallo l’asse o gli assi di simmetria trovati, nel frattempo ho scritto alla lavagna i
nomi dei sei gruppi, disegnandovi accanto l’arancio diviso in spicchi.
Ogni portavoce del gruppo ha comunicato quanti e quali assi erano stati trovati, così da poterli
colorare anch’io alla lavagna e renderli visibili al resto della classe.
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4 assi di simmetria
PANDINO
AQUILA 2 assi di simmetria
BIANCA 2 assi di simmetria
ACQUA 4 assi di simmetria
GERMANIA 4 assi di simmetria
ITALIA 2 assi di simmetria
BERCELLONA
Ho poi chiesto ai tre gruppi che avevano trovato solo due assi di simmetria di piegare i loro
stampi anche lungo le altre due linee oblique da loro non evidenziate; i bambini hanno provato e,
sorpresi, hanno confermato che gli assi erano quattro.
Successivamente ho consegnato ad ogni bambino uno stampo realizzato su carta da lucido in
modo da rendere più facile verificare la sovrapposizione delle linee, e ho svelato loro che in
realtà il numero degli assi di simmetria era maggiore: i bambini hanno colto immediatamente la
sfida cercando di trovare in quali altri modi era possibile piegare lo stampo.
Dopo qualche minuto tutti i portavoce hanno riferito di aver trovato altri quattro assi di
simmetria, ma attraverso alcune domande che richiedevano di esplicitare le strategie messe in
atto per giungere a tale risultato, ho scoperto che i gruppi “PANDINO”, “ACQUA” e
“BARCELLONA” in realtà avevano continuato a piegare l’immagine lungo i quattro assi
visibili. Gli altri tre gruppi, invece, appena hanno compreso che lo stampo poteva essere piegato
in un altro modo perché le linee e i bordi coincidessero ancora, sono riusciti ad individuare tutti i
quattro assi invisibili e spontaneamente li hanno tracciati con la matita.
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Per il momento conclusivo avevo preparato su un foglio di carta da lucido un grande cerchio
diviso in 8 spicchi. Prima ho piegato la figura lungo i quattro assi segnati, poi lungo quelli
invisibili, mostrando a chi non era riuscito ad individuare questi ultimi come anche in questo
modo le linee interne e i bordi si sovrapponevano perfettamente.
E’ seguita una breve discussione per collegare gli obiettivi iniziali agli esiti dei lavori dei gruppi,
dare senso alla attività svolta, rendere gli studenti consapevoli del percorso fatto insieme e
arrivare ad una generalizzazione di ciò che si era appreso.
INS. “Provate a pensare come possiamo descrivere questa situazione in modo che quello che è successo
oggi lo possiamo ricordare più facilmente e quindi utilizzare anche altre volte”.
L. “Non ho capito”.
INS. “Cosa abbiamo imparato oggi, in generale, senza riferirci alla stampa dell’arancia. Cosa abbiamo
scoperto?”
D. “Che nell’arancia coincidono le linee che ha dentro a metà. E sono otto”.
INS. “Proviamo a dirlo più in generale”
P. “Abbiamo scoperto che l’arancia ha 8 righe”.
INS. “Come le abbiamo chiamate?”
Più bambini rispondono “Assi di simmetria!”
INS. “Non 8 righe, ma 8 assi di simmetria. Proviamo a dirlo in un altro modo. Vorrei che voi diceste una
cosa generale che si può usare anche in altre situazioni”.
IO “Per scoprire gli assi di simmetria tutti voi avete utilizzato la stessa strategia: avete provato a piegare
lo stampo dell’arancia. Quando l’altra volta abbiamo piegato la foglia, quanti assi di simmetria abbiamo
scoperto esserci?”
TUTTI “Uno!”
IO “E l’arancia?”
TUTTI “Otto!”
IO “Allora possiamo dire che…”
D. “Che gli assi di simmetria sono tanti!”
IO “Che gli assi di simmetria essere tanti. Possono non esserci, ce ne può essere solo uno come
possono
nella foglia, ce ne possono essere tanti e a volte, anche se ci sono, non ...”
TUTTI “Non si vedono!”
INS. “Bravi! Questo significa trovare una regola generale: gli assi di simmetria a volte non ci sono, a
volte ci sono e, quando ci sono, in alcuni casi non si vedono! Ricordate questa generalizzazione perché in
altre situazioni ci può essere utile!”
Nel corso di questa attività l’attenzione e la motivazione sono state alte fin dall’inizio e si sono
mantenute tali per l’intera durata; la divisione in gruppi e uno spirito di sana competizione hanno
permesso un maggior coinvolgimento di tutti. Nonostante la classe non fosse abituata a lavorare
in piccoli gruppi, ho constatato che i bambini hanno svolto i compiti accordandosi facilmente e
velocemente. Solamente il gruppo formato da 5 bambini ha avuto difficoltà: è emerso un
problema di comportamento e di coordinamento dovuto alla presenza di tre maschi molto
competitivi, uno dei quali, inserito nella classe da pochi giorni, ha manifestato tale caratteristica
per la prima volta proprio nel corso di questa attività. In tale gruppo ho però assistito ad una
dinamica positiva tipica dell’apprendimento cooperativo: il tentativo da parte di uno studente più
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competente di spiegare al compagno l’errore che stava commettendo (L., contando tutte le linee
che partono dal centro, afferma:“Gli assi di simmetria sono 8”. D., mostrando al compagno che
non è possibile piegare lo stampo lungo la linea solamente fino al centro, risponde “No, 4,
perché questa linea è insieme a questa, non si può piegare solo una parte - .)
Da come la classe ha risposto ai diversi compiti proposti, si possono poi trarre alcune
considerazioni importanti quali la necessità da parte dei bambini di manipolare lo stampo per
verificare la presenza di assi di simmetria, la propensione a piegare lungo linee evidenti, la
facilità di riconoscere l’asse verticale e l’asse orizzontale, a differenza di quelli obliqui.
Inoltre è evidente come sia in atto un processo di astrazione del concetto di simmetria: se ancora
alcuni bambini non riconoscono una figura simmetrica quando le due parti non coincidono
perfettamente (“Non la maggior parte
è un asse di simmetria perché va un po’ fuori il bordo”),
di loro non ricerca più la sovrapposizione perfetta (“Alcune linee sono un po’ piegate, ma va
bene lo stesso”).
L’attività ha permesso anche di scoprire come i bambini, inconsapevolmente, mettono in atto
alcuni concetti matematici. Piegando più volte lo stampo dell’arancia, i bambini non hanno fatto
altro che trovare il modulo più piccolo che si ripeteva all’interno della figura. Il metodo non era
comunque efficace allo scopo di trovare il numero degli assi di simmetria, è stato quindi
necessario un mio intervento per orientare il lavoro e far giungere il gruppo stesso alla risposta
corretta. Questo mi ha permesso di capire come, per mantenere l’alunno al centro del processo di
apprendimento, occorra conoscere bene la propria materia per offrire stimoli giusti e non
risposte pronte. 64
4.2.5 5^ attività - La realizzazione di figure simmetriche
Il momento introduttivo è stato finalizzato a recuperare, attraverso alcune domande, il concetto
di asse di simmetria e la generalizzazione a cui si era giunti al termine dell’ultima attività.
L’obiettivo della nuova attività consisteva nel trovare alcune strategie per creare figure
simmetriche con i materiali che di volta in volta mettevo a disposizione.
• Un asse di simmetria verticale con fogli bianchi e colori a tempera
Avendo a disposizione fogli bianchi e colori a tempera, ho chiesto alla classe di pensare ad una
strategia per creare figure con un asse di simmetria verticale. I bambini del gruppo
BARCELLONA hanno proposto di usare il pennello; uno di loro ha disegnato una forma che
ricordava quella di una foglia e ha evidenziato
l’asse di simmetria usando un colore diverso (fig.1).
Guardando il disegno gli altri compagni
inizialmente sembravano soddisfatti del risultato,
poi qualcuno è intervenuto sottolineando che la
figura non poteva essere considerata perfettamente
simmetrica perché le due parti divise dall’asse non
erano uguali (“La Fig.1
parte sinistra è un po’ più grande”).
Dopo aver valorizzato l’intervento del gruppo BARCELLONA per aver disegnato una figura che
rappresentava il concetto di simmetria, ho invitato i bambini a cercare una strategia più precisa.
A qualcuno è venuto in mente di piegare il foglio per trovare un asse di simmetria verticale, ma
rimaneva il problema di dover disegnare a mano libera la figura. Notando la difficoltà dei
bambini ho ricordato loro che i colori a tempera, una volta stesi sul foglio, per un certo tempo
rimangono bagnati, tanto
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