Somma degli angoli interni di un n-agono convesso
Abbiamo provato che in un qualunque triangolo la somma dei suoi angoli interni è pari ad un angolo piatto. Come ci si comporta se il poligono preso in considerazione ha più di 3 lati?
La somma degli angoli interni di un
[math]n[/math]
-agono convesso (anche non regolare) è data da questa formula:[math]180(n-2)°[/math]
Siccome niente nasce dal nulla, dobbiamo dimostrarlo!Dimostrazione
Sia
[math]F_n[/math]
un poligono con [math]n[/math]
lati. Esso avrà quindi [math]A_1, A_2, A_3, A_4 ... A_n[/math]
vertici. Consideriamo un punto [math]P[/math]
.Consideriamo i segmenti
[math]A_1P, A_2P, A_3P, A_4P... A_nP[/math]
. Si formeranno allora [math]n[/math]
triangoli con base un segmento qualsiasi che collega due vertici consecutivi e con lati i segmenti che collegano i vertici di [math]F_n[/math]
al punto [math]P[/math]
.Sia
[math]S_{F_n}[/math]
la somma degli angoli interni di [math]S_{F_n}[/math]
. Allora [math]S_{F_n} = 180n°[/math]
Però c'è da tenere conto anche dell'angolo [math]\widehat{P}[/math]
, che è un angolo giro di misura 360°.Allora
[math]S_{F_n} = 180n-360° = 180(n-2)°[/math]
, da cui otteniamo la tesi!Per i più curiosi
La misura dell'angolo di un n-agono regolare sarà pari quindi a
[math]\frac{180(n-2)}{n}[/math]
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