Le bisettrici degli angoli opposti B e D di un parallelogramma intersecano la retta AD .....

Le bisettrici degli angoli opposti e di un parallelogramma intersecano la retta in e la retta in . Dimostra che è un parallelogramma e che e si tagliano scambievolmente a metà.

Svolgimento

Per determinare che il quadrilatero è un parallelogramma, è necessario dimostrare che i suoi angoli opposti siano congruenti.

Consideriamo i triangoli

e . Essi hanno:

• [math]\hat{ABE} ≡ \hat{CDF}[/math]
  , poiché angoli generati dalla bisettrice, che divide gli angoli opposti del parallelogramma ABCD (che sono congruenti) in due angoli anch’essi congruenti;

• [math]\bar{AB} ≡ \bar{DC}[/math]
  perché lati opposti del parallelogramma
  [math]ABCD[/math]
  ;

• [math] \hat{BAE} ≡ \hat{DCF}[/math]
  perché angoli opposti del parallelogramma
  [math]ABCD[/math]
  .

Quindi, per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, avendo due angoli e il lato fra essi compreso congruenti, e sono congruenti. Di conseguenza, possiamo affermare che , poiché angoli opposti a lati congruenti.

Inoltre, poiché

(angoli generati dalle bisettrici), avremo anche che perché angoli supplementari di angolo congruenti.

Di conseguenza, il quadrilatero

, avendo gli angoli opposti congruenti, è un parallelogramma.

Consideriamo ora i triangoli

e ; essi hanno:

• [math] \hat{OAE} ≡ \hat{OCF}[/math]
  perché angoli alterni interni formati dalle parallele
  [math]AE[/math]
  e
  [math]CF[/math]
  tagliate dalla trasversale
  [math]AC[/math]
  ;
• [math] \hat{AEO} ≡ \hat{CFO}[/math]
  perché angoli alterni interni formati dalle parallele
  [math]BF[/math]
  e
  [math]DE[/math]
  tagliate dalla trasversale
  [math]EF[/math]
  ;
• [math]\bar{AE} ≡ \bar{FC}[/math]
  perché segmenti dati dalla somma di segmenti congruenti: (
  [math]\bar{AE} = \bar{AD} + \bar{DE} , \bar{FC} = \bar{BC} + \bar{BF} [/math]
  )

Di conseguenza, i triangoli e , avendo due angoli e il lato fra essi compreso congruenti, cono congruenti per i secondo criterio di congruenza dei triangoli. Quindi, e perché lati opposti ad angoli congruenti.

Abbiamo quindi dimostrato che

e si tagliano scambievolmente a metà.