Ominide 1952 punti

Somma degli angoli interni di un n-agono convesso


Abbiamo provato che in un qualunque triangolo la somma dei suoi angoli interni è pari ad un angolo piatto. Come ci si comporta se il poligono preso in considerazione ha più di 3 lati?
La somma degli angoli interni di un
[math]n[/math]
-agono convesso (anche non regolare) è data da questa formula:
[math]180(n-2)°[/math]
Siccome niente nasce dal nulla, dobbiamo dimostrarlo!
Dimostrazione
Sia
[math]F_n[/math]
un poligono con
[math]n[/math]
lati. Esso avrà quindi
[math]A_1, A_2, A_3, A_4 ... A_n[/math]
vertici. Consideriamo un punto
[math]P[/math]
.
Consideriamo i segmenti
[math]A_1P, A_2P, A_3P, A_4P... A_nP[/math]
. Si formeranno allora
[math]n[/math]
triangoli con base un segmento qualsiasi che collega due vertici consecutivi e con lati i segmenti che collegano i vertici di
[math]F_n[/math]
al punto
[math]P[/math]
.
Sia
[math]S_{F_n}[/math]
la somma degli angoli interni di
[math]S_{F_n}[/math]
. Allora
[math]S_{F_n} = 180n°[/math]
Però c'è da tenere conto anche dell'angolo
[math]\widehat{P}[/math]
, che è un angolo giro di misura 360°.
Allora
[math]S_{F_n} = 180n-360° = 180(n-2)°[/math]
, da cui otteniamo la tesi!
Per i più curiosi
La misura dell'angolo di un n-agono regolare sarà pari quindi a
[math]\frac{180(n-2)}{n}[/math]
Hai bisogno di aiuto in Geometria - Formule e problemi di geometria?
Trova il tuo insegnante su Skuola.net | Ripetizioni
Potrebbe Interessarti
Registrati via email