Sulla anticicloide ellittica

RT T

b b

x T

y · x x a x

RT RT T T

a a

a x T T

Fig. 1

Dalla si evince che la tangente al punto è negativa, e stabilito che il segno superiore è riferito

alla parte alta dell’ellisse, possiamo riscrivere la precedente come:

b b

x T

y x x a x

RT RT T T

a a

a x T

e quindi in definitiva: 15)

2.5. Calcolo della retta normale alla tangente in

T

L’equazione generale per la normale alla tangente in è data dalla seguente:

1

y y x x 16)

NT T NT T

x

f T

14)

e tenuto conto della , si ottiene:

b a a x T

y a x x x

NT T NT T

x

a b T 6 di 36

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e in definitiva: 17)

2.6. Calcolo del segmento , coordinata del punto

ON

Per determinare la lunghezza del segmento , si osserva che esso rappresenta l’intersezione della

T x,

retta normale alla tangente in con l’asse per cui dopo aver eguagliato a 0 la 17):

a a x a b

T 18)

x a x 0

NT T

x

b ab

T

x ON

si ricava la coordinata :

N 19)

2.7. Calcolo del segmento , funzione di

TN , y ; x ,y ,

Il segmento è ricavabile mediante l’applicazione del teorema di Pitagora ai punti: (x

T T N N

ovvero: NT

Ora sostituendo si ha: a b

b

NT x x a x

T T T

ab a

e sviluppando per passaggi successivi si ottiene: 20)

2.8. Calcolo dell’angolo t funzione dell’angolo

Fig. 1,

In riferimento alla si nota che si ha la seguente relazione:

y

T tan t 21)

x x

T N y

Ora ricordando la 1) ed eguagliando le rispettive , si ottiene l’identità:

T tan

x tan µ x x t

T T N

x

Sostituendo la data dalla 19), dopo alcuni passaggi si giunge alla seguente relazione:

N 22)

7 di 36

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da cui: 23)

oppure espressa in altra forma: 24)

x

o in termini di :

T 25)

2.9. Calcolo dell’angolo funzione dell’angolo

Fig. 1,

Riferendosi alla si nota che sussiste la seguente identità:

OP PT ON NT

cos π θ cos t

oppure espressa in altri simboli: d ρ cos π θ x cos t 26)

N

da cui si ricava la seguente: d x cos t

N

θ π arcos 27)

ρ x

Ora sostituendo rispettivamente la 19), la 20), la 25) e la 11), la 27) espressa in termini di diventa:

T

a b

b b x T

a

d x a x b

T T

a

a a

a x b

T

θ π arccos 28)

a 2a b

x b d x a d

T T

a

e dopo le dovute semplificazioni si riduce alla seguente: 29)

Mentre l’equivalente della 29) espressa in funzione di è: 30)

8 di 36

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2.10. Calcolo dell’angolo funzione dell’angolo δ

Fig. 1,

Riferendosi alla da considerazioni geometriche si constata che l’angolo risulta dato dalla

δ

θ t θ t

differenza angolare tra .

e , ossia:

Ora tenendo presente la 30) e la 24), si può scrivere: 31)

e utilizzando la formula per la somma / differenza tra due arcoseno:

arccos z sgn z arccos z

arccos z z z z z 32)

Si giunge dopo aver elaborato la 31) alla seguente formula: 33)

Ora facendo uso della formula per la conversione degli archi goniometrici seguente:

1

arctan

arccos z 1 34)

z

la 33) in maniera alquanto laboriosa si trasforma nella seguente: 35)

x

Oppure espressa in termini di :

T 36)

37)

3 Individuazione delle coordinate parametriche dell’anticicloide

Fig. 1,

In riferimento si possono formulare le seguenti considerazioni:

PT Yf x

1. Il segmento dato dalla 12) o dalla 13), difatti rappresenta la coordinata T

P

Yf µ di durante il rotolamento;

o

2. L’angolo , dovrà costantemente soddisfare durante il rotolamento le seguenti

x

condizioni fondamentali, riferite rispettivamente alla variabile: e .

T 9 di 36

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Pertanto la 38) può essere riscritta come: 39)

X X

dalla quale si deduce che la coordinata parametrica o parimenti la sarà data dalla

P P µ

T

soluzione dell’equazione 39): 40)

3.1. Calcolo della derivata prima di ,

La derivata prima della 12), risulta: a 2a b

x b d x a d

T T

d a

f Y

P T x

x T T

a a

b d 41)

a 2a b

b d a d

mentre la derivata prima della 13), risulta la seguente:

ab ab

d 2d cos µ

d a a

sin µ b cos µ sin µ b cos µ

f Y

P µ

µ µ 42)

3.2. Determinazione della componente ,

Ora la determinazione della 40) può essere completata, infatti tenendo conto della 37) e della 41), si

può scrivere: T 1 a a

x b d

T

X x

P T

a a

d x b

T a a 2a d

x b d x a b

T a x T T

T

ab a d x T

che semplificata e raccolta in maniera opportuna conduce alla seguente: 10 di 36

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Allo stesso modo tenendo conto della 35) e 42), si ha:

1

X P che semplificata conduce alla seguente:

X 44)

P 4) Formulazione delle equazioni parametriche dell’ACE

In seguito a quanto osservato ed elaborato al paragrafo precedente, si possono oramai raggruppare

X;Y

ambo le coordinate della curva cercata, dovendo soltanto interporre un segno negativo davanti

alla componente verticale, per tener conto della geometria dei luoghi.

Y ; X

Pertanto considerando le formule 12) e 43) per e le formule 13) (scritta in altra

P P

T T

Y ; X

e 44) per si ha:

forma) P P 45)

46)

EQUAZIONI PARAMETRICHE GENERALI “ANTICICLOIDE ELLITTICA f ”

·

X 47)

P · 48)

EQUAZIONI PARAMETRICHE GENERALI “ANTICICLOIDE ELLITTICA f ”

“Y”, “X”

Ora, tranne che per la componente verticale la componente per essere resa esplicita è

necessario risolvere l’integrale 45) o 47) la cui struttura è riconducibile ad una combinazione di

I, II III

integrali ellittici di e specie tranne che per alcuni casi particolari. 11 di 36

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La soluzione risulta particolarmente complessa e richiede un’analisi delle condizioni al contorno

molto laboriosa, pertanto se ne danno direttamente i risultati.

Tabella 2

In è riportata la casistica delle varie condizioni che possono presentarsi, escludendo i casi in

P

cui il punto risulta collocato fuori dall’asse “a”, in quanto non oggetto di questo studio.

Tabella 2: Casi delle condizioni canoniche

note 0 0

cerchio

ellisse 0 0

verticale

ellisse 0 0

orizzontale

4.1. Equazioni per il caso: ;

a b r, P “d”

Nel caso particolare in cui (caso del cerchio) con il punto a distanza dal centro, la 47)

si semplifica in: 49)

La cui soluzione dell’integrale 49) è la seguente:

√ √

√ √ √

· , · , 50)

√ √ x

La 50) risulta valida per il primo semigiro in quanto la variabile , per coprire tale fase di rotolamento

T

a.‐a

deve variare nell’intervallo , mentre la restante parte si deduce facilmente per simmetria. La

Y

componente diventa invece la seguente: 51)

µ

Le equazioni parametriche in funzione dell’angolo hanno il pregio di generare un intero

rotolamento, in quanto sfruttano le proprietà delle funzioni goniometriche. 52)

√ √ √ √

, , , , 53)

54)

Le equazioni 52) e 54) altro non sono che le equazioni parametriche per l’anticicloide attribuite ad

Hans Dirnböck da Ralf Schaper nel suo articolo “Antizykloiden”. 12 di 36

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Si nota che la soluzione esplicita della 52) data dalla 53) è posta in forma leggermente diversa

dall’originale.

4.1.1 Caso degenere: ;

f x :

Equazioni parametriche T 55)

56)

f µ

Equazioni parametriche : 57)

58)

13 di 36

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4.1.2 Caso degenere: ;

f x

Equazioni parametriche :

T √ 59)

√ 60)

f µ

Equazioni parametriche : √ 61)

√ 62)

4.2. Equazioni per il caso notevole: ; ;

In questo caso la 45) si trasforma in: 63)

la soluzione generale della 63) presenta una formulazione di un integrale ellittico di prima specie in

campo complesso. Per consentire una computazione in campo reale, vengono riportate le soluzione

per ambo i casi: e . 14 di 36

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√ √

, , per: 64)

√ √

, , per: 65)

Y,

Mentre la componente risulta: 66)

f µ ,

Le equazioni parametriche sono invece: √ √

, , : 67)

√ √

, , :

Y µ

Mentre la relativa componente , diventa: 68)

b a b a

Di seguito si riportano i grafici per: e da cui si evince che le due curve risultano

semplicemente traslate di un quarto di rotolamento come c’e da aspettarsi. 15 di 36

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4.3. Equazioni per il caso: ;

Valgono le stesse considerazioni del punto precedente.

√ √

√ ; ;

√ √

√ √

; ; ; ; 69)

√ √

√ 70)

f µ ,

Le equazioni parametriche sono invece:

√ √ √

; ;

√ √

√ √

; ; ; ; 71)

√ √

√ 72)

16 di 36

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4.4. Equazioni per il caso: ; d √a b 1

L’integrale dato dalla 45), o analogamente dalla 47) per , si semplifica notevolmente.

P

Pertanto quando il punto coincide con il fuoco dell’ellisse, l’integrale 45), si riduce alla seguente: 73)

P

La cui soluzione dopo aver tenuto conto delle condizioni al contorno, e rinominato il punto come

F1 (fuoco 1), si ha: 74)

Y x risulta:

Mentre la relativa componen