Superfici di rotazione

Non è difficile ricavarsi le superfici di rotazione di cui abbiamo parlato. Partiamo dal presupposto principale che ogni curva piana nello spazio è l'intersezione di un solido con un piano: è cioè una sezione. Una circonferenza sarà allora, per esempio, l'intersezione di una sfera con un piano. Per arrivare allo scopo basterà sfruttare le cognizioni già note sulla geometria analitica del piano e con un po' d'intuito estenderle alla spazio (la trattazione non può per questo essere rigorosa).

Nel piano:

Nello spazio:

 

Nel piano:

Nello spazio:

 

Nel piano:

Nello spazio:

e per completare

 

Nel piano:

Nello spazio:

 

Nel piano:

Nello spazio:

e per completare

 

Nel piano:

Nello spazio:

 

Passiamo alle intersezioni: posto che il sistema sia risolubile

Nel piano:

Nello spazio:

Una circonferenza nel piano xy avrà equazione:

Una circonferenza nel piano xz avrà equazione:

Una circonferenza parallela al piano yz e passante per il punto di ascissa x = x₀ avrà equazione:

Diamo adesso la definizione di superficie di rotazione.
Consideriamo una curva C ed una retta a (asse di rotazione); si dice superficie di rotazione la superficie descritta da C quando ruota attorno ad a, supposta C rigidamente collegata ad a.
Ciascun punto P di C durante la rotazione descrive una circonferenza giacente nel piano passante per P e perpendicolare ad a ed avente il centro su a.
Le circonferenze descritte dai punti di C, che sono le sezioni della superficie con i piani perpendicolari ad a, si chiamano paralleli.

Per ottenere perciò l'equazione di una superficie di rotazione basta scrivere l'equazione di un suo parallelo e farlo poi variare su C.

L'equazione del cilindro in questione: la otteniamo scrivendo l'equazione di una generica direttrice che poi facciamo variare sulla circonferenza.

L'equazione di una retta generica parallela passante per il punto P(u,v,0) appartenente alla circonferenza del piano xy di centro C(a,0,0) e raggio a è l'intersezione dei due piani

a)

L'equazione della circonferenza del piano xy è invece:

Pertanto le coordinate di P che appartiene alla circonferenza devono soddisfare all'equazione

b)

Se P si muove sulla circonferenza la direttrice descrive il cilindro che avrà pertanto equazione ottenuta eliminando i parametri u, v attraverso le a) e b).

L'equazione del cono in questione: la otteniamo scrivendo l'equazione di una generico parallelo di centro C(u,0,0) è raggio u.

Se facciamo variare il centro C sull'asse x e cioè se u = x si ottiene il cono cercato.

L'equazione del toro in questione: la otteniamo scrivendo l'equazione di una generico parallelo di centro C(0,0,w) è raggio con P appartenente alla circonferenza del piano xz di centro C(a,0,0) e raggio a.

Equazione del parallelo

a)

Equazione della circonferenza

b)

Affinché il punto P(u,v,w) appartenga a b) deve essere

c)

ma dalla a) si ha per cui sostituendo nella c) si ha: